孟少明 ， 聶慧萍 ，李群松

（1.湖南化工職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)械系，株洲 412000；2.中航工業(yè)南方航空工業(yè)（集團(tuán)）有限公司，株洲 412000）

鍵合圖建模方法是20世紀(jì)60年代由美國MIT的Henry Paynter教授提出的一種用統(tǒng)一的方式處理多能域耦合的工程系統(tǒng)的動態(tài)分析圖形化建模方法[1]。與其他建模方法相比，鍵合圖采用圖形化的方式直觀地描述了系統(tǒng)各元件之間的相互連接關(guān)系、變量因果關(guān)系和能量傳輸關(guān)系更能深入表達(dá)系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的變化過程，其可用于多輸入、多輸出系統(tǒng)，線性和非線性系統(tǒng)的模擬。因此，在多體動力系統(tǒng)[2-3]、熱力學(xué)系統(tǒng)[4]和電子系統(tǒng)[5]等多個領(lǐng)域得到了廣泛而成功的應(yīng)用。

陀螺儀作為一種慣性級精密儀表被廣泛應(yīng)用于航空、航天、航海和地下勘探等領(lǐng)域。隨著科技的快速發(fā)展，對陀螺儀的工作精度日益提高，因此，首先要建立陀螺儀的動力學(xué)模型，以便從結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、加工工藝以及外部補(bǔ)償?shù)确矫鎸ν勇輧x的誤差進(jìn)行分析，提高陀螺儀的工作精度。采用傳遞函數(shù)分析方法對陀螺結(jié)構(gòu)進(jìn)行建模，推導(dǎo)過程復(fù)雜，直觀性不好，不便于分析制造誤差給陀螺帶來的影響，也不利于實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)和控制一體化建模、仿真與動力學(xué)分析。

本文以雙框架陀螺儀為例，首先建立陀螺儀的拉格郎日方程，然后根據(jù)拉格郎日方程建立系統(tǒng)的鍵合圖模型，并用20-sim仿真軟件對所建立的鍵合圖模型進(jìn)行仿真分析，驗(yàn)證模型的正確性。

1 建立陀螺儀的拉格朗日方程

雙框架陀螺儀的結(jié)構(gòu)如圖1所示[6]，有內(nèi)、外兩個平衡環(huán)，內(nèi)平衡環(huán)通過一對內(nèi)轉(zhuǎn)軸連接在外平衡環(huán)上，外平衡環(huán)通過一對與內(nèi)轉(zhuǎn)軸正交的外轉(zhuǎn)軸連接在殼體上，內(nèi)平衡環(huán)上有一轉(zhuǎn)子，用來平衡整個框架系統(tǒng)。為了建模方便，設(shè)轉(zhuǎn)子的質(zhì)心與內(nèi)平衡環(huán)中心的距離l為零。外平衡環(huán)可沿慣性坐標(biāo)系O-XYZ中的Z自由選擇，旋轉(zhuǎn)角定義為φ。內(nèi)圈可以沿XY平面內(nèi)的ξ軸自由轉(zhuǎn)動，旋轉(zhuǎn)角定義為θ。轉(zhuǎn)子所在的軸ζ垂直于軸ξ，自轉(zhuǎn)角定義為ψ。為了建立陀螺儀的拉格朗日方程，用3個歐拉角φ、θ、ψ來定義轉(zhuǎn)子的運(yùn)動。用符號C表示轉(zhuǎn)子關(guān)于軸ζ的轉(zhuǎn)動慣量，符號A表示轉(zhuǎn)子關(guān)于軸ξ的轉(zhuǎn)動慣量。內(nèi)平衡環(huán)關(guān)于軸ξ、η、ζ的轉(zhuǎn)動慣量分別用A'、B'、C'表示。外平衡環(huán)關(guān)于軸Z的轉(zhuǎn)動慣量用C''表示。則系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)可表示為：

圖1 陀螺儀示意圖Fig.1 Schematic diagram of gyroscope

代入拉氏方程，得系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程如下：

式中，Nφ,Nψ,Nθ為廣義轉(zhuǎn)矩。由式（2）～（4）可知，系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程由3個二階的耦合方程組成，包含6個狀態(tài)變量θ,θ˙,φ,φ˙,ψ,ψ˙ ，由于φ和ψ沒有在方程（2）～（4）中顯示出現(xiàn)，因此，系統(tǒng)可用方程（2）～（4）及這4個狀態(tài)方程描述。

2 基于拉格朗日方程的鍵合圖建模

由于在鍵和圖中流f具有的形式，因此，對式（1）進(jìn)行整理，得到系統(tǒng)的5個流變量如下：

分別對式（1）中的各項(xiàng)進(jìn)行求導(dǎo)，得到系統(tǒng)的5個廣義動量如下：

將式（10）～（14）中的5個廣義動量分別除以式（5）～（9）中的5個流變量，得到與慣性元件I相連的1-結(jié)上的勢變量關(guān)系為：

因此，根據(jù)鍵合圖建模法則及公式（5）～（19）可得到系統(tǒng)的基本鍵合圖結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖 2中慣性元件I1～I(xiàn)5分別表示式（5）～（19）中的轉(zhuǎn)動慣量C、C'、C''、A+B'和A+A'。由圖 2 可知，慣性元件I5孤立于系統(tǒng)之外，為了建立系統(tǒng)完整的鍵合圖模型，將式（4）重新整理為：

由式（20）可發(fā)現(xiàn)，其中的后3項(xiàng)分別包含了慣性元件I1、I2和I4的流變量，并且滿足二通口元件調(diào)制回轉(zhuǎn)器MGY的組成關(guān)系，因此，將慣性元件I1、I2和I4所在的1-結(jié)與慣性元件I5所在地1-結(jié)分別MGY連接，得到系統(tǒng)完整的鍵合圖模型（圖3）。

3 20-sim仿真分析

20-sim是一種可以運(yùn)行在Windows和Sun-Unix操作系統(tǒng)下的面向?qū)ο蟮慕：头抡嫫脚_，可以實(shí)現(xiàn)基于鍵合圖模型的自動建模與仿真[7]。因此，本文采用20-sim仿真軟件對模型進(jìn)行仿真分析。

圖2 系統(tǒng)的鍵合圖結(jié)構(gòu)框架Fig.2 Bond graph structure of the system

圖3 陀螺儀的鍵合圖模型Fig.3 Bond graph model of gyroscope

圖4 外作用力矩圖Fig.4 External action torque diagram

將圖3所示的陀螺儀鍵合圖模型輸入20-sim仿真軟件中，取A=2、A'=1.4、B'=1.2、C=4、C'=2.6、C''=2.2。轉(zhuǎn)子軸的扭矩為10Nm，內(nèi)環(huán)和外環(huán)的扭矩如圖4所示，設(shè)置仿真時間為20s，選用Backward Differentiation Formula求解器求解，仿真后得到θ、φ、ψ的曲線如圖5～7所示。

由圖5～7中的角位移分別對應(yīng)于內(nèi)平衡環(huán)、外平衡環(huán)及轉(zhuǎn)子沿其對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動的角位移。由于轉(zhuǎn)子是恒力矩輸入，因此，其角位移呈拋物線規(guī)律增長；內(nèi)平衡環(huán)和外平衡環(huán)由于受到脈沖力矩的影響，產(chǎn)生擺動運(yùn)動，并且隨著轉(zhuǎn)子速度的增大，擺動幅度逐漸減小，符合陀螺儀轉(zhuǎn)子角速度越大、穩(wěn)定性越好的規(guī)律，證明本文所建立的鍵合圖模型的正確性。

圖5 θ的仿真曲線Fig.5 Simulation curve of θ

圖6 φ的仿真曲線Fig.6 Simulation curve of φ

圖7 ψ的仿真曲線Fig.7 Simulation curve of ψ

4 結(jié)論

本文建立了雙框架陀螺儀的鍵合圖模型，并采用20-sim仿真軟件對模型進(jìn)行了仿真分析，仿真結(jié)果驗(yàn)證了陀螺儀轉(zhuǎn)子角速度越大，穩(wěn)定性越好的規(guī)律，證明了本文所建立的鍵合圖模型的正確性，為進(jìn)一步建立結(jié)構(gòu)和控制一體化的陀螺儀鍵合圖模型提供了良好的基礎(chǔ)。

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