張現(xiàn)東，卜 昆，劉連喜，竇楊柳

（1.西北工業(yè)大學(xué)現(xiàn)代設(shè)計(jì)與集成制造技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710072；2.北京星航機(jī)電裝備有限公司，北京 100074）

張現(xiàn)東

西北工業(yè)大學(xué)航空宇航制造工程專業(yè)博士研究生，主要研究方向?yàn)镃AD/CAM、精密測(cè)量、熔模精密鑄造模具設(shè)計(jì)與優(yōu)化。

空心渦輪葉片成形精度低，一直是困擾我國(guó)航空制造業(yè)的難題。與國(guó)外高達(dá)80%的合格率相比，國(guó)內(nèi)的空心渦輪葉片精密鑄造合格率不到40%[1]，差距很大。統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明：在渦輪葉片無(wú)余量熔模精密鑄造工藝過(guò)程中，同批次不合格空心葉片鑄件中由于壁厚尺寸漂移引起的形狀超差占50%左右[2]，是造成我國(guó)空心渦輪葉片合格率偏低的主要原因之一。渦輪葉片的壁厚是由外型與內(nèi)腔共同保證的，內(nèi)腔是精鑄過(guò)程中由陶芯作為轉(zhuǎn)接件形成的，因此陶芯的彎扭變形直接關(guān)系到空心渦輪葉片的壁厚分布情況。精確計(jì)算陶芯的彎扭變形，對(duì)于指導(dǎo)陶芯在蠟?zāi)Ｐ颓恢械亩ㄎ弧⒖刂葡炐捅诤?、提高空心渦輪葉片成形精度都有重要的作用。

葉片類截面形狀的彎扭變形一般認(rèn)為是相對(duì)于理論截面的剛體位移，可以分解為相對(duì)于理論截面的平移與扭轉(zhuǎn)。目前，國(guó)內(nèi)外對(duì)葉片彎扭分析有大量的研究，王仲奇等[3]研究了彎扭葉片對(duì)降低能量損失的作用，并對(duì)彎扭葉片級(jí)和級(jí)組用于壓氣機(jī)做了大量理論研究；Houbolt等[4]將轉(zhuǎn)子葉片的彎扭變形分為翼面向彎曲、翼弦向彎曲和扭曲變形；Mohaghegh等[5]通過(guò)定義葉片積疊軸，給出了基于積疊軸的葉片彎曲變形的定義；Omer[6]研究了葉片輪廓度誤差、彎曲度誤差和扭曲度誤差定義及測(cè)量方法；陳福興等[7]研究了基于三坐標(biāo)測(cè)量數(shù)據(jù)的葉片彎扭變形誤差計(jì)算方法；王紅霞[8]研究了基于位移場(chǎng)的葉片彎扭變形分析；彭志光[9]研究了基于凸包算法的葉片彎扭變形計(jì)算方法。上述所有方法都是針對(duì)葉片類零件提出的，并不適用于結(jié)構(gòu)更加復(fù)雜的陶芯。陶芯的制備及成形工藝在各國(guó)是保密的，對(duì)陶芯成形精度的研究更是很少見(jiàn)報(bào)道，陶芯彎扭變形的研究?jī)H有黃勝利[10]、DOU等[11]提出的基于主動(dòng)輪廓模型的陶芯彎扭變形計(jì)算方法，該方法通過(guò)Snake模型逼近陶芯外輪廓來(lái)獲得陶芯截面外輪廓線，但Snake模型在陶芯縱向肋間易收斂成直線，導(dǎo)致提取的輪廓線光順度不好，從而影響彎扭變形的計(jì)算精度。本文根據(jù)彎曲變形和扭曲變形的定義，研究和比較了幾種彎扭變形算法，并通過(guò)幾組截面輪廓線計(jì)算分析了陶芯的彎曲變形和扭曲變形。

彎曲變形和扭轉(zhuǎn)變形的定義

二維平面內(nèi)的彎曲變形和扭轉(zhuǎn)變形分別表示為測(cè)量截面相對(duì)于理論截面的平移位移和扭轉(zhuǎn)角位移。如圖1所示，實(shí)線表示理論CAD截面輪廓線，虛線表示測(cè)量截面線。圖1（a）中點(diǎn)Mc為測(cè)量截面的形心，點(diǎn)Dc為CAD截面的形心即為截面彎曲變形矢量，用Tc來(lái)表示。Tc可以分解為沿X軸向的位移Tx和沿Y軸向的位移Ty。圖1（b）中，點(diǎn)A和點(diǎn)B分別為CAD截面的后緣點(diǎn)和測(cè)量截面后緣點(diǎn)（中弧線延長(zhǎng)線與后緣輪廓線的交點(diǎn)），直線McB與DcA的夾角θ表示測(cè)量截面相對(duì)于CAD截面的扭轉(zhuǎn)變形，θ逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)。

圖1 彎扭變形定義Fig.1 Definition of bending and twist deformation

彎扭變形的計(jì)算方法

空心渦輪葉片陶芯包含眾多細(xì)小結(jié)構(gòu)：數(shù)個(gè)縱向肋槽，數(shù)十個(gè)橫向肋槽，近百個(gè)擾流柱孔、排氣邊、定位窗等，截面輪廓復(fù)雜，增加了彎扭變形的計(jì)算難度。本文根據(jù)陶芯的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，將陶芯彎扭變形的計(jì)算方法分為兩類：基于輪廓線的算法和基于數(shù)據(jù)點(diǎn)的算法。基于輪廓線的算法是通過(guò)構(gòu)造實(shí)測(cè)點(diǎn)云截面輪廓線，并與CAD截面輪廓線對(duì)比，根據(jù)彎扭變形定義計(jì)算彎扭變形，主要有基于主動(dòng)輪廓模型的算法和基于樣條擬合的算法等?；跀?shù)據(jù)點(diǎn)的算法直接通過(guò)實(shí)測(cè)點(diǎn)云與CAD截面輪廓線計(jì)算彎扭變形，主要有凸包算法、二維配準(zhǔn)算法、距離權(quán)值法等。

1 基于輪廓線的算法

1.1 主動(dòng)輪廓模型提取輪廓線

主動(dòng)輪廓模型也稱為Snake模型,是由Kass等[12]在1987年提出的,廣泛應(yīng)用于數(shù)字圖像分析和計(jì)算機(jī)視覺(jué)領(lǐng)域。點(diǎn)云數(shù)據(jù)中的Snake可以用離散點(diǎn)pi和連接鄰點(diǎn)的直線段li表示：

其中，li= {pi，pi+1}（i=1，2，…，n-1）。

基于Snake的二維點(diǎn)云數(shù)據(jù)輪廓線提取主要包括3部分：初始輪廓點(diǎn)的選取、能量方程的表示、輪廓點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向的確定。Snake提取陶芯截面輪廓線的步驟為：

（1）提取STL格式渦輪葉片外型截面輪廓點(diǎn)，并采用Kochanek曲線插值加密，以加密后的點(diǎn)作為Snake初始輪廓點(diǎn)。

（2）建立帶權(quán)值的Snake能量方程，

其中，Etension和Ebend分別表示由內(nèi)力（包括拉伸力和彎曲力）作用引起的拉伸能和彎曲能，Edist表示點(diǎn)云自身的特征能。

其中，θi是li-1與li的夾角，其中pi是初始輪廓上的第i點(diǎn)，mj是點(diǎn)云數(shù)據(jù)中的第j點(diǎn)，N1、N2分別代表初始輪廓點(diǎn)個(gè)數(shù)和點(diǎn)云數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù)，|pimj|代表點(diǎn)pi到mj的距離。

（3）以渦輪葉片截面線在初始輪廓點(diǎn)處內(nèi)法矢方向作為該輪廓點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向。

（4）如果所有輪廓點(diǎn)的彎曲能都小于給定閾值，即max{Edist(i)}＜ε，則輸出Snake；否則，增加初始輪廓點(diǎn)數(shù)，重復(fù)步驟（1） ～（4），直至收斂。

1.2 樣條擬合輪廓線

樣條擬合陶芯輪廓線包含4步：截面數(shù)據(jù)的獲?。唤孛孑喞獢?shù)據(jù)的提??；型面輪廓線擬合；后緣擬合。

（1） 截面數(shù)據(jù)提?。和ㄟ^(guò)ATOS或ICT獲得陶芯表面三維點(diǎn)云數(shù)據(jù)，將三維點(diǎn)云數(shù)據(jù)與陶芯CAD模型配準(zhǔn)，采用切片法獲得陶芯截面數(shù)據(jù)（圖 2（a））；

（2） 截面輪廓數(shù)據(jù)提?。河?jì)算截面數(shù)據(jù)點(diǎn)到CAD截面輪廓線段（圖2（b））的距離，給定距離閾值，提取截面輪廓數(shù)據(jù)（圖2（c））；

（3）截面輪廓線擬合：對(duì)截面數(shù)據(jù)排序，然后以NUBRS擬合陶芯型面輪廓線；

（4）后緣擬合：由于排氣邊的影響，陶芯后緣測(cè)量數(shù)據(jù)較少（圖3（a）），直接采用樣條擬合偏差較大（圖3（b）），理論上將陶芯后緣近似成圓弧，可采用最小二乘圓的擬合陶芯后緣輪廓線（圖3（c））。

如圖4所示，AO'和BO'分別為陶芯葉背延拓線和葉盆延拓線，內(nèi)切圓與AO'和BO'分別切于點(diǎn)C和點(diǎn)D，O'C的長(zhǎng)度為a，e1和e2分別為O'A和O'B的單位方向法矢。則內(nèi)

圖2 截面外輪廓數(shù)據(jù)點(diǎn)提取Fig.2 Abstraction of measured contour points for cross-section

圖3 最小二乘法擬合陶芯后緣輪廓線Fig.3 Trailing edge fitting by least-squares method

圖4 葉盆葉背延拓線內(nèi)切圓Fig.4 Inscribed circle of blade basin and back extension cord

切圓方程可表示為：

將后緣點(diǎn)坐標(biāo)代入內(nèi)切圓方程，就可得到后緣點(diǎn)到內(nèi)切圓的代數(shù)距離pi（a）：

后緣數(shù)據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)變換到坐標(biāo)系X'O'Y'下，帶入式（7），記方程的>值為p1（a），p2（a），p3（a），…，以min{p1（a）+p2（a）+p3（a）+…}為目標(biāo)函數(shù)，求取滿足最優(yōu)解的a，即得到距所有后緣點(diǎn)距離和最小的圓。最后，將所得圓心坐標(biāo)變換到陶芯模型坐標(biāo)系中，得到陶芯后緣的擬合輪廓線。

之后，采用等半徑法計(jì)算中弧線及后緣點(diǎn)，采用等弧長(zhǎng)或等參數(shù)的方式采樣輪廓線，采樣點(diǎn)坐標(biāo)均值作為形心。采用同樣的方法得到CAD截面線的后緣點(diǎn)及形心，按照彎曲和扭曲變形的定義計(jì)算陶芯的彎扭變形。

2 基于數(shù)據(jù)點(diǎn)的計(jì)算方法

2.1 凸包算法

文獻(xiàn)[9]采用凸包算法求解葉片測(cè)量數(shù)據(jù)形心，首先通過(guò)凸包計(jì)算將葉片測(cè)量數(shù)據(jù)點(diǎn)分為凸包點(diǎn)和凹弧點(diǎn)，然后采用分割三角形法分別計(jì)算凸包點(diǎn)和凹弧點(diǎn)的形心，最后通過(guò)面積加權(quán)計(jì)算出葉片截面測(cè)量數(shù)據(jù)點(diǎn)的形心。由于陶芯縱向肋結(jié)構(gòu)會(huì)產(chǎn)生肋面數(shù)據(jù)點(diǎn)，可采用1.2節(jié)中提取截面輪廓點(diǎn)的方法去除內(nèi)部數(shù)據(jù)點(diǎn)，然后計(jì)算凸包。凸包算法計(jì)算陶芯測(cè)量數(shù)據(jù)形心的步驟為：（1）提取截面輪廓數(shù)據(jù)（圖 2（c））；（2）計(jì)算凸包（圖 5（a））；（3）采用三角形分割分別計(jì)算凸包點(diǎn)（圖5（b））和凹弧點(diǎn)形心（圖 5（c））；（4）計(jì)算陶芯截面形心。

設(shè)（xi，yi），（i=1，2，…，n）為凸包點(diǎn)，凸包第i個(gè)三角形頂點(diǎn)分別為（x1，y1）、（xi+1，yi+1）和（xi+2，yi+2），面積為Ai=0.5|x1（yi+1-yi+2）+xi+1（yi+2-y1）+xi+2（y1-yi+1）|；（x'j，y'j），（j=1，2，…，m）為凹弧點(diǎn)，凹弧第j個(gè)三角形頂點(diǎn)為（x'1，y'1）、（x'j+1，y'j+1）和（x'j+2，y'j+2），面 積為Bj=0.5|x'1（y'j+1-y'j+2）+x'j+1（y'j+2-y'1）+x'j+2（y1-y'j+1）|。其中n、m分別為凸包點(diǎn)和凹弧點(diǎn)個(gè)數(shù)，點(diǎn)（x1，y1）和點(diǎn)（x'1，y'1）相同，為凸包（凹?。┢瘘c(diǎn)；點(diǎn)（xn，yn）和點(diǎn)（x'm，y'm）相同，為凸包（凹?。┙K點(diǎn)。設(shè)陶芯截面形心坐標(biāo)（xc，yc）為：

圖5 陶芯測(cè)量數(shù)據(jù)凸包計(jì)算Fig.5 Convex hull of measured contour points

凸包算法的扭轉(zhuǎn)變形，以CAD截面弦線與測(cè)量截面弦線（凸包多邊形的最大邊長(zhǎng)）夾角來(lái)表示。

2.2 二維配準(zhǔn)算法

二維配準(zhǔn)法直接采用SVD-ICP算法對(duì)實(shí)測(cè)截面點(diǎn)云與CAD截面配準(zhǔn)，在配準(zhǔn)的過(guò)程中記錄平移及旋轉(zhuǎn)量，累加平移量為彎曲變形量，累加旋轉(zhuǎn)量為扭轉(zhuǎn)變形，其流程如圖6所示。

圖6 二維配準(zhǔn)算法流程Fig.6 Flowchart of 2-D registration method

2.3 距離權(quán)值算法

距離權(quán)值法與凸包算法類似，不通過(guò)擬合截面線直接計(jì)算陶芯截面測(cè)量數(shù)據(jù)形心；不同點(diǎn)是凸包算法將陶芯截面看作片體，用三角分割法計(jì)算形心，距離權(quán)值法將陶芯截面輪廓看作線體，以相鄰點(diǎn)間的距離作為權(quán)值計(jì)算形心。算法步驟如下：

（1）提取陶芯截面輪廓數(shù)據(jù)（圖2（c））；

（2）對(duì)截面輪廓數(shù)據(jù)排序；

（3）計(jì)算距離加權(quán)形心。

設(shè)排序后截面輪廓數(shù)據(jù)點(diǎn)為p1，p2，p3，…pn，令pn+1=p1，對(duì)點(diǎn)序列p1，p2，p3，…，pn，pn+1計(jì)算距離加權(quán)形心pc：

式中，di為點(diǎn)pi和點(diǎn)pi+1的距離。

以測(cè)量數(shù)據(jù)點(diǎn)中距離形心最遠(yuǎn)的點(diǎn)近似后緣點(diǎn)計(jì)算扭轉(zhuǎn)變形。

仿真計(jì)算

為驗(yàn)證上述算法的準(zhǔn)確性，截取某型號(hào)陶芯CAD模型Z=50截面，均勻離散數(shù)據(jù)點(diǎn)，將點(diǎn)集沿X軸和Y軸各偏移0.5mm，繞Z軸旋轉(zhuǎn)2°，如圖7，紅色實(shí)線為CAD模型，黑色點(diǎn)為變換后的數(shù)據(jù)點(diǎn)。

變換后的數(shù)據(jù)點(diǎn)視為仿真測(cè)量點(diǎn)，采用Snake模型算法、樣條擬合輪廓線法、凸包算法、二維配準(zhǔn)算法、距離權(quán)值算法，進(jìn)行彎扭變形計(jì)算分析。

算例1：對(duì)仿真數(shù)據(jù)不添加隨機(jī)誤差，計(jì)算結(jié)果如表1所示。

算例2：對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)集添加服從正態(tài)分布N（0，0.01）的隨機(jī)法向誤差，計(jì)算結(jié)果如表2所示。

算例3：對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)集添加服從正態(tài)分布N（0，0.1）的隨機(jī)法向誤差，計(jì)算結(jié)果如表3所示。

圖7 彎扭變形仿真數(shù)據(jù)Fig.7 Simulated points with known bending and twist

通過(guò)表1、2、3看出，當(dāng)測(cè)量數(shù)據(jù)不存在誤差時(shí)，基于數(shù)據(jù)點(diǎn)的彎扭變形算法的計(jì)算精度明顯高于基于輪廓線的算法精度；當(dāng)測(cè)量數(shù)據(jù)誤差較小時(shí)，5種算法的誤差均不大，樣條擬合算法和二維配準(zhǔn)算法計(jì)算精度略高于其他3種算法；當(dāng)測(cè)量數(shù)據(jù)誤差較大時(shí)，Snake模型、二維配準(zhǔn)、凸包算法、距離權(quán)值算法的最大相對(duì)誤差均超過(guò)或接近10%，而樣條擬合算法的相對(duì)誤差低于這4種算法，對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)點(diǎn)誤差具有更好的計(jì)算穩(wěn)定性。

比較Snake模型算法與樣條擬合算法，樣條擬合算法對(duì)彎曲和扭曲變形的計(jì)算精度均高于Snake模型算法，因?yàn)镾nake模型易在陶芯縱向肋間收斂成直線，導(dǎo)致提取輪廓線的光順度不是很好；凸包算法和距離權(quán)值算法的彎曲變形計(jì)算精度要高于扭曲變形計(jì)算精度，由于這兩種算法是通過(guò)所有（或大部分）點(diǎn)計(jì)算形心的，而扭曲變形是通過(guò)前后緣與弦線切點(diǎn)或后緣點(diǎn)計(jì)算的，所以計(jì)算扭曲變形對(duì)點(diǎn)的誤差更敏感。

表1 算例1計(jì)算結(jié)果

表2 算例2計(jì)算結(jié)果

表3 算例3計(jì)算結(jié)果

復(fù)雜陶蕊實(shí)測(cè)彎扭分析

對(duì)某型號(hào)渦輪葉片進(jìn)行CT掃描點(diǎn)云提取7組水平截面，采用樣條擬合輪廓線的方法計(jì)算彎扭變形。水平截面位置如圖8（a）所示，截面線如圖8（b）所示，圖8（b）中實(shí)線為CAD輪廓線，虛線為擬合的測(cè)量截面線。彎扭變形計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表4。

將表4中的彎扭變形計(jì)算結(jié)果繪制成彎曲變形、扭轉(zhuǎn)變形曲線，如圖9所示。

圖8 截面位置及擬合輪廓線Fig.8 Location and contour lines of cross-sections for ceramic core

表4 截面平移與扭轉(zhuǎn)結(jié)果

綜合表4及圖9可以得到陶芯的彎曲和扭曲變形的整體趨勢(shì)，發(fā)現(xiàn)存在彎扭不連續(xù)截面，說(shuō)明陶芯在制坯、燒結(jié)和強(qiáng)化處理工藝過(guò)程中有局部變形，陶芯的模具設(shè)計(jì)和生產(chǎn)工藝還有待改進(jìn)。下一步工作是研究陶芯的變形機(jī)理和基于變形調(diào)控的陶芯模具優(yōu)化設(shè)計(jì)及工藝改進(jìn)技術(shù)。

結(jié)論

本文基于剛體位移的假設(shè)，給出了陶芯彎扭變形的定義；根據(jù)陶芯的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，研究了基于輪廓線和數(shù)據(jù)點(diǎn)的彎扭變形計(jì)算方法，通過(guò)仿真分析和試?yán)?yàn)證可得出：（1）當(dāng)測(cè)量數(shù)據(jù)點(diǎn)與CAD模型完全對(duì)應(yīng)不包含誤差時(shí)，基于數(shù)據(jù)點(diǎn)的凸包算法、二維配準(zhǔn)與距離權(quán)值算法對(duì)彎扭變形的計(jì)算精度要高于基于輪廓線的算法；（2）樣條擬合輪廓線法對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)誤差的計(jì)算穩(wěn)定性要高于Snake模型、凸包算法、二維配準(zhǔn)和距離權(quán)值算法；（3）樣條擬合輪廓線法對(duì)彎扭變形的計(jì)算精度要高于Snake模型算法，這是由于樣條擬合輪廓線的光順度要高于Snake模型；（4）凸包算法和距離權(quán)值算法對(duì)扭曲變形的計(jì)算精度要低于彎曲變形，這是由于兩種算法計(jì)算扭曲變形對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)點(diǎn)的誤差更敏感。

圖9 實(shí)測(cè)陶芯彎曲變形曲線Fig.9 Bending and torsion curves of measured ceramic core

樣條擬合輪廓線法能準(zhǔn)確地計(jì)算陶芯的彎曲、扭曲變形，而且對(duì)后續(xù)陶芯變形位移場(chǎng)建模、輪廓度誤差分析及燒成收縮率計(jì)算都很方便，具有較大的工程實(shí)用價(jià)值。

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