崔仁浩　王金鳳

常微分方程是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)中的一門重要的核心基礎(chǔ)課程，是數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生在大學(xué)一年級完成最基礎(chǔ)的三門專業(yè)課（數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、解析幾何）后開始學(xué)習(xí)的課程。在大學(xué)本科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程中， 常微分方程是少數(shù)幾個可以充分展示數(shù)學(xué)研究本質(zhì)的課程之一，在課堂教學(xué)中我們所采用的是王玉文教授主編的教材《常微分方程簡明教程》，本書已于2010年在國家級出版社“科學(xué)出版社”出版，并由于其數(shù)學(xué)研究方法的較強滲透性而入選了“大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)叢書”。在傳統(tǒng)的常微分方程課程中， 主要尋找一些特殊的技巧和方法，去發(fā)現(xiàn)這些方程的通解或初值問題的特解， 然而可以找到解析方法進行求解的微分方程是很少的， 因此在現(xiàn)代微分方程研究及應(yīng)用中， 尋求具體微分方程的解析解的特殊技巧已經(jīng)不再是主流課題， 而應(yīng)用中提出的各種具有實際背景模型的微分方程又往往是非線性方程， 尋找這些方程的解析解， 絕大部分是不可能的，其有效的方法是利用定性分析方法與數(shù)值方法來考慮這些非線性方程的解的問題。國際著名數(shù)學(xué)家、Wolf數(shù)學(xué)獎獲得者V.I. Arnold在其編著的經(jīng)典教材《常微分方程》中尤其注重體現(xiàn)關(guān)于常微分方程幾何理論的深刻思想，從穩(wěn)定性這一動力系統(tǒng)理論所要研究的核心問題出發(fā)，通過具體的例子引入穩(wěn)定性、周期性等基本概念，對于平面動力系統(tǒng)做了詳細的探討。在我們的課程教學(xué)過程中也力爭為學(xué)生展示數(shù)學(xué)直覺與數(shù)學(xué)研究的本質(zhì)余常微分方程幾何理論的思想，由于幾何理論這一思想方法具有高度的抽象性和概括性， 尤其是介紹利用定性分析方法考慮微分方程時，抽象的概念和定理使得初學(xué)者難以直觀地理解定性分析方法的實質(zhì)，這時如果用MATLAB軟件繪制出幾何圖形就能將抽象的概念與結(jié)論直觀形象地體現(xiàn)出來， 這毫無疑問將非常有助于學(xué)生對幾何理論思想方法的理解， 同時將極大地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率與興趣。

MATLAB是由美國Mathworks公司在上個世紀八十年代推出的數(shù)學(xué)軟件，它將矩陣分析、數(shù)值計算、數(shù)據(jù)可視化以及程序設(shè)計等諸多強大功能集成在一個簡單易用的交互式工作環(huán)境中，從而可實現(xiàn)數(shù)據(jù)的分析與計算、算法研究、模擬繪圖、應(yīng)用程序設(shè)計以及非線性動態(tài)系統(tǒng)的建模和仿真等功能，MATLAB在當(dāng)今各個科學(xué)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。在數(shù)學(xué)專業(yè)課程教學(xué)過程中，MATLAB也成為數(shù)學(xué)分析、線性代數(shù)、微分方程、概率統(tǒng)計、數(shù)值分析、優(yōu)化控制等課程的基本教學(xué)工具，有著廣泛的應(yīng)用前景。常微分方程這門課具有高度的抽象性和概括性， 利用MATLAB輔助教學(xué)能將課程中一些抽象的概念和定理通過圖表、圖象、甚至結(jié)合動畫轉(zhuǎn)化成直觀、具體的表現(xiàn)形式。MATLAB中包括大量的繪圖程序， 直接調(diào)用這些程序可以方便地實現(xiàn)非線性常微分方程的解在相平面上定性分析圖形的繪制，形象生動地展示方程解的各種動力學(xué)行為。應(yīng)用MATLAB進行常微分方程的計算機輔助教學(xué)，有利于學(xué)生對斜率場、解的圖像、相空間、向量場及軌線等重要概念的理解，能夠使學(xué)生對微分方程的幾何理論有更直觀深刻的認識。更加方便的是，盡管MATLAB具有強大的圖形輸出功能，但是該軟件的操作極為簡潔方便，使用者可以在不熟悉MATLAB其它功能的情況下， 通過幾條簡單的命令就可以利用MATLAB中的Dfield程序和PPlane程序繪制出非線性方程（組）在相空間中解的幾何圖形。本文通過在課堂教學(xué)過程中使用MATLAB 輔助教學(xué)的兩個典型案例來加以說明。

并且從求出的解析解可以看出：除常數(shù)平衡解x（t）=N以外的任意解，不管初值如何選取，當(dāng)t→∞時，x（t） →N。下面考慮不求出方程的解析解，使用定性分析的方法來判斷解的漸進性質(zhì)，在這里為了方便學(xué)生的理解，我們可以通過使用MATLAB中的Dfield程序描繪一下解的長時間行為。下面我們進行以下的操作：在Dfield程序中選取k=2，N=3，程序作出圖1，從圖1中可以看出，在第一象限內(nèi)，當(dāng)初始值是在x=3上方時，隨著時間的增長曲線最終都趨向于直線x=3；當(dāng)初始值是在x=3之下時，曲線最終也都趨向于直線x=3。這個模型在實際意義上的表示的是：不管人口的最開始的數(shù)量是多少，最終人口的數(shù)量一定會趨于最大承載量N。

的平衡解，平衡解的穩(wěn)定性以及解的漸進行為。其中x（t）表示物種數(shù)量的密度函數(shù)（依賴自變量時間t），k>0表示物種增長率與物種總數(shù)之間的比例常數(shù)，N>0表示資源與環(huán)境的最大承載量，0同樣的，對于這個問題我們可以借助于使用MATLAB中的Dfield程序描繪一下解的長時間漸進行為。下面我們進行以下的操作：在Dfield程序中選取k=2，N=5，M=3，程序作出圖2，從圖2中可以看出，在第一象限內(nèi)，當(dāng)初始值是在x=3下方時，隨著時間的增長曲線最終都趨向于直線x=0；當(dāng)初始值是在x=3和之間時，曲線最終都趨向于直線x=5；當(dāng)初始值是在x=5上方時，曲線最終也都趨向于直線x=5。這個模型在實際意義上的表示的是：如果物種最開始的數(shù)量是低于Allee效應(yīng)的門檻值M時，最終物種的數(shù)量一定會趨于0，也即此時物種的初始數(shù)量太少使得物種的發(fā)展最終會滅絕；如果物種最開始的數(shù)量是高于Allee效應(yīng)的門檻值M時（無論高于還是低于環(huán)境的最大承載量N，最終物種的數(shù)量一定會趨于最大承載量N。

通過以上實例分析以及結(jié)合我們近幾年的教學(xué)實踐， 我們深切地感受到：Matlab是一款功能強大的應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件，將Matlab軟件引入常微分方程課程的教學(xué)，可方便學(xué)生更深入地理解課程內(nèi)容，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)， 提高學(xué)生應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識解決問題的能力，使常微分方程課程的教學(xué)出現(xiàn)了生動活潑的局面。

參考文獻

[1]王玉文，史峻平，侍述軍，劉萍.常微分方程簡明教程[M]. 北京：科學(xué)出版社，2010.

[2]王高雄，周之銘，朱思銘，王壽松.常微分方程（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2006.

[3]V.I.阿諾爾德.常微分方程[M].北京：科學(xué)出版社，2001.

[4]Paul Blanchard，Robert L.Deraney，Glen R.Hall，Differential

Equations（Third Edition）Thomson Books/Cole，U.S.

A.，2006.

[5]王玉文，王金鳳，劉萍.多媒體教學(xué)在常微分方程教學(xué)中的應(yīng)用[J].繼續(xù)教育研究，2010（02）.

[6]薛定宇，陳陽泉.高等應(yīng)用數(shù)學(xué)問題的～Matlab 求解（第3版）[M].北京：清華大學(xué)出版社，2013.

[7] 殷寶媛，于紀明.微課程采納影響因素實證研究[J].中國電化教育，2014（06）.