李新友，李學(xué)敏，黃小春，陳乃玉，李 強(qiáng)

（天津航天長(zhǎng)征火箭制造有限公司，天津 300462）

精度是評(píng)價(jià)并聯(lián)機(jī)床性能的一個(gè)關(guān)鍵指標(biāo)。由于精度的影響，使得并聯(lián)機(jī)床的實(shí)用化程度很低。在影響并聯(lián)機(jī)床運(yùn)動(dòng)精度的眾多因素中，結(jié)構(gòu)誤差占總誤差的22%左右[1]。目前，國(guó)內(nèi)外專家對(duì)于并聯(lián)機(jī)床桿長(zhǎng)誤差、鉸鏈位置誤差等結(jié)構(gòu)誤差的研究很多，通過(guò)對(duì)誤差的分析、標(biāo)定、辨識(shí)和補(bǔ)償?shù)雀纳茩C(jī)床的運(yùn)動(dòng)精度，取得了顯著效果，而對(duì)于鉸鏈間隙誤差的研究相對(duì)較少，汪勁松等[2]以Stewart平臺(tái)為例，利用D-H法推導(dǎo)出終端運(yùn)動(dòng)誤差和鉸鏈間隙誤差間的映射關(guān)系，并利用仿真計(jì)算分析了工作空間內(nèi)間隙誤差對(duì)終端運(yùn)動(dòng)精度的影響規(guī)律。裴葆青等[3]以6UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)為例，利用矢量法對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，得到了鉸鏈誤差和桿長(zhǎng)誤差，提出了采用擬合誤差橢球面對(duì)鉸鏈安裝誤差與鉸鏈間隙誤差進(jìn)行分離的誤差分析方法。梁輝等[4]對(duì)3PRS+RPS冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)床進(jìn)行了鉸鏈間隙誤差分析，得到了球鉸間隙對(duì)動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)位姿的影響規(guī)律。Kim和 Choi[5]針對(duì)Stewart平臺(tái)，研究了球鉸鏈間隙誤差對(duì)動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)精度的影響，提出了一種在給定機(jī)床精度要求的前提下設(shè)計(jì)球鉸鏈公差的方法，為鉸鏈公差設(shè)計(jì)提供了參考。

并聯(lián)機(jī)床的運(yùn)動(dòng)副多數(shù)為鉸鏈，鉸鏈間隙的存在使得并聯(lián)機(jī)床的實(shí)際精度大大降低，間隙對(duì)并聯(lián)機(jī)床精度的影響不可忽略[6]。以上對(duì)鉸鏈間隙誤差的多數(shù)研究將間隙作為機(jī)構(gòu)的幾何誤差處理[6-7]。但間隙產(chǎn)生的誤差是一個(gè)隨機(jī)誤差，間隙在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的隨機(jī)性決定了其對(duì)機(jī)構(gòu)精度的影響具有不確定性，這個(gè)不確定性給球鉸間隙誤差的補(bǔ)償帶來(lái)了困難[8-9]。到目前為止，還未見針對(duì)球鉸間隙誤差進(jìn)行補(bǔ)償研究的相關(guān)文獻(xiàn)。

本文通過(guò)試驗(yàn)方法標(biāo)定出了Stewart平臺(tái)的球鉸間隙誤差，并結(jié)合該機(jī)構(gòu)的靜力學(xué)分析，把球鉸的作用狀態(tài)劃分為兩種，分別與支鏈?zhǔn)芾褪軌毫煞N情形相對(duì)應(yīng)。據(jù)此，提出了針對(duì)球鉸間隙誤差的補(bǔ)償方法，并通過(guò)補(bǔ)償試驗(yàn)對(duì)該算法進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 結(jié)構(gòu)誤差標(biāo)定

1.1 機(jī)構(gòu)誤差描述

圖1為典型的Stewart平臺(tái)機(jī)構(gòu)。該機(jī)構(gòu)由動(dòng)平臺(tái)、靜平臺(tái)和6個(gè)可以伸縮的支鏈組成，動(dòng)平臺(tái)鉸鏈點(diǎn)由Ai（i=1，2，…，6）表示，靜平臺(tái)鉸鏈點(diǎn)由Bi（i=1，2，…，6）表示。機(jī)構(gòu)本身的幾何誤差主要有桿長(zhǎng)誤差、兩個(gè)平臺(tái)鉸鏈點(diǎn)的位置誤差、鉸鏈的間隙誤差，如圖2所示。虛線球窩的中心Ai'為球鉸中心的理論安裝位置，實(shí)線球窩的中心Ai為實(shí)際安裝位置，則ΔS為球鉸安裝位置誤差。Ai''為球頭的中心，ΔL為球鉸間隙誤差。

1.2 誤差標(biāo)定

并聯(lián)機(jī)床運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定的目的是辨識(shí)出機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)，實(shí)現(xiàn)機(jī)床誤差的有效補(bǔ)償。常用的標(biāo)定方法有外部標(biāo)定方法、自標(biāo)定方法、直接測(cè)量法、開環(huán)法、閉環(huán)法、構(gòu)造法、樣件法和序列法等[10]。

圖1 Stewart平臺(tái)機(jī)構(gòu)Fig.1 Stewart platform structure

圖2 球鉸位置誤差和間隙誤差示意圖Fig.2 Sketch of position error and space error of spherical joint

本文采用序列法標(biāo)定，該方法是依據(jù)以定點(diǎn)為圓心，以定長(zhǎng)為半徑，轉(zhuǎn)動(dòng)軌跡包絡(luò)為球面的原理對(duì)運(yùn)動(dòng)副進(jìn)行標(biāo)定，以機(jī)床為參考坐標(biāo)系可確定靜平臺(tái)球鉸中心，以動(dòng)平臺(tái)為參考坐標(biāo)系可確定動(dòng)平臺(tái)球鉸中心。

1.2.1 靜、動(dòng)平臺(tái)鉸鏈點(diǎn)安裝位置誤差標(biāo)定

以球窩中心表示鉸鏈中心（即鉸鏈點(diǎn)安裝位置）。標(biāo)定靜平臺(tái)鉸鏈中心時(shí)，使某根支鏈的長(zhǎng)度保持不變，將一個(gè)靶鏡固定在這根支鏈上，轉(zhuǎn)動(dòng)支鏈。那么，此靶鏡相對(duì)該支鏈在靜平臺(tái)上的鉸鏈中心來(lái)說(shuō)，是在球面上運(yùn)動(dòng)。多次轉(zhuǎn)動(dòng)支鏈并測(cè)量靶鏡的坐標(biāo)，然后用最小二乘法擬合球心，得到靜平臺(tái)上鉸鏈中心的坐標(biāo)，如圖3所示。

將靜平臺(tái)鉸鏈中心的擬合值與設(shè)計(jì)值進(jìn)行比較，二者的差值就是鉸鏈點(diǎn)的位置誤差，即安裝誤差，屬于機(jī)床的系統(tǒng)誤差。同理，可以得到動(dòng)平臺(tái)的鉸鏈中心及安裝位置誤差，如圖4所示。

1.2.2 球鉸間隙誤差標(biāo)定

圖4 動(dòng)平臺(tái)鉸鏈點(diǎn)標(biāo)定Fig.4 Calibration of joints of mobile platform

在序列法標(biāo)定中，以一個(gè)鉸鏈點(diǎn)的一組測(cè)量數(shù)據(jù)為例，利用最小二乘法擬合出一個(gè)球，球心是球鉸鏈中球窩的球心，即球鉸鏈的實(shí)際安裝位置。鉸鏈點(diǎn)的測(cè)量數(shù)據(jù)與擬合球均在測(cè)量坐標(biāo)系Oc-XcYc Zc中，將該鉸鏈點(diǎn)的測(cè)量數(shù)據(jù)與擬合球心坐標(biāo)分別做差，其中差值最大的值與擬合球半徑做差，最大差值即可近似認(rèn)為該鉸鏈點(diǎn)的球鉸間隙誤差[4]。

1.2.3 螺距誤差標(biāo)定

機(jī)構(gòu)的支鏈為驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)，在驅(qū)動(dòng)過(guò)程中，螺距誤差是支鏈在伸縮中產(chǎn)生桿長(zhǎng)誤差的直接原因。桿長(zhǎng)誤差可以利用激光干涉儀測(cè)量。

1.3 標(biāo)定試驗(yàn)及結(jié)果

1.3.1 球鉸安裝位置誤差和球鉸間隙誤差

球鉸結(jié)構(gòu)誤差的標(biāo)定試驗(yàn)采用API Tracker 3型激光跟蹤儀，如圖5所示。

根據(jù)上述方法，選取了動(dòng)平臺(tái)的45個(gè)位姿進(jìn)行測(cè)量試驗(yàn)。對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得到靜、動(dòng)平臺(tái)球鉸安裝位置誤差和球鉸間隙誤差，分別見表1、表2、表3。

1.3.2 支鏈螺距誤差

支鏈螺距誤差測(cè)量試驗(yàn)采用Renishaw ML10激光干涉儀，如圖6所示。

樣機(jī)各支鏈的行程是0～90mm。支鏈螺距誤差與行程有關(guān)，球鉸間隙誤差補(bǔ)償在支鏈螺距誤差補(bǔ)償完成的基礎(chǔ)上進(jìn)行。支鏈螺距誤差補(bǔ)償這里不再贅述。

圖5 Stewart平臺(tái)標(biāo)定試驗(yàn)Fig.5 Stewart platform calibration experiment

表1 靜平臺(tái)鉸鏈點(diǎn)安裝位姿誤差值

表2 動(dòng)平臺(tái)鉸鏈點(diǎn)安裝位姿誤差值

表3 球鉸間隙誤差 mm

圖6 支鏈螺距誤差標(biāo)定試驗(yàn)Fig.6 Calibration experiment of link pitch error

2 誤差補(bǔ)償

2.1 鉸鏈位置誤差及螺距誤差補(bǔ)償

Stewart平臺(tái)機(jī)構(gòu)支鏈所對(duì)應(yīng)的矢量示意圖如圖7所示。

圖7 Stewart平臺(tái)機(jī)構(gòu)支鏈?zhǔn)噶繄DFig.7 Vector diagram of link of stewart platform

支鏈桿長(zhǎng)向量可以表示為：

式中，ai為動(dòng)平臺(tái)鉸鏈點(diǎn)在坐標(biāo)系OA-XAYA ZA中的位置向量，ai=（axi ayi azi）T，其中，axi、ayi、azi是動(dòng)平臺(tái)鉸鏈點(diǎn)在動(dòng)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分量；bi為定平臺(tái)鉸鏈點(diǎn)在坐標(biāo)系OB-XBYB ZB中的位置向量，bi=（bxi byi bzi）T，其中，bxi、byi、bzi是靜平臺(tái)鉸鏈點(diǎn)在靜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分量；T為動(dòng)平臺(tái)中心在坐標(biāo)系OB-XBYB ZB中的位置向量，T=（X，Y，Z）T，其中X，Y，Z為動(dòng)平臺(tái)中心在靜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)；R為動(dòng)平臺(tái)到定平臺(tái)的旋轉(zhuǎn)矩陣：

式中，ψ、φ、θ是以歐拉角形式表示的動(dòng)平臺(tái)的姿態(tài)角。

對(duì)公式（1）兩邊取模可得到支鏈的桿長(zhǎng)：

把R、T、ai、bi代入公式（2），則公式（2）可以表示動(dòng)平臺(tái)位姿參數(shù)與結(jié)構(gòu)參數(shù)的隱函數(shù)形式為[11]：

將公式（3）兩邊進(jìn)行微分，可得球鉸位置誤差和桿長(zhǎng)誤差對(duì)動(dòng)平臺(tái)位姿誤差的影響關(guān)系式[12]：

式中，w、v、u是使球鉸誤差映射到桿長(zhǎng)上的系數(shù)。

2.2 球鉸間隙誤差補(bǔ)償

2.2.1 球鉸受力狀態(tài)分析

球鉸間隙誤差的作用與動(dòng)平臺(tái)的位姿有關(guān)，把Stewart平臺(tái)支鏈看成二力桿。當(dāng)動(dòng)平臺(tái)在工作負(fù)載F與關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力f的作用下處于靜平衡時(shí)，利用螺旋理論可以得到支鏈的受力狀態(tài)，螺旋理論靜力學(xué)公式見式（5）[13]：

其中，fi為第i個(gè)桿受到的軸力；＄i為第i個(gè)桿方向上的單位力旋量；F0為作用在動(dòng)平臺(tái)外力的主矢；M0為作用在動(dòng)平臺(tái)外力對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)的主矩。把公式（5）寫成矩陣形式為:

其中，F(xiàn)=（F0M0）T

由公式（6），可以得到驅(qū)動(dòng)力：

利用MATLAB軟件對(duì)螺旋理論公式進(jìn)行仿真計(jì)算。選擇的位姿見表4，對(duì)于位姿1，X的變化范圍是-30～0mm，其余位姿參 數(shù)均為 0，負(fù) 載F1=（5 5 -10 0 0 0）； 對(duì)于位姿2，仿真選擇位姿θ的變化范圍是0°～10°，其余位姿參數(shù)均為0，負(fù)載F2=（0 0 -100 0 0 0）。同理，根據(jù)仿真可以確定任意位姿下球鉸的受力狀態(tài)。

支鏈?zhǔn)芾簝煞N狀態(tài)時(shí)，球鉸間隙對(duì)桿長(zhǎng)的影響狀態(tài)如圖8所示。

當(dāng)桿受拉力時(shí)，如圖8（a），球頭的球心偏離球窩中心Ai的誤差矢量ΔL是一個(gè)確定的量，即只要支鏈?zhǔn)芾Γ瑒tΔL為常量，大小為球鉸間隙，方向與球窩缺口端面垂直。

當(dāng)桿受壓力時(shí)，如圖8（b），球頭的球心偏離球窩中心Ai的誤差矢量ΔL'是一個(gè)不確定量。ΔL'的大小為球鉸間隙，方向始終與桿方向相同，且桿的軸線始終通過(guò)球窩的中心。球頭的球心在其他位置時(shí)均與上邊類似。

表4 Stewart平臺(tái)仿真位姿

圖8 支鏈?zhǔn)芰ig.8 Force of link

2.2.2 球鉸間隙誤差補(bǔ)償試驗(yàn)結(jié)果

當(dāng)桿受到拉力時(shí)，球鉸間隙誤差對(duì)動(dòng)平臺(tái)的作用可等效于鉸鏈的安裝誤差。動(dòng)平臺(tái)球鉸鏈Ai的誤差矢量可以等效為安裝誤差daiz的一部分；靜平臺(tái)球鉸鏈Bi的誤差矢量可以等效為安裝誤差dbiz的一部分。則補(bǔ)充模型由式（4）改為:

當(dāng)桿受到壓力時(shí)，則補(bǔ)充模型由式改為:

支鏈?zhǔn)艿嚼r(shí)，采用公式（8）模型，代入模型的值ΔLB1為靜平臺(tái)鉸鏈1的間隙誤差值，即ΔLB1=0.0189mm，其他11個(gè)值 ΔLB2、ΔLB3，…，ΔLA1，…，ΔLA6也分別為對(duì)應(yīng)的球鉸間隙誤差值；支鏈?zhǔn)艿綁毫r(shí)，采用公式（9）模型，此時(shí)代入模型的值為每個(gè)支鏈所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)球鉸間隙誤差值之和，即ΔL1=（0.0189+0.1227）mm；同理可得到其他5個(gè)支鏈對(duì)應(yīng)的值。

表5 各個(gè)球鉸間隙誤差補(bǔ)償值

表6 球鉸間隙誤差補(bǔ)償效果

根據(jù)以上分析結(jié)果，可以得到機(jī)構(gòu)處于位姿1與位姿2時(shí)，各支鏈?zhǔn)芰η闆r及所需補(bǔ)償值（表5）。

綜合以上分析，首先對(duì)球鉸位置誤差和螺距誤差進(jìn)行補(bǔ)償；在此基礎(chǔ)上對(duì)球鉸間隙誤差進(jìn)行補(bǔ)償,即在驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)時(shí)輸入理論桿長(zhǎng)之后，在各支鏈中再輸入表5中對(duì)應(yīng)的值。利用激光跟蹤儀分別測(cè)量補(bǔ)償前后動(dòng)平臺(tái)上特征點(diǎn)，然后采用奇異值分解法求動(dòng)平臺(tái)位姿[14]。表6是兩個(gè)典型位姿下對(duì)球鉸間隙誤差的補(bǔ)償結(jié)果。

3 結(jié)論

（1）采用激光跟蹤儀對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了標(biāo)定，利用擬合方法得到了球鉸位置誤差及球鉸間隙誤差。

（2）結(jié)合并聯(lián)機(jī)構(gòu)支鏈的靜力學(xué)分析，根據(jù)支鏈?zhǔn)芾褪軌毫煞N狀態(tài)的不同，提出了針對(duì)球鉸間隙誤差的補(bǔ)償算法。試驗(yàn)結(jié)果提高了機(jī)床線性運(yùn)動(dòng)精度和角度運(yùn)動(dòng)精度，同時(shí)證明了球鉸間隙誤差補(bǔ)償算法的有效性。

[1]張曙，Heisel U.并聯(lián)運(yùn)動(dòng)機(jī)床[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2003.

ZHANG Shu，Heisel U. Parallel machine[M]. Beijing:China Machine Press，2003.

[2]汪勁松，白杰文，高猛，等. Stewart平臺(tái)鉸鏈間隙的精度分析[J].清華大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2002，42(6)：758-761.

WANG Jingsong，BAI Jiewen，GAO Meng，et al. Accuracy analysis of joint-clearances in a stewart platform[J]. Journal of Tsinghua Univ (Sci & Tech)，2002，42(6)：758-761.

[3]裴葆青，陳五一，王田苗. 6UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)鉸鏈間隙誤差的標(biāo)定與精度分析[J].機(jī)械設(shè)計(jì)與研究，2006，22(4):35-38.

PEI Baoqing，CHEN Wuyi，WANG Tianmiao.Calibration and analysis of the joints position and clearance error on 6UPS parallel machine[J].Machine Design and Research，2006，22(4):35-38.

[4]梁輝，白志富，陳五一.一種驅(qū)動(dòng)冗余并聯(lián)機(jī)床的鉸鏈間隙誤差分析[J].機(jī)床與液壓，2006，43(5):7-9.

LIANG Hui，BAI Zhifu，CHEN Wuyi. On the joint error of a redundantly actuated parallel machine tool[J]. Machine Tool and Hydraulics，2006，43(5):7-9.

[5]KIM H S，CHOI Y J. Kinematic error bound analysis of the stewart platform[J]. J Robotic Syst，2000，17(1):63-73.

[6]WANG J，MASORY O. On the accuracy of a stewart platformpart I: The effect of manufacturing tolerances[C]//Proceedings of IEEE Inter Conf on Robotics and Automation. Atlanta: IEEE, 1993: 114-120.

[7]宋月娥，吳林，戴明.機(jī)器人關(guān)節(jié)間隙誤差分析[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2003，39(4):11-14.

SONG Yuee，WU Lin，DAI Ming. Error analysis of robot joint clearance[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering，2003，39(4):11-14.

[8]ZHU J M，TING K L. Uncertainty analysis of planar and spatial robots with joint clearances[J]. Mechanism and Machine Theory，2000，35(9):1239-1256.

[9]高猛，李鐵民，鄭浩峻，等. 并聯(lián)機(jī)床鉸鏈制造誤差的補(bǔ)償[J].清華大學(xué)學(xué)報(bào)，2003，43(5): 617- 620.

GAO Meng，LI Tiemin，ZHENG Haojun，et al. Compensation for joint manufacturing errors in parallel kinematic machines[J]. Journal of Tsinghua Univ，2003，43(5): 617- 620.

[10]王瑞. 6-TPS并聯(lián)平臺(tái)型數(shù)控銑床結(jié)構(gòu)參數(shù)的標(biāo)定方法[J].南京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào)，2009，41(6): 720-726.

WANG Rui. Calibration method of structural parameters for 6-TPS parallel platform milling[J]. Journal of Nanjing University of Aeronautics &Astronautics，2009，41(6): 720-726.

[11]趙永杰，趙新華.一種6-SPS并聯(lián)機(jī)器人精度分析算法[J].天津理工學(xué)院學(xué)報(bào)，2002，18(3): 20-22.

ZHAO Yongjie，ZHAO Xinhua. A kind of algorithm to obtain the position and pose error of the 6-SPS parallel manipulator[J]. Journal of Tianjin Institute of Technology，2002，18(3): 20-22.

[12]彭用新. 并聯(lián)機(jī)床結(jié)構(gòu)及誤差分析研究[D].昆明： 昆明理工大學(xué)，2006.

PENG Yongxin. Research on structural and error of parallel machine[D]. Kunming: Kunming University of Science and Technology，2006.

[13]黃真，孔令富，方躍法.并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)學(xué)理論及控制[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，1997.

HUANG Zhen，KONG Lingfu，F(xiàn)ANG Yuefa. Theory and control of parallel robot mechanism[M]. Beijing: China Machine Press，1997.

[14]李新友，陳五一.基于奇異值分解的剛體位姿誤差檢測(cè)方法[J]. 計(jì)算機(jī)集成制造系統(tǒng)，2011，17(9): 1981-1987.

LI Xinyou，CHEN Wuyi. Detection of pose errors for a rigid body based on singular value decomposition method[J]. Computer Integrated Manufacturing Systems，2011，17(9): 1981-1987.