孟飛翔，雷英杰，余曉東，雷　陽

(1.空軍工程大學防空反導學院，陜西西安710051; 2.武警工程大學，陜西西安710086)

?

基于直覺模糊Petri網(wǎng)的知識表示和推理

孟飛翔1，雷英杰1，余曉東1，雷陽2

(1.空軍工程大學防空反導學院，陜西西安710051; 2.武警工程大學，陜西西安710086)

摘要：針對模糊Petri網(wǎng)存在隸屬度單一的問題，將直覺模糊集理論與Petri網(wǎng)理論相結合，構建直覺模糊Petri網(wǎng)(Intuitionistic Fuzzy Petri Nets，IFPN)模型，用于知識的表示和推理.首先構建了IFPN模型，并將其應用于知識的表示，通過在模型中引入抑止轉(zhuǎn)移弧，解決了否命題的表示問題.其次提出了基于矩陣運算的IFPN推理算法，通過修改變遷觸發(fā)后token值的傳遞規(guī)則，解決了推理過程中的事實的保留問題;通過修改變遷的觸發(fā)規(guī)則，抑制了變遷的重復觸發(fā).最后對推理算法進行了分析，并舉例驗證了提出的IFPN模型及其推理算法的可行性，結果表明IFPN是對FPN的有效擴充和發(fā)展，其對推理結果的描述更加細膩、全面.

關鍵詞：直覺模糊Petri網(wǎng);直覺模糊產(chǎn)生式規(guī)則;知識表示;直覺模糊推理

1　引言

FPN是基于模糊產(chǎn)生式規(guī)則(Fuzzy Production Rules，F(xiàn)PRs)的知識系統(tǒng)的良好建模工具［1］，自C G Looney［2］1988年提出FPN，國內(nèi)外學者對基于FPN的知識表示及其推理方法進行了深入的研究.Shyi-Ming Chen提出了基于FPN的知識表示方法和推理算法［3］，并將權值引入FPN中，提出了加權模糊Petri網(wǎng)(Weighted Fuzzy Petri Nets，WFPN)［4］.Gao Meimei等［5］研究了否命題在模糊推理Petri網(wǎng)(Fuzzy Reasoning Petri Nets，F(xiàn)RPNs)中的表示方法，并提出了基于矩陣運算的FRPNs推理算法.汪洋等［6］指出了文獻［5］中的否命題表示方法存在不一致性的問題，并提出了一種含有否命題邏輯的一致性模糊Petri網(wǎng)(Consistent Fuzzy Petri Nets，CFPN)，用同一庫所同時表示原命題和否命題.賈立新等［7］提出了基于矩陣運算的FPN形式化推理算法，充分利用了Petri網(wǎng)的并行運算能力，但計算出的結果命題可信度可能大于1.

隨著知識的表示日益復雜，傳統(tǒng)的FPN并不能很好的滿足知識表示的需求.許多學者對其進行了擴展，提出了多種擴展FPN模型.Xiaoou Li等［8，9］提出了一種具有學習能力的自適應模糊Petri網(wǎng)(Adaptive Fuzzy Petri Nets，AFPN).Hu-Chen Liu等［10，11］提出了一種動態(tài)自適應模糊Petri網(wǎng)(Dynamic Adaptive Fuzzy Petri Nets，DAFPN)，該模型具有動態(tài)適應能力，因而能更準確地表示復雜的基于知識的專家系統(tǒng).Victor R L Shen［12］提出了一種高級模糊Petri網(wǎng)(High-Level Fuzzy Petri Nets，HLFPN)，能同時表示IF-THEN和IF-THEN-ELSE規(guī)則，從而具有了解決否定問題的能力.Witold Pedrycz［13］在FPN中加入時間因素，提出了模糊時間Petri網(wǎng)(fuzzy timed Petri Nets，ftPNs).

近年來，F(xiàn)PN被廣泛應用于知識的表示和推理［10，11］、建模仿真［14］以及故障診斷［15］等領域，但對FPN的研究始終局限于將Zadeh模糊集(Zadeh Fuzzy Sets，ZFS)理論和Petri網(wǎng)理論相結合.ZFS采用單一標度(即隸屬度或隸屬函數(shù))定義模糊集，只能描述“亦此亦彼”的“模糊概念”，無法表示中立狀態(tài)，F(xiàn)PN在繼承ZFS優(yōu)點的同時，也繼承了其隸屬度單一缺點.而直覺模糊集(Intuitionistic Fuzzy Sets，IFS)［16］由于增加了一個新的屬性參數(shù)——非隸屬度函數(shù)，因此可以描述“中立”的概念，它更加細膩地刻畫了客觀世界的模糊本質(zhì)，是對ZFS最有影響的一種擴充和發(fā)展.為此，本文將IFS理論與Petri理論網(wǎng)相結合構建IFPN模型用于知識的表示和推理.通過在IFPN模型中引入抑制轉(zhuǎn)移弧，修改變遷觸發(fā)后庫所token值的傳遞規(guī)則以及變遷的觸發(fā)條件，解決了否命題的表示，事實的保留和變遷的重復觸發(fā)等問題.

2　直覺模糊集及基本運算

Atanassov對直覺模糊集給出如下定義.

定義1(直覺模糊集［16］)設X是一個給定論域，則X上的一個直覺模糊集A為

其中μA(x): X→［0，1］和γA(x): X→［0，1］分別表示A的隸屬函數(shù)和非隸屬函數(shù)，且對于A上的所有x∈X，滿足0≤μA(x)+γA(x)≤1.由隸屬度μA(x)和非隸屬度γA(x)所組成的有序區(qū)間對＜μA(x)，γA(x)＞為直覺模糊數(shù).

當X為連續(xù)空間時，

當X = { x1，x2，…，xn}為離散空間時，

對于X中的直覺模糊子集A，稱πA(x)= 1 -μA(x)-γA(x)為A中x的直覺指數(shù)(Intuitionistic Index)，它是x 對A的猶豫程度(Hesitancy degree)的一種測度.顯然，對于每一個x∈X，0≤πA(x)≤1，且對于X中的每一個一般模糊子集A，πA(x)=1 -μA(x)-［1 -μA(x)］=0，?x∈X.

定義2(直覺模糊集基本運算［16］)設A和B是論域X上的直覺模糊子集，則有

(1)A∩B ={〈x，μA(x)∧μB(x)，γA(x)∨γB(x)〉|?x∈X}

(2)A∪B ={〈x，μA(x)∨μB(x)，γA(x)∧γB(x)〉|?x∈X}

(4)A?B??x∈X，［μA(x)≤μB(x)∧γA(x)≥γB(x)］

(5)A?B??x∈X，［μA(x)＜μB(x)∧γA(x)＞γB(x)］

(6)A = B??x∈X，［μA(x)=μB(x)∧γA(x)=γB(x)］

3　基于IFPN模型的知識表示

3.1直覺模糊產(chǎn)生式規(guī)則

FPRs是產(chǎn)生式規(guī)則與ZFS理論相結合的產(chǎn)物，它既具有產(chǎn)生式規(guī)則知識表示直觀的優(yōu)點又具有模糊推理的功能，但存在隸屬度單一的缺點.為此，本節(jié)將產(chǎn)生式規(guī)則與IFS理論相結合，構建直覺模糊產(chǎn)生式規(guī)則(Intuitionistic Fuzzy Production Rules，IFPR)用于知識的表示.

假設R = { R1，R2，…，Rn}是一個IFPR集，規(guī)則Ri最基本的形式如下:

其中dj和dk是直覺模糊命題，分別表示規(guī)則Ri的前提條件和結論，它們的真值為θj和θk; CFi和λi分別表示規(guī)則Ri的可信度和閾值;θj、θk、CFi和λi為直覺模糊數(shù).

參考文獻［3，5］對FPRs的分類，本文將常見的IFPR類型歸納為如下幾種:

(1)類型1:簡單的IFPR

假設θj=(μj，γj)，λi=(αi，βi)，CFi=(Cμi，Cγi)，

(ⅰ)當且僅當同時滿足μj≥αi，γj≤βi時，Ri才被應用，此時dk的真值為θk=(μk，γk)，其中:

(ⅱ)其他條件下，dk的真值不變.

(2)類型2:具有合取式前提條件的IFPR

Ri: IF dj1AND dj2AND…AND djnTHEN dk(CFi，λi)假設θjm=(μjm，γjm)(m = 1，2，…，n)，λi=(αi，βi)，CFi=(Cμi，Cγi)，

(ⅰ)當且僅當同時滿足

min(μj1，μj2，…，μjn)≥αi，max(γj1，γj2，…，γjn)≤βi時，Ri才被應用，此時dk的真值為θk=(μk，γk)，其中:

(ⅱ)其他條件下，dk的真值不變.

(3)類型3:具有析取式前提條件的IFPR

可以等價為如下n條規(guī)則

假設djm(m =1，2，…，n)的真值為θjm=(μjm，γjm)，λi=(αi，βi)，CFi=(Cμi，Cγi)，規(guī)則Ri中dk的真值為θk=(μk，γk)，等價規(guī)則Rim(m = 1，2，…，n)中dk的真值為θkm=(μkm，γkm)，

(ⅰ)如果等價規(guī)則Ri1，Ri2，…，Rin中存在一條或者多條規(guī)則被應用，則規(guī)則Ri被應用，Ri中的dk的最終真值為θk=(μk，γk)，其中:

在等價規(guī)則Rim(m =1，2，…，n)中，

①當且僅當同時滿足μjm≥αi，γjm≤βi時，Rim才被應用，此時Rim中的dk的真值為θkm=(μkm，γkm)，其中

②其他條件下，Rim中的dk的真值θkm=(μkm，γkm)不變.

(ⅱ)如果等價規(guī)則Ri1，Ri2，…，Rin都未被應用，則規(guī)則Ri未被應用，此時Ri中的dk的真值θk=(μk，γk)不變.

(4)類型4:具有合取式結論的IFPR

Ri: IF djTHEN dk1AND dk2AND…AND dkn(CFi，λi)假設dj的真值為θj=(μj，γj)，λi=(αi，βi)，CFi=(Cμi，

(ⅱ)其他條件下，dkm的真值不變.

(5)類型5:具有析取式結論的IFPR

由于該類型的規(guī)則推理結果不確定，不允許出現(xiàn)在規(guī)則庫中，本文不做討論.

3.2否命題的表示

在一個規(guī)則集中，命題的原命題和否命題可能同時存在.如規(guī)則集S1= { R1，R2}，其中

為合理表示原命題與否命題，文獻［9］通過引入負權值表示否定的含義;文獻［17］用兩個不同的庫所分別表示原命題和否命題，但這會增加模型的復雜度;文獻［5］用抑止弧和新庫所分別表示前提條件和結論中的否命題，但存在模型表示不唯一和推理結果矛盾等問題.文獻［6］將原命題和否命題分別理解為該命題在規(guī)則中起促進和阻礙作用(例如R1中┐d2在推理中阻礙了d4的發(fā)生)，通過在模型的轉(zhuǎn)移弧上加入標志“-”來區(qū)分促進和阻礙作用(沒有標志的轉(zhuǎn)移弧為正轉(zhuǎn)移弧，表示促進作用;帶有“-”的為抑制轉(zhuǎn)移弧，表示阻礙作用)，成功地用同一庫所同時表示原命題和否命題，避免了改變原模型的結構.

本文將這種表示方法引入IFPN模型中，用于表示模型中的原命題和否命題.規(guī)則集S1可用圖1表示.Cγi)，

(ⅰ)當且僅當同時滿足μj≥αi，γj≤βi，Ri才被應用，dkm(m =1，2，…，n)的真值為θkm=(μkm，γkm)，其中:

3.3IFPN的定義

定義3(直覺模糊Petri網(wǎng))

IFPN可定義為一個11元組

IFPN =(P，T，D，I，IN，O，ON，δ，θ，Th，CF)，其中

(1)P = { p1，p2，…，pn}是一個有限庫所集合;

(2)T = { t1，t2，…，tm}是一個有限變遷集合;

(3)D = { d1，d2，…，dn}是一個有限命題集合，| P |= |D|，P∩T∩D =?;

(4)I: P×T→{ 0，1}是一個表示從庫所到變遷(從命題到規(guī)則)的n×m維輸入正轉(zhuǎn)移矩陣，其矩陣元素I(pi，tj)滿足如下條件:當存在由pi到tj的正轉(zhuǎn)移弧時，I(pi，tj)=1;否則I(pi，tj)= 0，其中i = 1，2，…，n，j = 1，2，…，m;

(5)IN: P×T→{ 0，1}是一個表示從庫所到變遷(從命題到規(guī)則)的n×m維輸入抑制轉(zhuǎn)移矩陣，其矩陣元素I(pi，tj)滿足如下條件:當存在由pi到tj的抑制轉(zhuǎn)移弧時，IN(pi，tj)=1;否則IN(pi，tj)= 0，其中i = 1，2，…，n，j =1，2，…，m;

(6)O: P×T→{ 0，1}是一個表示從變遷到庫所(從規(guī)則到結論)的n×m維輸出正轉(zhuǎn)移矩陣，其矩陣元素O(pi，tj)滿足如下條件:當存在由tj到pi的正轉(zhuǎn)移弧時，O(pi，tj)=1;否則O(pi，tj)=0，其中i =1，2，…，n，j =1，2，…，m;

(7)ON: P×T→{ 0，1}是一個表示從變遷到庫所(從規(guī)則到結論)的n×m維輸入抑制轉(zhuǎn)移矩陣，其矩陣元素I(pi，tj)滿足如下條件:當存在由tj到pi的抑制轉(zhuǎn)移弧時，ON(pi，tj)= 1;否則ON(pi，tj)= 0，其中i = 1，2，…，n，j =1，2，…，m;

(8)δ: P→D表示庫所與命題之間的一一對應關系，其中δ(pi)= di;

(9)θ=(θ1，θ2，…，θn)T是一個n維列向量，表示庫所的token值(即命題的模糊真值)，其中θi=(μi，γi)是一個直覺模糊數(shù)，表示庫所pi中的命題di的真值;命題的初始真值記作

(10)Th =(λ1，λ2，…，λm)T是一個m維列向量，表示變遷的閾值(即規(guī)則啟動的條件)，其中λj=(αj，βj)是一個直覺模糊數(shù)，表示變遷tj的閾值(即規(guī)則Rj啟動的條件);

(11)CF = diag(CF1，CF2，…，CFm)為一個m×m維的矩陣，表示規(guī)則的可信度，其中CFj=(Cμj，Cγj)為一直覺模糊數(shù)，表示規(guī)則Rj的可信度; Cμj表示規(guī)則Rj可信度的支持程度，稱作置信度，Cγj表示規(guī)則Rj可信度的反對程度，稱作非置信度.

定理1 FPN是IFPN的特例.

證明當庫所pi中的命題di(i = 1，2，…，n)的直覺模糊指數(shù)πi(x)=0時，即滿足條件μi(x)+γi(x)= 1，此時庫所中的直覺模糊命題變成了模糊命題，IFPN即簡化成了FPN，所以FPN是IFPN的特例.

3.4基于IFPN的知識表示方法

IFPR集與IFPN模型的對應關系如下，可用表1表示.

表1　IFPR集與IFPN模型的對應關系

按照表1所示的對應關系，可以將IFPR集映射為IFPN.

(1)簡單的IFPR的IFPN模型

其中，庫所pj和pk分別表示規(guī)則的前提條件命題dj和結論命題dk; pj和pk中的token值θj=(μj，γj)和θk=(μk，γk)分別表示dj和dk的真值;λi=(αi，βi)表示變遷ti的閾值(即規(guī)則Ri的閾值); CFi=(Cμi，Cγi)表示變遷ti的可信度(即規(guī)則Ri的可信度)，θj、θk、λi和CFi為直覺模糊數(shù).

當且僅當同時滿足μj≥α，γj≤β，變遷ti才能觸發(fā)(即規(guī)則Ri應用)，pk的token值(即dk的真值)θk=(μk，γk)，其中:

(2)具有合取式前提條件的IFPR的IFPN模型

假設djm(m =1，2，…，n)和dk的真值分別為θjm=(μjm，γjm)和θk=(μk，γk)，λi=(αi，βi)，CFi=(Cμi，Cγi).

當且僅當同時滿足min(μj1，μj2，…，μjn)≥αi，max(γj1，γj2，…，γjn)≤βi時，ti才能觸發(fā)(即Ri應用)，pk的token值(即dk的真值)θk=(μk，γk)，其中:

(3)具有析取式前提條件的IFPR的IFPN模型

假設djm(m =1，2，…，n)和dk的真值分別為θjm=(μjm，γjm)和θk=(μk，γk)，λi=(αi，βi)，CFi=(Cμi，Cγi).

如果pj1，pj2，…，pjn的中有m個庫所pj1，pj2，…，pjm(1≤m≤n)的token值同時滿足μjm≥αi，γjm≤βi，則變遷tj1，tj2，…，tjm觸發(fā)(此時Ri應用)，pk的token值(即dk的真值)θk=(μk，γk)，其中:

(4)具有合取式結論的IFPR的IFPN模型

假設pj，pk1，pk2，…，pkn的token值分別為θj，θk1，θk2，…，θkn，其中θj=(μj，γj)，

當且僅當同時滿足μj≥αi，γj≤βi，ti才能觸發(fā)(即Ri應用)，pki的token值(即dki的真值)θki=(μki，γki)，其中:

4　基于IFPN的推理算法

4.1IFPN的擴展

為更好地利用IFPN進行模糊推理，需要解決以下兩個問題:事實的保留和變遷的重復觸發(fā).

(1)事實的保留

事實的保留是指在IFPN推理過程中當變遷t觸發(fā)后，輸出庫所的token值更新，而輸入庫所的token值保持不變.傳統(tǒng)的FPN描述的是信息(token值)的流動，當信息從輸入庫所流到輸出庫所，便在輸入庫所中消失了，這相當于在推理過程中推理的前提條件隨著結論的出現(xiàn)而消失，顯然不符合知識處理的要求.

為了保留初始事實，Nazareth［18］提出從變遷到它的所有輸入庫所都增加一條額外的有向弧，該方法會增加模型的復雜度.C G Looney［2］通過復制token值，將初始token留在輸入庫所而將token的副本放入到輸出庫所，從而解決了事實保留的問題.Gao Meimei等［5］通過修改推理算法達到了保留了事實的目的.本文通過修改變遷觸發(fā)后庫所token值的傳遞規(guī)則，解決IFPN推理過程中事實保留的問題.

假設在變遷tk觸發(fā)前，庫所中的token值為θk=其中表示庫所pi中的token值.變遷tk觸發(fā)后，庫所中的token值為

其中

通過修改變遷觸發(fā)后庫所token值的傳遞規(guī)則，既保留了事實又沒有改變原IFPN的結構，從而避免了降低推理效率.

(2)抑制變遷的重復觸發(fā)(避免規(guī)則重復使用)

在基于IFPR的推理過程中，如果規(guī)則的前提條件沒有改變，那么該規(guī)則最多只能應用一次.相應地在基于IFPN的推理過程中，若變遷的輸入庫所沒有變化，則該變遷最多只能觸發(fā)一次.而事實得到保留后(即輸入庫所的token值得到保留)，變遷的觸發(fā)條件就一直滿足，這會導致已經(jīng)觸發(fā)過的變遷重復觸發(fā)，從而導致反復執(zhí)行同一條規(guī)則，增加不必要的計算.為此Nazareth［18］提出為每個變遷增加一個只包含單個token值的庫所，在變遷觸發(fā)后，這個庫所的token值消失，從而避免了變遷的重復觸發(fā)，但這會增加庫所的數(shù)目，導致模型變的更加復雜.

本文通過在基于IFPN的推理算法中增加“判斷每個變遷的等效輸入是否大于先前的輸入”這一步驟，來避免變遷的重復觸發(fā).對任意變遷，只要其所有輸入庫所的等效輸入不大于先前的等效輸入，該變遷就沒必要觸發(fā).

4.2基于IFPN的推理算法

4.2.1定義算子

為了簡潔地表示推理算法，定義如下算子:

(1)乘法算子?: C = A?B，其中

(2)加法算子⊕: C = A⊕B，其中

(3)比較算子一: C = A一B，其中

(5)直乘算子⊙: C = A⊙B，其中

(6)向量否定算子neg

已知θ=(θ1，θ2，…，θn)T=((μ1，γ1)，(μ2，γ2)，…，(μn，γn))T，則

4.2.2基于IFPN的推理算法

非循環(huán)網(wǎng)是指沒有回路和環(huán)形的網(wǎng)，在大多數(shù)實際應用的知識庫中幾乎不存在循環(huán)［5］.因此本文假設構建的基于IFPR的IFPN模型是一個非循環(huán)網(wǎng)，即模型中不存在回路.

定義4(直接可達集，可達集［1，3］)在IFPN模型中，假設ti是一個變遷，pi、pj、pk是庫所，如果pi∈I(ti)∩IN(ti)并且pj∈O(ti)∩ON(ti)，則稱從pi直接可達pj.如果從pi直接可達pj，且從pj直接可達pk，則稱從pi可達pk.所有從pi直接可達的庫所構成的集合稱為pi的直接可達集(immediate reachability set)，記為IRS(pi).所有從pi可達的庫所構成的集合稱為pi的可達集(reachability set)，記為RS(pi).

假設IFPR集S中有n個命題，m條規(guī)則，對應的IFPN模型有n個庫所，m個變遷，則基于IFPN的推理算法如下:

4.3算法分析

定義5(源庫所，終結庫所［8］)

如果一個庫所沒有輸入庫所，就稱該庫所為源庫所(Source Places);如果一個庫所沒有輸出庫所，就稱該庫所為終結庫所(Sink Places).

定義6(路徑［8］)

對一個給定的庫所p，如果p可以通過變遷t1，t2，…，tn順序地從源庫所中獲取token值，則稱變遷序列t1，t2，…，tn為庫所p的一個路徑(route).如果變遷序列t1，t2，…，tn可以依次被觸發(fā)，則稱該路徑為活動路徑.

定理3 θk=θk -1是推理結束的充要條件.

該定理顯然成立，證明略過.

定理4該推理算法可以在有限k次循環(huán)后結束，其中1≤k≤h +1，h表示IFPN模型中的最長路徑的變遷數(shù)目.

證明(1)先證該推理算法可以在有限k次循環(huán)后結束

假設在第k次推理結束時，θk=θk -1，顯然根據(jù)定理3，推理已經(jīng)結束.

(2)再證1≤k≤h +1

(ⅰ)先證k = h +1

假設h表示IFPN模型中的最長路徑的變遷數(shù)目，我們只需證明當k = h + 1時，推理結束后

1)，(0，1)，…，(0，1))T或者θh +1=θh.

假設pi為該最長路徑的終結庫所，對應的變遷為ti，則在推理進行到第h步和第h + 1步，庫所pj(j = 1， 2，3，…，n，j≠i)中的token值完全相同，即θh和θh +1中除了終結庫所的token值不同，其他的庫所的token值完全相同，而各個變遷的等效輸入只與它的輸入庫所的token值相關，與它的輸出庫所token值無關.

所以綜上所知，k = h和k = h +1時，各個變遷的等效輸入ρh和ρh +1相同.由式(13)可知((0，1)，(0，1)，…，(0，1))T，根據(jù)定理2，此時推理結束.

(ⅱ)再證k＜h +1成立

當k = j，j＜h +1時，如果各個未觸發(fā)變遷的等效輸入小于對應變遷的閾值，則有(0，1)，…，(0，1))T，此時變遷不再觸發(fā).根據(jù)式(14～16)可知θk不再變化，所以k＜h + 1時，推理也可能結束.

綜上所述，定理得證.

定理5該推理算法的復雜度為O(nm2).

證明假設IFPN模型中不存在回路，那么在一般情況下，推理算法的復雜度為O(knm)，其中k為推理算法循環(huán)的次數(shù)，考慮最壞的情況，即推理循環(huán)了h + 1 次(h表示IFPN模型中的最長路徑的變遷數(shù)目)，那么總的算法復雜度為O((h +1)nm)= O((m +1)nm)，即為O(nm2).

所以，假設IFPR集S中有n個命題，m條規(guī)則，對應的IFPN模型有n個庫所，m個變遷，則基于IFPN的推理算法的復雜度為O(nm2).

5　實例驗證及分析

規(guī)則集S2如下:

其中R5可以等效為如下兩條規(guī)則:

R6在圖6所示的IFPN模型中，可以忽略.規(guī)則集S2的IFPN模型如圖6所示.

已知n =10，m =6，

推理過程如下:

(1)推理開始，令k =1

ρ1==((0.5，0.3)，(0.5，0.3)，(0.8，0.1)，(0，1)，(0，1)，(0，1))T，((0.5，0.3)，(0.5，0.3)，(0.8，0.1)，(0，1)，(0，1)，，推理繼續(xù).

(2)此時k =2

ρ2=((0.5，0.3)，(0.5，0.3)，(0.8，0.1)，(0.35， 0.44)，(0，1)，(0.48，0.28))T，(0，1)，(0，1)，(0.35，0.44)，(0，1)，(0.48，0.28))T，≠((0，1)，(0，1)，…，(0，1))T推理繼續(xù).

(3)此時k =3

ρ3=((0.5，0.3)，(0.5，0.3)，(0.8，0.1)，(0.35， 0.44)，(0.496，0.245)，(0.48，0.28))T，((0，1)，(0，1)，(0，1)，(0，1)，(0.496，0.245)，(0，1))T，ρ'3≠((0，1)，(0，1)，…，(0，1))T推理繼續(xù).

(4)此時k =4

ρ4=((0.5，0.3)，(0.5，0.3)，(0.8，0.1)，(0.35， 0.44)，(0.496，0.245)，(0.48，0.28))T，((0，1)，(0，1)，(0，1)，(0，1)，(0，1)，(0，1))T，推理結束，命題的最終真值為

通過實例驗證可以發(fā)現(xiàn)本文提出的IFPN模型及推理算法與現(xiàn)有方法的不同之處主要有以下幾點:

(1)本文采用一個庫所同時表示原命題和否命題，該方法并未增加庫所的數(shù)目，避免了增加計算的復雜度.

(2)算法的Step3通過增加“判斷每個變遷的等效輸入是否大于先前的輸入”這一步，抑制了變遷的重復觸發(fā)，避免了重復推理.

(3)算法的Step6保留了事實，避免了推理過程中前提條件的丟失，更符合實際推理過程.

(4)與基于FPN的推理方法相比，本文提出的基于IFPN的推理方法的克服了FPN推理結果隸屬度單一的缺陷，推理結果中增加了非隸屬度，對推理結果的表示更加細膩、全面，更符合客觀實際.如命題d10的真值為(0.248，0.4715)，表示d10的隸屬度為0.248，非隸屬度為0.4715.

6　結論

本文將IFS理論與Petri網(wǎng)理論相結合，構建了IFPN模型用于知識的表示和推理，解決了IFPN模型中否命題的表示，基于IFPN推理過程中事實的保留和變遷的重復觸發(fā)等問題.

實例驗證表明本文構建的IFPN克服了現(xiàn)有FPN隸屬度單一的缺陷，由于增加了非隸屬度，使得IFPN對知識的表示更加準確;提出的基于矩陣運算的推理算法，在推理過程中充分利用了Petri網(wǎng)的圖形描述和并行運算能力，使得推理能夠自動運行并且提高了推理的效率.

［1］鮑培明.基于BP網(wǎng)絡的模糊Petri網(wǎng)的學習能力［J］.計算機學報，2004，27(5): 695 -702.Bao Peiming.Learning capability in fuzzy Petri nets based on BP net［J］.Chinese Journal of Computers，2004，27(5): 695 -702.(in Chinese)

［2］C G Looney.Fuzzy Petri nets for rule-based decision making［J］.IEEE Transactions on Systems，Man，and Cybernetics，1998，18(1): 178 -183.

［3］Shyi-Ming Chen，Jyh-Sheng Ke，Jin-Fu Chang.Knowledge representation using fuzzy Petrinets［J］.IEEE Transactions on Knowledge and Data Engineering，1990，2(3): 311 -319.

［4］Shyi-Ming Chen.Weighted fuzzy reasoning using weighted fuzzy Petri nets［J］.IEEE Transactions on Knowledge and Data Engineering，2002，14(2): 386 -397.

［5］Meimei Gao，MengChu Zhou，Xiaoguang Huang，Zhiming Wu.Fuzzy reasoning Petri nets［J］.IEEE Transactions on Systems，Man，and Cybernetics-Part A: Systems and Humans，2003，33(3): 314 -324.

［6］汪洋，林闖，曲揚，等.含有否定命題邏輯推理的一致性模糊Petri網(wǎng)模型［J］.電子學報，2006，34(11): 1955 -1960.Wang Yang，Lin Chuang，Qu Yang，et al.Consistentfuzzy Petri nets model for logic programs with negation［J］.Acta Electronica Sinica，2006，34(11): 1955 - 1960.(in Chi-nese)

［7］賈立新，薛鈞義，茹峰.采用模糊Petri網(wǎng)的形式化推理算法及其應用［J］.西安交通大學學報，2003，37(12): 1263 -1266.Jia Lixin，Xun Junyi，Ru Feng.Fuzzy Petri net based formalized reasoning algorithm with applications［J］.Journal of Xi’an Jiaotong University，2003，37(12): 1263 - 1266.(in Chinese)

［8］Xiaoou Li，Wen Yu，F(xiàn)elipe Lara-Rosano.Dynamic knowledge inference and learning under adaptive fuzzy Petri net framework［J］.IEEE Transactions on Systems，Man，and Cybernetics-Part C: Applications and Reviews，2000，30(4): 442 -450.

［9］X Li，F(xiàn) Lara-Rosano.Adaptive fuzzy Petri nets for dynamic knowledge representation and inference［J］.Expert Systems with Applications，2000，19: 235 -241.

［10］Hu-Chen Liu，Long Liu，Qing-Lian Lin，et al.Knowledge acquisition and representation using fuzzy evidential reasoning and dynamic adaptive fuzzy Petri nets［J］.IEEE Transactions on Cybernetics，2013，43(3): 1059 -1072.

［11］Hu-Chen Liu，Qing-Lian Lin，Ling-Xiang Mao，et al.Dynamicadaptive fuzzy Petri nets for knowledge representation and reasoning［J］.IEEE Transactions on Systems，Man，and Cybernetics: Systems，2013，43(6 ): 1399 -1410.

［12］Victor R L Shen.Knowledge representation using highlevel fuzzy Petri nets［J］.IEEE Transactions on Systems，Man，and Cybernetics-Part A: Systems and Humans，2006，36(6): 2120 -2127.

［13］Witold Pedrycz，Heloisa Camargo.Fuzzy timed Petri nets［J］.Fuzzy Sets and Systems，2003，140: 301 - 330.

［14］Feng Zhou，Roger J Jiao，Qianli Xu，et al.User experience modeling and simulation for product ecosystem design based on fuzzy reasoning Petri nets［J］.IEEE Transactions on Systems，Man，and Cybernetics-Part A: Systems and Humans，2012，1(42): 201 -212.

［15］Jing Sun，Shi-Yin Qin，Yong-Hua Song.Faultdiagnosis of electric power systems based on fuzzy Petri nets［J］.IEEE Transactions on Power Systems，2004，19(4 ): 2053 -2059.

［16］Atanassov K.Intuitionistic fuzzy sets［J］.Fuzzy Sets and Systems，1986，20(1): 87 -96.

［17］Stephen JH Yang，Jeffrey JP Tsai，Chyun-Chyi Chen.Fuzzy rule base systems verification using high-level Petri nets［J］.IEEE Transactions on Knowledge and Data Engineering，2003，15(2): 457 -473.

［18］Derek L Nazareth.Investigating the applicability of Petri nets for rule-based system verification［J］.IEEE Transactions on Knowledge and Data Engineering，1993，4(3): 402 -410.

孟飛翔男，1986年11月出生，河南信陽人，現(xiàn)為空軍工程大學計算機應用專業(yè)博士研究生，主要研究方向為智能信息處理.

E-mail: ttimo@163.com

雷英杰男，1956年11月出生，陜西華陰人，IEEE高級會員.現(xiàn)為空軍工程大學教授，博士生導師，主要研究方向為智能信息處理與智能決策.

E-mail: leiyjie@163.com

Knowledge Representation and Reasoning Using Intuitionistic Fuzzy Petri Nets

MENG Fei-xiang1，LEI Ying-jie1，YU Xiao-dong1，LEI Yang2
(1.Air and Missile Defense College，Air Force Engineering University，Xi’an，Shaanxi 710051，China; 2.Engineering University of Armed Police Force，Xi’an，Shaanxi 710086，China)

Abstract:Aimed at fuzzy Petri nets(FPN)existing membership single issue，intuitionistic fuzzy Petri nets(IFPN)was constructed for knowledge representation and reasoning by combining intuitionistic fuzzy sets theory and Petri net theory.Firstly，IFPN model was constructed for knowledge representation，and the issue of negative proposition representation was solved by introducing inhibitive transfer arcs into the model.Secondly，the algorithm based on matrix operation was presented，the issue of fact reservation in reasoning procedure was solved by modifying token value’s transfer rules after transitions being fired，and the issue of transitions repeatedly being fired was inhibited by modifying firing rules of transitions.Lastly，the algorithm was analyzed，and the feasibility of proposed IFPN model and algorithm was proved through an example.The result indicates that IFPN is an effective extension and development of FPN，and it describes the reasoning result more delicately and comprehensively.

Key words:intuitionistic fuzzy Petri nets(IFPN); intuitionistic fuzzy production rules; knowledge representation; intuitionistic fuzzy reasoning

作者簡介

基金項目:國家自然科學基金(No.61272011);國家自然科學青年基金(No.61309022)

收稿日期:2014-07-15;修回日期: 2015-02-11;責任編輯:李勇鋒

DOI:電子學報URL：http: / /www.ejournal.org.cn10.3969/j.issn.0372-2112.2016.01.012

中圖分類號：TP18

文獻標識碼：A

文章編號：0372-2112(2016)01-0077-10