饒雄

在解析幾何中，橢圓上的點到直線的最短（長）距離或求動點到定直線的最短（長）距離，是我們經(jīng)常遇到的問題，要解決它可以從多個方面入手.如歸結(jié)為數(shù)形結(jié)合判別式法、參數(shù)方程法和柯西不等式法，以下我們舉例說明.

數(shù)形結(jié)合判別式法

例1 求橢圓[x24+y212=1]上一點到直線l∶y=x-5的距離的最小值.

分析 作出直線[l]及橢圓（如圖），觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)，利用平行直線與橢圓只有一個交點，可以求得相應的最小距離.

[F1][F][O][x][y][y=x-5]解 如圖，虛線為與橢圓相切且與直線[y=x-5]平行的直線，而此直線與[y=x-5]之距即為所求.

設虛線的直線方程為y=x+b，

[∴x24+y212=1，y=x+b.]

化簡得[4x2+2bx+b2-12=0].

∵相切，

∴Δ=0.

∴b=±4，由圖可知b=-4，

[∴]圖中兩直線之距為[d=-4+52=22].

[∴dmin=22.]

點撥 數(shù)形結(jié)合判別式法用到了直線與橢圓位置關(guān)系的相關(guān)知識，即：聯(lián)立橢圓方程與直線方程得到的一元二次方程判別式等于0時，直線與橢圓相切，然后兩平行直線間的距離即為橢圓上的點到直線的最短（長）距離. 此方法的優(yōu)點是用圖形的直觀化難為易，化抽象為具體，從而達到簡潔明了的解題效果. 能提高數(shù)形結(jié)合的靈活性，有助于思維能力的培養(yǎng)，有利于解題能力的提高.

[參數(shù)方程法]

例2 已知定點Q（0，-4），P（6，0），動點C在橢圓[x29+y24=1]上運動，求[△QPC]面積的最大值和最小值.

分析 橢圓[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的參數(shù)方程是[x=acosθ，y=bsinθ]（θ為參數(shù)，且0≤θ<2π），利用橢圓參數(shù)方程研究橢圓問題時，橢圓上的點的坐標可記作[（acosθ，bsinθ）].

解 依題設易求得PQ的方程為

2x-3y-12=0，|PQ|=[213]，

已知橢圓的參數(shù)方程為[x=acosθ，y=bsinθ]（θ為參數(shù)，且0≤θ<2π），

則橢圓上點[C（3cosθ，2sinθ）]到直線PQ的距離

[d=6cosθ-6sinθ-1213=62sin（π4-θ）-1213].

顯然，當[θ=34π]時，

d最大，且[d最大值=62+1213]，

此時[SΔPQC]的最大值是

[12×d最大值×|PQ|][=12×62+1213×213][=12+62]，

當[θ=74π]時，d最短，[d最小值=12-6213]，

此時[SΔPQC]的最小值為[12-62].

點撥 參數(shù)方程法將點到直線的距離轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)問題，通過輔助角公式求三角函數(shù)的最值. 方法的優(yōu)點是把橢圓問題劃歸為我們所熟知的三角函數(shù)問題，進而避免了復雜的運算，并使解題過程得到優(yōu)化.

[柯西不等式法]

例3 在已知橢圓[x24+y29=1]上求一點P，使得P到直線[3x+4y+20=0]的距離[d]取最大值.

[x][P][D][y][O]分析 像這種類型的題目用常規(guī)方法來解較為繁瑣，假如巧用柯西不等式，問題會變得比較簡單.二維柯西不等式：若[a，b，c，d]都是實數(shù)，則[（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2]，當且僅當[ad=bc]時，等號成立.

解 設[P（x0，y0），則d=3x0+4y0+205]，

由柯西不等式得：

[∴（3x0+4y0）2=（6?x02+12?y03）2≤（62+122）（x204+y209）=180.]

[∴-65≤3x0+4y0≤65，]

[∴20-65≤3x0+4y0+20≤20+65.]

[∴20-655≤3x0+4y0+205≤20+655.]

[即20-655≤d≤20+655.]

等號成立[?y0=3x0].

聯(lián)立[x204++y209=1，y0=3x0，]

[解得x0=255，y0=655或x0=-255，y0=-655.]

驗證可知，點[（255，655）]到直線的距離達到最大，

[dmax=20+655].

點撥 柯西不等式法，另辟蹊徑用不等式的方法解決函數(shù)的最值問題，此方法的不足是柯西不等式屬于選修內(nèi)容，同學們掌握起來有一點的難度.

總之，橢圓上的點到直線的最值問題，既可以用代數(shù)方法，也可以用幾何方法，當然也可以用到數(shù)形結(jié)合方法和不等式方法. 而要掌握這些方法，就需要我們在平時學習中不斷積累學習經(jīng)驗.