王　峰，林　皋，劉　俊，2，李建波

(1.大連理工大學(xué)水利工程學(xué)院，遼寧大連116024; 2.南京水利科學(xué)研究院水文水資源與水利工程科學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇南京210098)

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基于面片拼接的等幾何分析方法求解波導(dǎo)本征值問題

王峰1，林皋1，劉俊1，2，李建波1

(1.大連理工大學(xué)水利工程學(xué)院，遼寧大連116024; 2.南京水利科學(xué)研究院水文水資源與水利工程科學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇南京210098)

摘要：基于NURBS的等幾何分析方法集成了計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)(CAD)和有限元方法的優(yōu)點(diǎn)，CAD模型、網(wǎng)格劃分和數(shù)值仿真均采用同樣的幾何描述.然而，由于單個(gè)NURBS曲面片拓?fù)涞木窒扌裕瑔纹葞缀畏治龇椒y以處理介質(zhì)分布不均勻以及截面形式復(fù)雜的多連通區(qū)域問題.本文基于面片拼接，將等幾何分析方法用來求解此類問題的波導(dǎo)本征值.細(xì)分前后，NURBS曲面片拼接處的控制點(diǎn)和網(wǎng)格必須匹配.通過Galerkin法來離散波導(dǎo)本征值問題的Helmholtz控制方程，計(jì)算結(jié)果表明該方法具有自由度消耗小、精度高、收斂速度快等優(yōu)點(diǎn).

關(guān)鍵詞：波導(dǎo)本征值;等幾何分析; NURBS;面片拼接;介質(zhì)分布不均勻;多連通區(qū)域

1　引言

波導(dǎo)［1］是一種在微波或可見光波段中傳輸電磁波的裝置，常用于無線電通訊、雷達(dá)、導(dǎo)航等無線電領(lǐng)域，其常用的截面形狀有矩形波導(dǎo)、圓形波導(dǎo)、橢圓波導(dǎo)和環(huán)形波導(dǎo)［2］.按照電磁波在傳輸方向上有沒有電場和磁場分量，可以分為橫磁波(Transverse Magnetic，TM)、橫電波(Transverse Electric，TE)、橫電磁波(TEM).其中波導(dǎo)本征值問題是微波理論中最關(guān)鍵問題之一，因?yàn)樗粌H與不同模式的電磁波傳輸特性有關(guān)，而且還是許多微波部件分析優(yōu)化的基礎(chǔ).

求解波導(dǎo)本征值問題的方法主要有解析法和數(shù)值解法兩類.解析法能求解的實(shí)例比較少，且截面形狀較為簡單正規(guī)，介質(zhì)均勻規(guī)則.除了均勻波導(dǎo)外，不均勻波導(dǎo)元件目前已經(jīng)大量的應(yīng)用于微波系統(tǒng)［3］中，如可變移相器、抗匹配器等.

對(duì)于介質(zhì)分布不均勻和截面復(fù)雜的波導(dǎo)，只能通過數(shù)值解法來求解.隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，出現(xiàn)了許多求解波導(dǎo)本征值問題的數(shù)值解法，如有限元方法［4～7］，邊界元方法［8］，無網(wǎng)格法［9，10］，比例邊界有限元方法［11，12］.

等幾何分析方法(Isogeometric Analysis，簡稱IGA)是Hughes［13］于2005年提出來的，其將NURBS(Non-U-niform Rational B-spline)基函數(shù)引入到等參有限元中.該方法可以有效銜接計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)(Computer Aided Design，CAD)和有限元方法(Finite Element Method，F(xiàn)EM)，將分析計(jì)算建立在精確的幾何模型之上，消除了計(jì)算模型與幾何模型之間的非一致性問題.它同時(shí)兼?zhèn)淞薋EM和無網(wǎng)格方法的優(yōu)點(diǎn)，其基本思想是，幾何模型和網(wǎng)格計(jì)算模型采用相同的基函數(shù)空間.該方法具有以下獨(dú)特的優(yōu)勢:(1)避免了FEM分段多項(xiàng)式逼近問題域所產(chǎn)生的誤差;(2)由于NURBS的幾何精確特性，即使是稀疏的參數(shù)網(wǎng)格也保留了模型的幾何信息，同時(shí)細(xì)分過程中無需訪問原CAD模型，這便于實(shí)現(xiàn)網(wǎng)格的自適應(yīng)保形細(xì)分，節(jié)省了工作量.

目前該方法已經(jīng)被用于電磁學(xué)問題［14～16］，張勇［17］將其與比例邊界有限元(Scaled Boundary Finite Element Method，SBFEM)耦合來求解波導(dǎo)本征值問題.然而由于NURBS曲面片是定義在矩形參數(shù)域中的，受制于拓?fù)涞木窒扌?，單片等幾何分析方法尚且難于處理介質(zhì)分布不均勻以及截面形式復(fù)雜的波導(dǎo)本征值問題.由于NURBS曲面片的張量積特性，可以通過多面片拼接［18］的等幾何分析方法來處理上述問題，即對(duì)NURBS曲面片進(jìn)行“加法”操作，這充分借鑒了子結(jié)構(gòu)法的基本思想［19］.由于等幾何分析方法采用等參元的思想，電場或磁場縱向分量用NURBS基函數(shù)來構(gòu)造，Helmholtz控制方程的弱形式通過Galerkin變分原理來實(shí)現(xiàn)，最后施加不同的邊界條件，便可得橫磁波(TM)和橫電波(TE)的等幾何分析方程，本文通過三個(gè)算例來驗(yàn)證其有效性.

2　等幾何分析基本思想

2.1NURBS基函數(shù)

NURBS基函數(shù)是通過B樣條基函數(shù)的有理化來實(shí)現(xiàn)的［20］，令Ξ= {ξ0，ξ1，…，ξn + p +1}是一個(gè)參數(shù)空間中的單調(diào)不減的坐標(biāo)序列，即ξi≤ξi +1，i = 0，1，…，n + p.其中ξi是節(jié)點(diǎn)，Ξ為節(jié)點(diǎn)矢量，n +1和p分別是B樣條基函數(shù)的個(gè)數(shù)和次數(shù).對(duì)應(yīng)于節(jié)點(diǎn)矢量Ξ的各階基函數(shù)可由de Boor-Cox公式遞歸得到，即

當(dāng)節(jié)點(diǎn)矢量Ξ端點(diǎn)的重復(fù)度等于p +1時(shí)，這樣的節(jié)點(diǎn)矢量是開放型的，開放型節(jié)點(diǎn)矢量是CAD標(biāo)準(zhǔn)的，其定義的B樣條基函數(shù)在端點(diǎn)處等于1，通常把節(jié)點(diǎn)矢量定義在標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間［0，1］中.在等幾何分析中，單元的細(xì)分有三種方法，即節(jié)點(diǎn)插入的h細(xì)分、基函數(shù)升階的p細(xì)分和結(jié)合兩者而成的k細(xì)分方法.圖1給出了節(jié)點(diǎn)矢量為Ξ= {0，0，0，0.2，0.4，0.6，0.8，1，1，1}的基函數(shù)圖形.

賦給每個(gè)B樣條基函數(shù)Ni，p(ξ)權(quán)值wi(0＜wi≤1)，并進(jìn)行加權(quán)平均，就得到NURBS基函數(shù)

若權(quán)值相等，則NURBS基函數(shù)退化為B樣條基函數(shù).二維NURBS基函數(shù)可通過一維NURBS基函數(shù)張量積得到，即

給出控制點(diǎn)Pi，便可構(gòu)造NURBS曲線，即

式中: Pi是NURBS控制點(diǎn).圖2給出了一NURBS曲線，其采用的基函數(shù)如圖1所示.

2.2波導(dǎo)本征值問題的變分方程

在等幾何分析中，NURBS基函數(shù)將節(jié)點(diǎn)矢量所張成的參數(shù)域^Ω映射為控制點(diǎn)所在的物理域Ω，即

對(duì)于NURBS曲面也有類似的表達(dá)，且為

其中: Nk為NURBS基函數(shù)，Pk為控制點(diǎn)，NC為控制點(diǎn)個(gè)數(shù)，也是基函數(shù)的個(gè)數(shù)，x =(x，y)為笛卡爾坐標(biāo)，ξ=(ξ，η)為參數(shù)坐標(biāo).等幾何分析采用等參元的思想，即場變量uh(x)與幾何形狀x的近似采用相同的NURBS基函數(shù)，則任意場變量可近似表示為

式中: uk是與控制點(diǎn)Pk對(duì)應(yīng)的控制點(diǎn)變量.

問題域Ω的網(wǎng)格可由節(jié)點(diǎn)矢量和參數(shù)域中的節(jié)點(diǎn)區(qū)間映射生成.設(shè)節(jié)點(diǎn)矢量為{η0，η1，…，ηm}，從兩個(gè)方向節(jié)點(diǎn)矢量中去除重復(fù)節(jié)點(diǎn)可得子矢量，定義參數(shù)域中的節(jié)點(diǎn)區(qū)間Qi，j=通過式(6)可映射成物理域上的一個(gè)剖分.可以看出，網(wǎng)格的生成和細(xì)化均可以自動(dòng)實(shí)現(xiàn)，且自動(dòng)生成的網(wǎng)格能夠準(zhǔn)確描述計(jì)算物理域，不會(huì)引入離散誤差，這實(shí)現(xiàn)了幾何設(shè)計(jì)和數(shù)值分析的無縫連接.

波導(dǎo)內(nèi)電磁場量滿足的控制微分方程為

式中:▽2為Laplace算子;對(duì)于TM波，u表示為縱向電場分量，即u = Ez;對(duì)于TE波，u表示為縱向磁場分量，即u = Hz.kc為截止波數(shù)，為頻率，μ為磁導(dǎo)率，ε為介電常數(shù)，β為相位常數(shù).

不同波型滿足的邊界條件為

式中:?Ω為問題域Ω的邊界線，n為外法線方向.

由Galerkin變分原理，上述問題可推得如下代數(shù)方程

其中:

由于NURBS基函數(shù)具有局部支撐性和非負(fù)性，只有少量NURBS基函數(shù)在邊界上非零.對(duì)于TM波，邊界上為零的基函數(shù)為，不為零的基函數(shù)為，則有

由NURBS基函數(shù)的單位分解特性可知

2.3NURBS曲面片的拼接

在實(shí)際的波導(dǎo)裝置中，波導(dǎo)橫截面往往需要多個(gè)NURBS曲面片來共同描述，例如介質(zhì)分布不均勻和截面形式復(fù)雜的波導(dǎo).然而由于NURBS曲面片的分片連續(xù)性及有理形式，NURBS曲面片實(shí)現(xiàn)光滑拼接出現(xiàn)了瓶頸，這里我們只研究交接處C0連續(xù)下的NURBS曲面片的拼接問題.

多片等幾何分析的基本思想為:求出每塊NURBS曲面片的系數(shù)矩陣，然后再通過連通數(shù)組(connectivity arrays)組裝成波導(dǎo)橫截面的總體系數(shù)矩陣.這里我們以兩個(gè)B樣條曲面片拼接為例來說明，如圖3所示，下標(biāo)f代表交接處的控制點(diǎn)，下標(biāo)n代表面片其他處的控制點(diǎn).

其中

如圖4所示，如果對(duì)面片2進(jìn)行節(jié)點(diǎn)插入的h細(xì)分方法，我們可以得到一組新的控制點(diǎn).

設(shè)片1和片2的控制點(diǎn)變量為

交接處解滿足C0連續(xù)

3　數(shù)值算例

3.1非均勻介質(zhì)的矩形波導(dǎo)

本節(jié)應(yīng)用多片等幾何分析方法求解波導(dǎo)本征值問題，為了面片拼接的實(shí)施，這里我們選取齊次控制點(diǎn)

同時(shí)為了驗(yàn)證方法的有效性，我們選取非均勻矩形波導(dǎo)、均勻彎曲型L形金屬波導(dǎo)和均勻十字形金屬波導(dǎo)進(jìn)行求解，定義數(shù)值解的相對(duì)誤差為

為了驗(yàn)證多片等幾何分析方法的有效性，本文選取如圖5所示的波導(dǎo)模型，相關(guān)材料參數(shù)為ε1=1.0，ε2=1.5，μ1=μ2=μ0.表1給出了通過多片等幾何分析方法和有限元方法計(jì)算的前三階模態(tài)的截止波數(shù)，通過與解析解對(duì)比可以看出，在采用更少自由度的情況下，等幾何分析方法可以求得更準(zhǔn)確的TE、TM波截止波數(shù).圖6給出了TE11模態(tài)的相對(duì)誤差隨自由度變化的收斂圖，很明顯，隨著自由度的增加，等幾何分析方法和有限元方法均能收斂于解析解，但是等幾何分析方法誤差小、收斂速度快.同時(shí)可以看出，等幾何分析方法在1039個(gè)自由度的情況下，TE11模態(tài)的相對(duì)誤差是0.14%，而有限元方法在2197個(gè)自由度的情況下，其相對(duì)誤差為1.39%.

表1　截止波數(shù)(kca)對(duì)比

表2　計(jì)算自由度、計(jì)算內(nèi)存占用和計(jì)算時(shí)間比較

為了與FEM在計(jì)算內(nèi)存占用和計(jì)算時(shí)間作對(duì)比，本文選用同樣的400個(gè)網(wǎng)格剖分，其對(duì)應(yīng)的計(jì)算自由度數(shù)、計(jì)算內(nèi)存占用和計(jì)算時(shí)間見表2.在此網(wǎng)格剖分的情況下，IGA計(jì)算得到的TE11模態(tài)的相對(duì)誤差是0.16%，而FEM計(jì)算得到的TE11模態(tài)的相對(duì)誤差是1.22%.這里很明顯可以看出，IGA中的NURBS等參元之間可以共享更多的自由度，從而節(jié)省了自由度消耗，降低了計(jì)算所用的空間存儲(chǔ).

3.2均勻彎曲型L形金屬波導(dǎo)

考慮彎曲型金屬波導(dǎo)，其界面形式如圖7所示，它通過兩個(gè)NURBS曲面片來構(gòu)造其圖形，其齊次控制點(diǎn)見表3.表4給出了等幾何分析方法和有限元方法計(jì)算的TE波前五階模態(tài)的截止波數(shù)，通過與參考解對(duì)比可以看出，在自由度差不多的情況下，等幾何分析方法求得的TE波截止波數(shù)誤差遠(yuǎn)小于有限元方法得到的誤差，甚至小三個(gè)數(shù)量級(jí)，這充分說明了等幾何分析方法可以通過更少的自由度來求得TE波更準(zhǔn)確的截止波數(shù).

表3　兩個(gè)曲面片的齊次控制點(diǎn)

表4　截止波數(shù)對(duì)比

為了與FEM在計(jì)算內(nèi)存占用和計(jì)算時(shí)間作對(duì)比，本文選用同樣的網(wǎng)格剖分，其對(duì)應(yīng)的計(jì)算自由度數(shù)、計(jì)算內(nèi)存占用和計(jì)算時(shí)間見表5.由于NURBS等參元之間可以共享更多的自由度，因此在同樣數(shù)量單元的情況下，IGA所花費(fèi)的計(jì)算自由度會(huì)少于FEM.圖8給出了在第2個(gè)網(wǎng)格剖分的情況下前5階截止波數(shù)相對(duì)誤差變化趨勢圖，可以看出FEM相對(duì)誤差要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于IGA的計(jì)算相對(duì)誤差，甚至大兩到三個(gè)量級(jí).可見，IGA與傳統(tǒng)的FEM相比，具有消耗自由度少、精度高、收斂速度快等優(yōu)點(diǎn).

表5　計(jì)算自由度、計(jì)算內(nèi)存占用和計(jì)算時(shí)間比較

3.3均勻十字形金屬波導(dǎo)

十字形金屬波導(dǎo)［5］的截面形式如圖9所示，這里可以通過五個(gè)NURBS曲面片拼接構(gòu)造.為了與文獻(xiàn)［5］取得的結(jié)果作比較，只給出了通過等幾何分析方法求得的TE波第一、第三階模態(tài)的截止波數(shù)，見表6.

通過與參考解對(duì)比可以看出，在自由度差不多的情況下，等幾何分析方法求得的TE波截止波數(shù)與有限元方法計(jì)算得到的TE波截止波數(shù)相近，這驗(yàn)證多片等幾何分析方法的有效性.

表6　TE波第一、第三階模態(tài)的截止波數(shù)對(duì)比

4　結(jié)論

本文通過拼接將等幾何分析方法由單片擴(kuò)展到多片，并推導(dǎo)了波導(dǎo)本征值問題的等幾何分析離散方程.通過對(duì)非均勻介質(zhì)和截面形式復(fù)雜的波導(dǎo)求解，可以看出等幾何分析方法具有計(jì)算自由度少、收斂速度快、精度高等優(yōu)點(diǎn)，而且還具有非常好的細(xì)分保形特性.但是面片拼接需要定義多個(gè)曲面片，這不利于解決多孔結(jié)構(gòu)，因此面片拼接和面片裁剪結(jié)合是未來等幾何分析方法走向工程應(yīng)用的關(guān)鍵.

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王峰男，1987年5月出生，山東萊陽人，大連理工大學(xué)水利工程學(xué)院博士研究生.主要從事無網(wǎng)格法及等幾何分析的研究及其應(yīng)用于力學(xué)和電磁學(xué)分析.

E-mail: wangfengdut@gmail.com

林皋男，1929年1月出生，江西豐城人，大連理工大學(xué)水利工程學(xué)院教授，博士研究生導(dǎo)師，中國科學(xué)院院士.主要從事大壩、核電結(jié)構(gòu)、地下結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)分析與安全評(píng)價(jià)，以及等幾何分析在力學(xué)邊值問題中的應(yīng)用等方面的研究.

E-mail: gaolin@dlut.edu.cn

Isogeometric Analysis for the Waveguide Eigenvalue Problem Based on the NURBS Patch Splicing Technique

WANG Feng1，LIN Gao1，LIU Jun1，2，LI Jian-bo1
(1.School of Hydraulic Engineering，Dalian University of Technology，Dalian，Liaoning 116024，China; 2.State Key Laboratory of Hydrology-Water Resources and Hydraulic Engineering，Nanjing Hydraulic Research Institute，Nanjing，Jiangsu 210098，China)

Abstract:Isogeometric analysis(IGA)based on the non-uniform rational B-splines(NURBS)has integrated the advantages of Computer Aided Design(CAD)and the finite element method(FEM).The main feature of IGA is the usage of one common geometry representation for creating CAD models，for meshing，and for numerical simulation.However，IGA based on one single NURBS patch is difficult to deal with the inhomogeneous mediums and complex multiply connected domains because of the limitation of the NURBS patch topology.In this paper，IGA based on the patch splicing is used to solve the waveguide eigenvalue problem of this kind.The control points and meshes of different patches must coincide on the interface，even after refinement.The Helmholtz governing equation can be discreted using the Galerkin procedure.Numerical examples are presented to show that IGA possesses the advantages of better convergence on a per-degree-of-freedom and high accuracy.

Key words:waveguide eigenvalue; isogeometric analysis; NURBS; patch splicing; inhomogeneous mediums; multiply connected domains

作者簡介

基金項(xiàng)目:國家自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目(No.51138001);國家自然科學(xué)基金委創(chuàng)新研究群體基金(No.51121005);國家重大科技專項(xiàng)(No.2011ZX06002 -10，No.2013ZX06002001-09);水文水資源與水利工程科學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放研究基金(No.2012491611);上海交通大學(xué)海洋工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放基金(No.1202);中國博士后科學(xué)基金(No.2013M530919，No.2014T70251)

收稿日期:2014-05-12;修回日期: 2014-07-30;責(zé)任編輯:李勇鋒

DOI:電子學(xué)報(bào)URL：http: / /www.ejournal.org.cn10.3969/j.issn.0372-2112.2016.01.029

中圖分類號(hào)：TN814

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：0372-2112(2016)01-0200-06