朱國(guó)輝，馮大政，聶衛(wèi)科

(1.西安電子科技大學(xué)雷達(dá)信號(hào)處理國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西西安710071; 2.西北大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，陜西西安710127)

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傳感器位置誤差情況下基于多維標(biāo)度分析的時(shí)差定位算法

朱國(guó)輝1，馮大政1，聶衛(wèi)科2

(1.西安電子科技大學(xué)雷達(dá)信號(hào)處理國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西西安710071; 2.西北大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，陜西西安710127)

摘要：傳統(tǒng)時(shí)差定位方法一般是在假設(shè)傳感器位置信息準(zhǔn)確已知的前提下進(jìn)行的.然而在實(shí)際情形中，傳感器位置信息往往含有隨機(jī)誤差，這些誤差會(huì)嚴(yán)重影響對(duì)目標(biāo)的定位精度.針對(duì)這一問題，提出了一種傳感器位置誤差情況下的多維標(biāo)度時(shí)差定位算法.首先利用傳感器位置和時(shí)差構(gòu)造對(duì)稱標(biāo)量積矩陣，然后利用子空間理論建立關(guān)于目標(biāo)位置的偽線性方程，最后通過設(shè)計(jì)加權(quán)矩陣來減少傳感器位置誤差對(duì)目標(biāo)定位精度的影響.采用一階小噪聲擾動(dòng)理論求出了目標(biāo)位置估計(jì)的偏差及協(xié)方差矩陣，并通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該算法的有效性.

關(guān)鍵詞：無源定位;到達(dá)時(shí)間差;傳感器位置誤差;多維標(biāo)度分析;加權(quán)最小二乘估計(jì)

1　引言

無源定位技術(shù)在雷達(dá)、聲納、導(dǎo)航、無線通信和傳感器網(wǎng)絡(luò)等領(lǐng)域［1～4］有著廣泛的應(yīng)用.就具體的定位參數(shù)信息而言，主要包括到達(dá)時(shí)間、到達(dá)時(shí)間差(Time Difference of Arrival，TDOA)和到達(dá)角等［5，6］;其中基于多站TDOA信息的定位技術(shù)對(duì)接收系統(tǒng)的要求較低，具有定位成本低、精度較高［7］等優(yōu)點(diǎn)，因而受到越來越多的關(guān)注.目前，常見的利用TDOA測(cè)量信息對(duì)目標(biāo)進(jìn)行定位的算法有泰勒級(jí)數(shù)(Taylor-Series，TS)法［8］、兩級(jí)加權(quán)最小二乘(Two-Stage Weighted Least-Squares，TSWLS)法［9］、近似最大似然估計(jì)法［10］和多維標(biāo)度分析法(Multidimensional Scaling analysis，MDS)［11］等.

然而，這些TDOA定位方法都是在假設(shè)傳感器位置信息準(zhǔn)確已知的前提下進(jìn)行的;而在實(shí)際應(yīng)用中，傳感器常常被安裝在運(yùn)動(dòng)平臺(tái)上，其位置信息往往含有隨機(jī)誤差.文獻(xiàn)［12］的研究表明，傳感器位置中含有的隨機(jī)誤差，即使在很小的情況下，也會(huì)嚴(yán)重降低目標(biāo)的定位精度;同時(shí)，文獻(xiàn)［12］提出了一種針對(duì)傳感器位置誤差的兩級(jí)加權(quán)最小二乘法，該法利用傳感器位置誤差統(tǒng)計(jì)信息設(shè)計(jì)加權(quán)矩陣來減輕對(duì)目標(biāo)定位精度的影響.但是該方法在第二級(jí)求解時(shí)涉及到開方運(yùn)算，可能出現(xiàn)虛數(shù)解.文獻(xiàn)［13］將總體最小二乘技術(shù)應(yīng)用到含有傳感器位置誤差的TDOA定位中，所得定位結(jié)果并不能達(dá)到克拉美羅界(Cramer-Rao Lower Bound，CRLB).文獻(xiàn)［14］提出了一種修正泰勒級(jí)數(shù)法，該法同時(shí)估計(jì)目標(biāo)和傳感器位置，運(yùn)算量較大，而且收斂性難以保證.文獻(xiàn)［15］提出了一種利用虛擬目標(biāo)位置的兩級(jí)加權(quán)最小二乘法，首先該法需要目標(biāo)虛擬位置估計(jì)，定位精度依賴于虛擬位置;其次該法也同時(shí)估計(jì)了傳感器位置誤差，運(yùn)算量大大增加，并且文獻(xiàn)［16，17］中的實(shí)驗(yàn)表明該法并不能明顯提高傳感器位置的精度.基于MDS的定位方法由于對(duì)測(cè)量誤差具有較強(qiáng)的穩(wěn)健性［18，19］，已廣泛應(yīng)用于定位中;然而這些MDS定位方法沒有考慮傳感器位置誤差，并且因其推導(dǎo)過程過于復(fù)雜，不能直接應(yīng)用于傳感器位置誤差情況下的定位場(chǎng)景.為此，本文提出了一種傳感器位置誤差情況下基于MDS的TDOA定位算法，利用傳感器位置誤差和TDOA測(cè)量誤差的統(tǒng)計(jì)信息設(shè)計(jì)加權(quán)矩陣來減輕隨機(jī)誤差對(duì)目標(biāo)定位精度的影響;并根據(jù)一階小噪聲擾動(dòng)理論求出了目標(biāo)位置的估計(jì)偏差和協(xié)方差矩陣.仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該算法的有效性.

2　TDOA定位模型

假設(shè)三維空間中傳感器真實(shí)位置坐標(biāo)為si=［xi，yi，zi］T，i =1，2…，N，N≥5，且假設(shè)這些傳感器不在同一直線、同一平面上.真實(shí)目標(biāo)位置為u =［x，y，z］T，則目標(biāo)u到傳感器si的距離為:

不考慮非視距傳播的影響，根據(jù)TDOA定位原理可得:

將式(2)兩端同時(shí)乘以信號(hào)傳播速度c可得:

其中，ni1= cΔti1表示相應(yīng)的距離差測(cè)量誤差.然后將式(3)寫成矢量形式為:

其中，r =［r11，r21，…，rN1］T，n =［n11，n21，…，nN1］T.假定誤差矢量n服從均值為零，協(xié)方差矩陣為Q = diag(0，Qr)的高斯分布，Qr為實(shí)際距離差測(cè)量誤差協(xié)方差矩陣.

在實(shí)際應(yīng)用中，傳感器真實(shí)位置坐標(biāo)si一般未知，需要預(yù)先進(jìn)行估計(jì).假設(shè)估計(jì)得到的含有隨機(jī)誤差的傳感器位置坐標(biāo)可以表示為:

其中，Δsi為傳感器位置誤差，將式(5)表示為矢量形式

在傳感器位置含有隨機(jī)誤差的情況下，基于多站TDOA測(cè)量信息的定位問題即為根據(jù)方程組(4)和(6)盡可能準(zhǔn)確地估計(jì)目標(biāo)位置坐標(biāo)u.

3　基于多維標(biāo)度的TDOA定位算法

由式(1)可知，距離差定位方程(3)是關(guān)于目標(biāo)位置u的非線性方程，利用傳感器位置信息和TDOA測(cè)量信息構(gòu)造關(guān)于目標(biāo)位置的偽線性方程.首先令xi=，i = 1，2，…，N，j為虛數(shù)單位，r01= - r1;再令E = X -1NxT，其中X =［x1，x2，…，xN］T是由真實(shí)傳感器位置和TDOA組成的N×4維矩陣，1N為元素均為1的N維列向量.構(gòu)造對(duì)稱標(biāo)量積矩陣Z = EET，其第p行q列元素為，1≤p，q≤N

利用(sp- u)T(sq- u)與0.5之間的等價(jià)性可將式(7)化為:

由于傳感器位置信息和TDOA測(cè)量信息均含有隨機(jī)誤差，根據(jù)式(3)和式(5)，將rp1，rq1，sp和sq分別表示為并代入式(8)，忽略二階誤差項(xiàng)，可得:

由文獻(xiàn)［11］可知:

其中，Vn為Z的噪聲子空間.同時(shí)去掉式(10)中X和x含有的虛數(shù)單位j，并聯(lián)合恒等式可得:

其中，P =[ 1N，S，r ]T，S =由于真實(shí)的傳感器位置和TDOA均未知，將P表示為其中

其中，上標(biāo)?表示偽逆.

對(duì)式(12)兩邊同時(shí)左乘以矩陣Z可得:

將式(15)代入式(14)，忽略二階擾動(dòng)項(xiàng)，經(jīng)整理可得:

其中，

其中，u1=，可以看出式(24)即為關(guān)于目標(biāo)位置的偽線性方程，其加權(quán)最小二乘解為:

其中，ΔA1和ΔA25分別ΔA的第一列和第二至五列組成的矩陣，忽略高階偏差項(xiàng)，根據(jù)式(13)及(24)可得:

需要說明的是式(25)中估計(jì)^u1在求解過程中并沒有考慮u1中分量u和r1之間的關(guān)系;實(shí)際上，矩陣Z的第1行第1列元素已經(jīng)利用等式約束，沒有再利用u和r1之間的關(guān)系來進(jìn)一步優(yōu)化式(25)中定位結(jié)果的必要.

在加權(quán)最小二乘估計(jì)過程中，加權(quán)矩陣W的取值依賴于真實(shí)目標(biāo)位置u，可先令W = IN，由式(25)求出目標(biāo)位置初始估計(jì)，然后根據(jù)W的定義來求取加權(quán)矩陣，這樣可以得到更準(zhǔn)確的目標(biāo)位置估計(jì).

4　仿真實(shí)驗(yàn)

假設(shè)6個(gè)傳感器位置坐標(biāo)分別為: s1=［300，100，150］T，s2=［400，150，100］T，s3=［300，500，200］T，s4= ［350，200，100］T，s5=［- 100，- 100，- 100］T和s6= ［200，-300，-200］T，所有位置坐標(biāo)單位均為米.假設(shè)距離差測(cè)量值服從均值為零、方差為的高斯分布，協(xié)方差矩陣為;傳感器位置誤差協(xié)方差矩陣10，10，40，40，40，20，20，20，3，3，3)［21］.采用目標(biāo)位置的估計(jì)偏差和均方根誤差對(duì)各算法的定位性能進(jìn)行衡量，其定義式分別為，其中為第l次目標(biāo)位置估計(jì)，L =104表示蒙特卡羅仿真實(shí)驗(yàn)次數(shù).仿真中用MDS表示文中算法，并用TSWLS法［12］所得結(jié)果作為TS法的迭代初始值.仿真中所用近場(chǎng)和遠(yuǎn)場(chǎng)目標(biāo)位置分別為u =［600，650，-550］T和u =［2000，2500，3000］T.

仿真6假設(shè)目標(biāo)位置坐標(biāo)是在以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心的、邊長(zhǎng)為1200m的正立方體中隨機(jī)產(chǎn)生，對(duì)應(yīng)的目標(biāo)的位置坐標(biāo)范圍為: x，y，z∈［- 600，600］.圖6為文中方法與TLS及TSWLS法在情況下對(duì)1000次隨機(jī)產(chǎn)生的目標(biāo)位置隨變化時(shí)的估計(jì)均方根誤差.可以看出，在傳感器位置誤差較小時(shí)，文中方法與TSWLS法性能相當(dāng)，隨著傳感器位置誤差的增加，文中方法要優(yōu)于TLS和TSWLS法.

5　結(jié)束語(yǔ)

傳感器位置誤差的存在會(huì)嚴(yán)重影響目標(biāo)的定位精度，本文針對(duì)這一問題提出了一種顧及傳感器位置誤差的多維標(biāo)度TDOA定位算法.本文算法利用傳感器位置和TDOA信息構(gòu)造對(duì)稱矩陣，然后利用傳感器位置誤差和TDOA測(cè)量誤差的統(tǒng)計(jì)信息設(shè)計(jì)加權(quán)矩陣來減輕對(duì)目標(biāo)定位精度的影響;且本文算法不需要初始目標(biāo)位置估計(jì)進(jìn)行迭代運(yùn)算，保證了定位結(jié)果的全局收斂性.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該方法在傳感器位置誤差和TDOA測(cè)量誤差較小時(shí)對(duì)近場(chǎng)和遠(yuǎn)場(chǎng)目標(biāo)位置的估計(jì)偏差均較小，估計(jì)均方根誤差能夠達(dá)到CRLB，在測(cè)量誤差較大時(shí)與傳統(tǒng)TDOA定位算法相比具有較好的定位性能.

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朱國(guó)輝男，1987年5月出生，河南駐馬店人.2006年在吉林大學(xué)獲理學(xué)學(xué)士學(xué)位.現(xiàn)為西安電子科技大學(xué)雷達(dá)信號(hào)處理國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室碩博連讀生.主要從事無源定位、雷達(dá)信號(hào)處理等方面的研究.

E-mail: zhugh@ stu.xidian.edu.cn

馮大政男，1959年12月出生，陜西安康人.教授，博士生導(dǎo)師，中國(guó)電子學(xué)會(huì)高級(jí)會(huì)員，美國(guó)IEEE學(xué)會(huì)會(huì)員.現(xiàn)工作于西安電子科技大學(xué)雷達(dá)信號(hào)處理國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，主要從事盲信號(hào)處理，機(jī)載雷達(dá)信號(hào)處理，MIMO雷達(dá)信號(hào)處理等方面的研究工作.

E-mail: dzfeng@ xidian.edu.cn

Multidimensional Scaling Based TDOA Localization Algorithm with Sensor Location Errors

ZHU Guo-hui1，F(xiàn)ENG Da-zheng1，NIE Wei-ke2
(1.National Laboratory of Radar Signal Processing，Xidian University，Xi’an，Shaanxi 710071，China; 2.School of Information Science and Technology，Northwest University，Xi’an，Shaanxi 710127，China)

Abstract:Conventional location algorithms are based on the assumption that the sensor locations are exactly known.However，in practical situations，the sensor positions generally include random errors，which can considerably reduce the source localization accuracy.To tackle this problem，a multidimensional scaling analysis based time difference of arrival(TDOA)localization algorithm with sensor location errors is proposed.The proposed algorithm firstly constructs a symmetric matrix using the true sensor locations and TDOAs.Then a set of pseudo-linear equations with respect to the source position is formulated from the subspace theory.Finally，a weighting matrix is designed to mitigate the influence of the sensor location errors on the localization accuracy.The estimation bias and covariance matrix are derived by using first-order perturbation analysis.Simulation study validates the efficiency of the proposed algorithm.

Key words:passive location; time difference of arrival; sensor location errors; multidimensional scaling analysis; weighted least squares estimates

作者簡(jiǎn)介

基金項(xiàng)目:國(guó)家自然科學(xué)基金(No.61271293，No.61373177)

收稿日期:2014-07-28;修回日期: 2015-05-12;責(zé)任編輯:李勇鋒

DOI:電子學(xué)報(bào)URL：http: / /www.ejournal.org.cn10.3969/j.issn.0372-2112.2016.01.004

中圖分類號(hào)：TN911.7

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：0372-2112(2016)01-0021-06