曹松峰
一、數(shù)與式
數(shù)與式部分的內(nèi)容具有概念多、算理算法多、層層遞進(jìn)的突出特點.實數(shù)與整式的化簡求值具有相通性,都是恒等變形,所有運(yùn)算推理中出現(xiàn)的錯誤都是與基本概念或法則相悖,破壞了變形過程中的恒等性,具體說來,實數(shù)概念的易混點是相反數(shù)與倒數(shù)的區(qū)別以及絕對值、平方根、算術(shù)平方根的概念等,整式加減法的實質(zhì)是去括號與合并同類項,冪的運(yùn)算是整式乘除法的基礎(chǔ),而整式乘法是對有理數(shù)的乘法、同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方等法則以及加法、乘法運(yùn)算律的綜合運(yùn)用,運(yùn)算推理過程中,須注意去(添)括號、合并同類項時數(shù)字符號的優(yōu)先確定,自覺遵守運(yùn)算順序,正確運(yùn)用混合運(yùn)算法則等.實數(shù)的估值則應(yīng)把握題目對精確度的要求,因式分解要正確提取公因式和運(yùn)用乘法公式.下面舉例進(jìn)行分析.
(一)冪的運(yùn)算
1.混淆同底數(shù)冪的乘法與合并同類項
例1下列計算中,正確的是()
A. b5+b5=b10
B.a3·a3 =2a3
C.a2·a3 =a<6/sup>
D.a2·a3=a5
錯解:A或B或C.
錯解分析:A錯在合并同類項將指數(shù)相加;B錯在同底數(shù)冪相乘未將指數(shù)相加;C錯在把指數(shù)相乘.
解:D.
評注:合并同類項,同類項的系數(shù)相加,字母及字母的指數(shù)不變;同底數(shù)冪相乘,底數(shù)不變,指數(shù)相加而不是相乘.
2.誤用積的乘方法則
例2下列計算的結(jié)果正確的是()
A.(-5xy)3=125x3y3
B.(-3a)3=3a3
C.(3+4)2=32+42=25
D.(-3x2)3 (2x3)2=108x12
錯解:A或B或C.
錯解分析:A,B錯在沒有將-1,-3乘方;C將積的乘方法則誤用到和的平方中,
解:D.
評注:積的乘方應(yīng)等于積中各因式乘方的積.
3.誤用同底數(shù)冪的除法法則
例3下列運(yùn)算正確的是()
A.-a5÷(-a)3=-a2
B.x6÷x6=0
C.x20÷X2=x10
D.x20÷x2 =x18
錯解:A或B或C.
錯解分析:A錯把-a的冪當(dāng)成n的冪計算;B誤將x0中的指數(shù)0當(dāng)成最后結(jié)果;C錯把指數(shù)相除,
解:D.
4.誤解同底數(shù)冪的含義
例4計算:-a8·(-a)8.
錯解1:-a8·(-a)8=(-a)8+8=(-a)16=a16.
錯解2:-a8·(-a)8=a8·(-a8)=a16.
錯解分析:對同底數(shù)冪的概念、運(yùn)算法則理解有誤,
解:-a8·(-a)8=-a8·a8=a8+8=-a16.
5.顛倒運(yùn)算順序
例5 計算:(1)-x2·(x3)4;
(2)210÷24÷24.
錯解:(1)-x2·(x3)4=-(x2+3)4=-x20.
(2)210÷24÷24=210÷1=210.
錯解分析:未按規(guī)定的運(yùn)算順序進(jìn)行,
解:(1)-x2·(x3)4=-x2·x12=-x14.
(2) 210÷24÷24=210-4÷24=26-4=22=4.
評注:在乘方與乘除并存的式子中,先算乘方,再算乘除;同級運(yùn)算應(yīng)從左至右依次計算.
(二)因式分解
1.方向不明走回頭路
錯解分析:混淆了因式分解與整式乘法的概念.
解:原式=2ab(3a2b2 -2ab+6).
2.符號處理失誤
錯解分析:在對后三項添括號運(yùn)算時,沒有遵循“在括號前添負(fù)號,括入括號里的每一項都要變號”的法則.
3.分解不徹底
評注:因式分解時,應(yīng)將多項式中所有的公因式都提取出來,分解到不能再分解為止,切忌半途而廢.
4.錯誤套用公式
評注:為避免此類錯誤,可先將要分解的式子整理成符合公式的形式.
(三)分式
1.概念理解有誤
評注:判斷一個式子是不是分式,應(yīng)看原式形式上是否符合定義的條件(分母中含有字母),而不能依據(jù)對原式約簡后的結(jié)果判斷,對分式是否有意義的推斷也應(yīng)如此.
2.遺忘分母不能為0的約定
3.錯誤理解分式的基本性質(zhì)
4.錯誤理解題意
5.錯用運(yùn)算法則、運(yùn)算律
6.將互為相反數(shù)的因式直接約分
7.未把運(yùn)算結(jié)果化為最簡形式整式.
8.解分式方程沒有驗根
錯解分析:忽視對分式方程根的檢驗.
解:解得x=-2的過程同上.經(jīng)檢驗z一-2是原方程的增根,故原方程無解.
(四)二次根式
1.混淆概念
例1 9的平方根是____.
錯解:3.
錯解分析:將平方根的概念與算術(shù)平方根的概念混淆,誤認(rèn)為正數(shù)只有一個平方根.
解:±3.
2.曲解題意
一、方程(組)與不等式(組)
整式方程(組)的求解是一種同解變形,與同解變形既有區(qū)別又有聯(lián)系,對此理解缺失往往出錯,例如,求解一元一次方程,在去括號、合并同類項時出現(xiàn)的符號、運(yùn)算錯誤,以及去分母過程中分子為多項式時忘加括號,都是在整式運(yùn)算中常犯的錯誤;而常數(shù)項漏乘公分母、移項時不變號等,都是沒能保持同解變形,對于一元二次方程,應(yīng)切實理解概念,選用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼?提及實數(shù)根的個數(shù)、根與系數(shù)的關(guān)系時,須首先考慮根的判別式的約束條件.求解分式方程必須驗根.求解不等式(組),應(yīng)牢記不等式與方程的性質(zhì)差異,并能正確利用數(shù)軸表示解集,運(yùn)用方程、不等式(組)知識解決實際問題時,要善于抓住關(guān)鍵詞語,厘清數(shù)量關(guān)系,注意度量單位的統(tǒng)一,還應(yīng)學(xué)會根據(jù)具體問題的實際意義,檢查結(jié)果是否合理.下面舉例進(jìn)行分析.
(一)一元一次方程
錯解分析:錯解1運(yùn)用了一些化簡技巧,但混淆了方程的同解原理與分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì);錯解2去分母時,不含分母的各項沒有乘以分母的最小公倍數(shù)0. 02,這一步驟不是同解變形;錯解3對分?jǐn)?shù)線的意義缺乏足夠的認(rèn)識;錯解4沒有正確運(yùn)用去括號法則;錯解5忘掉了“移項要變號”;錯解6混淆方程的同解變形與代數(shù)式的恒等變形;錯解7中,把方程-5x= -4中z的系數(shù)化為1時,兩邊都除以-5,右邊應(yīng)該是4/5,而不是20(當(dāng)然也不是-4/5). (二)一元一次不等式(組)
1.錯用性質(zhì)
4.故原不等式組的解集為x>4.
錯解分析:一再忽略“當(dāng)未知數(shù)系數(shù)為負(fù)數(shù),在化系數(shù)為1時,應(yīng)改變不等號的方向”導(dǎo)致失誤.
評注:不等式與等式性質(zhì)的不同點,是最容易忽略、出錯的地方.
2.弄錯特解
錯解分析:誤以為非負(fù)整數(shù)解即正整數(shù)解.
解:解題過程同錯解.正確答案為x=0,1,2.
評注:厘清基本概念是正確求解的前提.
3.忽視實際情況
例3某校班級籃球聯(lián)賽中,每場比賽都要分出勝負(fù),每隊勝1場得3分,負(fù)1場得1分,如果某班要在第一輪的28場比賽中至少得43分,那么這個班至少要勝多少場?
評注:對于實際問題的求解,需要積累一定的生活經(jīng)驗,更要正確理解題目要求.
(三)一元二次方程
1.約去不該約的因式
例1 方程(x-3)(x+1)=x-3的解是()
A.x=0
B.x=3
C.x=3或x=-1 D.x=3或x=O上,k的取值范圍為k≤1/4.
,
評注:當(dāng)求解的問題包含多種可能情況時,須實施分類討論.
6.忽視問題的實際意義
例6某漁船出海捕魚,2012年的捕魚量為100噸,2014年的捕魚量為81噸,求2012年~2014年捕魚量的年平均下降率,
錯解:設(shè)2012年~2014年捕魚量的年平均下降率為z,依題意列方程,得100(1一z)2—81,解得x1=0.1=10%,x2=1.9=190%.答(略).
錯解分析:捕魚量的下降率最大降到100%,不可能超過100%,這是生活中最基本的常識,因此,x2的值應(yīng)舍去.
解:同上,設(shè)元、列式,求得z的值,然后舍去x2=190%.答(略).
評注:應(yīng)用問題中方程的解,不僅要適合方程本身,還要符合實際情況.
三、函數(shù)
對于平面直角坐標(biāo)系,要注意點的坐標(biāo)與點到兩坐標(biāo)軸距離的區(qū)別與聯(lián)系.用點的坐標(biāo)表線段長時,須取絕對值,要注意函數(shù)解析式中相關(guān)系數(shù)的限制條件和幾何意義的應(yīng)用,適時實現(xiàn)函數(shù)、方程、不等式之間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化.在用描點法畫函數(shù)圖象時,要注意對自變量取值范圍的約束,有些涉及實際問題的函數(shù),畫出來的圖象不一定是整條曲線.在求二次函數(shù)的最值時,要注意當(dāng)頂點的橫坐標(biāo)不在自變量的取值范圍內(nèi)時,函數(shù)的最值在圖象的端點處取得,或者沒有最值,在利用函數(shù)解決實際問題時,要注意自變量的取值范圍還應(yīng)符合實際問題的要求.在求解幾何圖形中點的坐標(biāo)的開放性問題,以及對動點運(yùn)動過程中所形成的幾何圖形分析時,力求考慮周全,實施恰當(dāng)?shù)姆诸愑懻?下列舉例進(jìn)行分析.
(一)一次函數(shù)
1.忽視特例
例1 一次函數(shù)y=kx+b不經(jīng)過第三象限,則下列正確的是()y=-1/2+4.
評注:函數(shù)解析式中的字母系數(shù)可正可負(fù)(或為0),但(坐標(biāo)系中)線段的長度恒為非負(fù)值,二者既有聯(lián)系,又有區(qū)別.
4.混淆函數(shù)圖象與直線的區(qū)別
例4 已知直線y=mx+2m-4不經(jīng)過第二象限,則m的取值范圍是____.
錯解:由題意得,直線經(jīng)過一、三、四象限或元的T恤衫,規(guī)定試銷時的銷售單價不低于成本價,又不高于每件70元,試銷中銷量y(件)與銷售價x(元)的關(guān)系近似地看成一次函數(shù),如圖3所示.
(1)求y與z的函數(shù)關(guān)系式.
(2)設(shè)公司獲得的總利潤(總利潤一總銷售額一總成本)為p元,求p與x之間的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)題意判斷,當(dāng)x取何值時,p的值最大?最大值是多少?
四、點、線、面、角、相交線與平行線
本部分知識是平面幾何的基礎(chǔ)和起點,具有基本概念多、基本圖形、基本事實多的顯著特點,我們往往不能從自己的活動經(jīng)驗中抽取幾何的本質(zhì)要素以及它們的本質(zhì)屬性,例如,對于垂直,一些人的大腦中仍然只有一條水平直線和一條鉛直直線的表象,還停留在垂直的標(biāo)準(zhǔn)形式階段,導(dǎo)致作變式圖形的垂線、求距離時常常出錯;我們會對余角、補(bǔ)角、對頂角、距離、平行等基本概念缺乏全面深刻的理解,不能迅速準(zhǔn)確地識別相交線中的“三線八角”;也會對平行線的性質(zhì)與判定方法等一些命題的條件、結(jié)論和適用范圍分辨不清,使用時常常張冠李戴,使得運(yùn)算推證的依據(jù)不足、理由不充分或根本錯誤;還會缺乏說理的自覺,習(xí)慣于想當(dāng)然辦事,思路不周嚴(yán),思維不順暢,等等.下面舉例進(jìn)行分析.
1.概念不清
例1如圖1,三條直線交于一點,任意找出圖中的四對對頂角:_______,
錯解分析:點到直線的距離是指從直線外一點到這條直線的垂線段的長度.PQ垂直于CD,但不垂直于AB,因此線段PQ的長度不是點Q到直線AB的距離,而是點P到直線CD的距離.
解:C.
評注:由直線外一點向直線所做的所有線段中,垂線段最短,
例3 如圖3,按圖中角的位置,判斷正確的是()
五、三角形的認(rèn)識與證明
三角形中的三邊、三個內(nèi)角、邊與角之間存在一定的數(shù)量關(guān)系,是我們處理所有三角形問題時應(yīng)牢記的蘊(yùn)含條件.如果題目沒有給出圖形,抑或未將文字?jǐn)⑹雠c圖形一一對應(yīng),在畫出圖形或?qū)⒃仃P(guān)系用圖形表出時,不得人為地把問題特殊化,如:不能只想到銳角三角形或直角三角形,而忽略鈍角三角形的情形;不能把一般的三角形畫成等腰三角形、直角三角形等.對于等腰三角形,在沒有明確給出腰和底角的情況下,尤其要考慮周全,實施必要的分類討論.對于直角三角形,須分清勾股定理及其逆定理的條件、結(jié)論以及適用范圍,在判定三角形全等時必須注意對應(yīng)關(guān)系,善于發(fā)掘隱含的元素關(guān)系,靈活運(yùn)用“邊邊邊”“邊角邊”“角邊角”“角角邊”等判定方法,切忌杜撰“角角角”或“邊邊角”等所謂的判定定理.下面舉例進(jìn)行分析. (一)三角形的邊、角關(guān)系及重要線段
1.對重要線段的認(rèn)識有誤
例1下列說法正確的是()
A.三角形的角平分線是射線
B.三角形的中線、角平分線和高都在三角形內(nèi)
C.三角形的三條中線相交于一點
D.三角形的高是一條垂線,
錯解:A或B或D.
錯解分析:選項A混淆了一個角的平分線與三角形角平分線的區(qū)別;選項B或D是對三角形的高線缺乏正確的理解.
解:C.
評注:一個角的平分線是一條射線,三角形的角平分線是線段,三角形的三條角平分線交于三角形內(nèi)一點(內(nèi)心);三角形的三條中線也相交于三角形內(nèi)一點(重心);直角三角形有兩條高是它的邊,鈍角三角形有兩條高在它的外部.
2.忽視三角形的構(gòu)成條件
錯解2:由非負(fù)數(shù)的性質(zhì),易得a=6,b=3.因題設(shè)中沒有明確3和6是腰還是底,于是有,①當(dāng)腰為6,底為3時,周長為6+6+3 =15;②當(dāng)腰為3,底為6時,周長為3+3+6 =12.綜上,周長應(yīng)是12或15.故選D.
錯解分析:錯解1的答案正確,但解題思路缺失.在錯解2中,注意到條件未明確腰及底邊,作了分類討論,但忽視了三角形兩邊之和大于第三邊的要求.
解:由非負(fù)數(shù)的性質(zhì),易得a=6,b=3.①當(dāng)?shù)妊切蔚囊谎L為6,底邊長為3時,滿足三角形三邊關(guān)系定理,此時等腰三角形的周長為15;②當(dāng)腰長為3,底邊長為6時,由于3+3=6,不滿足三角形的三邊關(guān)系定理,因此舍去.綜上可知,該等腰三角形的周長為15.故選C.
評注:處理三角形三邊關(guān)系的問題時,必須考慮構(gòu)成三角形的條件;關(guān)涉等腰三角形的邊、角關(guān)系時,應(yīng)注意分類討論.
3.片面理解題意
評注:判別所給線段能否組成直角三角形時,要先確定最長邊,然后計算驗證最長邊的平方是否等于其他兩邊的平方和,借助于勾股定理的逆定理作出判斷.
2.忽視定理使用的條件
評注:相等與全等,都是重要的等價關(guān)系,具有很多相近的性質(zhì)(如自反性、傳遞性等),但各自適用的對象不同,不可張冠李戴,交叉使用.
六、四邊形的認(rèn)識與證明
探求四邊形的知識,大多轉(zhuǎn)化為三角形問題解決,但四邊形具有很多與三角形不同的特性.對于平行四邊形的性質(zhì)和判定方法,要條分縷析,厘清關(guān)系和用途.由于平行四邊形和各種特殊的平行四邊形的概念、性質(zhì)、判定方法之間重疊交錯,容易混淆,我們應(yīng)下氣力弄清它們的共性、特性及其包含關(guān)系,判定特殊的平行四邊形時,應(yīng)在真正理解題意的基礎(chǔ)上,合理確定一種判定方法,既要避免出現(xiàn)推理沒有根據(jù),理由不充分的邏輯錯誤,也不能思路混亂,重復(fù)使用條件,或者循環(huán)論證,以確保計算推證的精準(zhǔn)性、嚴(yán)密性、順暢性.下面舉例進(jìn)行分析.
1.對于判定方法理解不透徹
例1下面四個命題:(1) -組對邊相等,且一組對角相等的四邊形是平行四邊形;(2)一組對邊相等,且一條對角線平分另一條對角線的四邊形是平行四邊形;(3)一組對角相等,且連接這一組對角頂點的對角線平分另一條對角線的四邊形是平行四邊形;(4)一組對角相等,且連接這一組對角頂點的對角線被另一條對角線所平分的四邊形是平行四邊形.其中,正確命題的個數(shù)是()
A.1
B.2
C.3
D.4
錯解:B或C或D.
錯解分析:未能真正理解平行四邊形的判定方法,憑主觀想象得出結(jié)論,
解:只有命題(3)正確,故選A.
2.忽視分類討論
例2 若平行四邊形的一個內(nèi)角的角平分線分對邊為3和4兩部分,則該平行四邊形的周長為____.
錯證分析:(1)的證明過程正確.在(2)的證明中,沒有判定四邊形ADCE是平行四邊形,主觀臆斷致錯.“有一個角是直角的平行四邊形是矩形”,而不是“有一個角是直角的四邊形是矩形”,有兩個角是直角的四邊形也未必是矩形,如直角梯形.
七、圓的認(rèn)識與證明
本部分知識具有概念多、定理多、關(guān)系多樣、綜合性強(qiáng)等特點,在考慮圓與圓的位置關(guān)系時,相離和相切往往不止一種情況.在提及圓中一條弦所對的圓周角時,要考慮到該弦所對的圓周角有兩種類型,在辨認(rèn)圓心角、圓周角、弦、弦心距、弧等的關(guān)系時,要注意是否要求在同圓或等圓中.在運(yùn)用垂徑定理的推論“平分弦(非直徑)的直徑垂直于弦,并且平分這條弦所對的兩條弧”時,不能忽略括號中的三個字.在求解關(guān)涉垂徑定理、切線性質(zhì)與判定的問題時,往往要添加適切的輔助線實現(xiàn)思路貫通,在求解圓與i角形、平行四邊形的綜合性題目時,積極發(fā)掘和利用圓的特殊性質(zhì)和圓中眾多的不變量是順利求解的關(guān)鍵所在,下面舉例進(jìn)行說明.
1.概念理解有誤
例1 ①圓是軸對稱圖形,對稱軸有無數(shù)條,均為直徑;②長度相等的兩條弧叫等??;③平分弦的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的??;④垂直于弦的直線平分這條弦,并且平分這條弦所對的弧.上述結(jié)論中,正確的個數(shù)是()
A.4
B.3
C.2
D.0
錯解:A或B或C.
錯解分析:錯在對圓的有關(guān)概念理解不透徹.①圓是軸對稱圖形,對稱軸有無數(shù)條,但圓的直徑并不是它的對稱軸,而是圓的直徑所在的直線;②等弧定義的前提條件是“在同圓或等圓中”,因為只有這樣的兩條弧才有可能相互重合,只是長度相等的兩條弧不一定重合;③由于直徑也是弦,而任意兩條直徑都互相平分,但不一定互相垂直;④主要是對“垂徑定理”記憶不清,把其中的“直徑”忽略為“直線”,差之毫厘,謬之千里.
解:D.
2.人為添加條件
例4 如圖3,底面半徑為5dm的圓柱形油桶橫放在水平面上,向桶內(nèi)加油后,量得長方形油面的寬度為8dm,則油的深度(指油的最深處,即油面到水平面的距離)為()
A.2dm
B.3dm
C.2dm或3 dm D.2dm或8dm
八、圖形與變換
對于視圖與投影這部分內(nèi)容,不要混淆平行投影和中心投影.在畫三視圖時一定要將物體的邊緣、棱、頂點都體現(xiàn)出來,通常將看得見部分的輪廓線畫成實線,看不見部分的輪廓線畫成虛線.如果一個幾何體只給出了部分視圖,條件很少,不能確定時,要注意分類討論.平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱是幾種既有聯(lián)系又有區(qū)別的全等變換,能否抓住這些全等變換中的不變量是順利進(jìn)行計算和推理的關(guān)鍵,平移應(yīng)注意方向和平移距離,旋轉(zhuǎn)應(yīng)注意方向和旋轉(zhuǎn)角度,這兩點容易忽略.對于軸對稱與軸對稱圖形、中心對稱與中心對稱圖形等概念應(yīng)真正理解它們的區(qū)別和聯(lián)系,下面舉例進(jìn)行分析.
(一)視圖與投影、圖形的
展開與折疊
1.缺乏空間觀念
例1李明為其好友制作一個如圖1所示的正方體禮品盒,六面上各有一字,是“預(yù)祝中考成功”,其中“預(yù)”的對面是“中”,“成”的對面是“功”,則它的平面展開圖可能是()
錯解:A或D.
錯解分析:缺乏空間想象能力和動手操作能力,認(rèn)為“預(yù)”與“祝”連在一起就可以了,沒有考慮“‘預(yù)的對面是‘中,‘成的對面是‘功”這一條件,
解:C.
2.錯誤理解題意
例2下圖中經(jīng)過折疊能圍成一個棱柱的是()
錯解:A或B或C.
錯解分析:沒有仔細(xì)觀察圖形,抑或沒有兼顧底面與側(cè)面的匹配,
解:D.
評注:把展開圖形折疊成幾何體時,必須考慮兩個方面:一是側(cè)面的個數(shù),二是底面的上下關(guān)系和邊數(shù),底面的邊數(shù)必須與側(cè)面的個數(shù)相同.
3.計算錯誤
例3如圖2是一個幾何體的三視圖,根據(jù)圖中標(biāo)注的數(shù)據(jù)可求得這個幾何體的體積為_______
錯解:96π或96.
錯解分析:知道物體是圓柱體,但在計算中把底面圓的直徑當(dāng)成半徑計算,得到96π的錯誤結(jié)果;或不能由三視圖正確還原幾何體,想當(dāng)然地套用公式長×寬×高,長用底面圓的直徑代入,從而致錯.
3.直觀代替推理
4.錯誤套用軸對稱解題
例4 如圖5,直線a是一條河,P,Q兩地相距8千米,P,Q兩地到a的距離分別是2千米、5千米,現(xiàn)在a上某點建造水泵站,向_P,Q兩地供水.現(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案(圖中實線表示鋪設(shè)的管道),則鋪設(shè)的管道最短的是()
錯解:B.
錯解分析:將題設(shè)問題與求直線上一點到直線同側(cè)兩點的距離之和最短問題混淆,誤認(rèn)為還是先作其中一點關(guān)于直線的對稱點,然后連線得交點.
解:A.
評注:不可一看到最短問題就作對稱點,形成思維定式,需要具體問題具體分析.
(三)平移與旋轉(zhuǎn)
1.不能把握旋轉(zhuǎn)的特征
2.混淆旋轉(zhuǎn)、平移的特征
例3如圖4所示的圖形是由四個全等的等腰直角三角形拼成的,認(rèn)真觀察后回答下列問題.
(1)圖中哪些三角形可以由三角形①旋轉(zhuǎn)得到?
(2)圖中哪些三角形可以由三角形①平移得到?
錯解:(1)三角形②③④可以由三角形①旋轉(zhuǎn)得到.
(2)三角形②④可以由三角形①平移得到,錯解分析:混淆了旋轉(zhuǎn)與平移的特征,
九、相似與解直角三角形
判定三角形相似時要善于發(fā)掘隱含的元素關(guān)系,靈活選用判定方法,切忌杜撰所謂的判定定理.如果題目沒有給出圖形,抑或尚未明確已知元素所對應(yīng)的圖形,一般應(yīng)借助于圖形來解決,但大都需要分析討論各種可能出現(xiàn)的情況.相似比是把一個圖形放大或縮小的倍數(shù),具有順序性.相似三角形中對應(yīng)中線、角平分線、高線的比,周長的比等于相似比,面積的比等于相似比的平方,不能混為一談.對于解直角三角形的應(yīng)用題,要正確理解俯角、仰角、坡度等常用術(shù)語的含義,在弄清題意的前提下抓住關(guān)鍵詞語,并且準(zhǔn)確地畫出圖形.不可把相似三角形的知識盲目遷移,用于處理四邊形和其他多邊形的相似問題,下面分類進(jìn)行例析.
(一)解直角三角形
1.概念不清
例1 在Rt△ABC中,如果各邊長度都擴(kuò)大2倍,則銳角A的正切值()
A.擴(kuò)大2倍
B.縮小2倍
C.擴(kuò)大4倍
D.沒有變化
錯解:A.
錯解分析:沒有正確理解銳角三角函數(shù)的概念,當(dāng)各邊都擴(kuò)大2倍時,銳角A的對邊與鄰邊的比值保持不變.
解:D.
2.性質(zhì)理解有誤
(二)相似
1.忽視比例單位的統(tǒng)一或單位換算
例1 A,B兩地的實際距離AB=5 km,畫在紙上的距離A'B'=5 cm,求紙上距離與實際距離的比.
錯解l:紙上距離與實際距離的比是A'B':AB=5:5=1:1.
錯解2:5km=50000cm,紙上距離與實際距離的比是A'B':AB=5:50000=1:10000.
錯解分析:錯解1沒有統(tǒng)一單位,錯解2是搞錯了長度單位的進(jìn)制.
解:5km=500000cm,紙上距離與實際距離的比是A'B':AB=5:500000=1:100000.
2.比例性質(zhì)的理解出現(xiàn)偏差
例2 判斷正誤:若ab一cd,則a:c-b:d.()
錯解:正確.
錯解分析:在等積式與比例式的轉(zhuǎn)換過程中搞錯了項的位置.
解:錯誤.
3.概念模糊不清
例3如圖1所示的兩個矩形會相似嗎?請說明理由,
錯解:相似.兩個圖形同為矩形,它們的角都是直角,小矩形的長和寬與大矩形的長和寬都相差10.因此它們是相似的.
錯解分析:沒有正確理解圖形相似的概念.
解:不相似,顯然,這兩個矩形的對應(yīng)角相等,但小矩形的長是20,寬是5,20/30≠5/15,即兩個矩形對應(yīng)邊的比不相等,因此,它們不相似,
評注:判定兩個n(n≥4)邊形是否相似的依據(jù)是:對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊的比相等.兩個條件缺一不可.
4.性質(zhì)理解有誤
例4 已知相似三角形的面積比為4:1,那么這兩個三角形的周長比為()
A.4:1
B.1:4
C.2:1
D.16:1
錯解:A或D.
錯解分析:混淆了相似三角形的周長比與面積比.
解:C.
十、統(tǒng)計與概率
正確理解統(tǒng)計中的總體、個體、樣本、樣本容量等基本概念;對于描述數(shù)據(jù)集中趨勢的特征數(shù)(平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)等)和描述數(shù)據(jù)波動大小的特征數(shù)(方差、標(biāo)準(zhǔn)差等),要弄清它們的異同點,合理地選擇和運(yùn)用;求解含有尚待補(bǔ)全統(tǒng)計圖表的題目,要善于從圖表或其他題設(shè)中,尋求同一條件的不同表達(dá)形式,按要求整理、計算和分析數(shù)據(jù),并提出合理的決策建議,正確理解隨機(jī)事件、頻率、概率等概念;求解簡單隨機(jī)事件的概率時,須關(guān)注和保持所有結(jié)果發(fā)生的等可能性;有選擇地運(yùn)用列表法或畫樹狀圖,有序列出所有可能的結(jié)果,可以有效地避免重復(fù)和遺漏.下面舉例進(jìn)行分析.
1.概念模糊不清
例1某市為了分析全市9800名初中畢業(yè)生的數(shù)學(xué)考試成績,共抽取50本試卷,每本都含30份,則樣本容量是()
A.30
B.50
C.1500
D.9800
錯解:A或B或D.
錯解分析:沒有理解樣本容量的意義,
解:抽取50本,每本30份,因此樣本容量為1 500.故選C.
評注:樣本容量是樣本個體的數(shù)量.
例2下列調(diào)查中,適宜采用全面調(diào)查(普查)方式的是()
A.調(diào)查一批新型節(jié)能燈泡的使用壽命
B.調(diào)查長江流域的水污染情況
C.調(diào)查某省初中學(xué)生的視力情況
D.為保證“神舟十號”成功發(fā)射,對其零部件進(jìn)行檢查
錯解:A.
錯解分析:沒有真正理解普查和抽樣調(diào)查的意義.
解:D.
例3①必然事件的概率一定是1;②氣象臺預(yù)報明天有小雨,那么明天我們這兒有小雨,是必然事件;③供電公司通知:“明天電路檢修,光明小區(qū)停電”,則該小區(qū)明天停電是隨機(jī)事件;④概率為0的事件一定是不可能事件,上述語句中,正確的序號是____.
錯解:①②③④.
錯解分析:對概率的有關(guān)概念不能正確理解,
解:①正確;天氣預(yù)報作出的只是一種預(yù)測,并不代表一定發(fā)生,是隨機(jī)事件,②錯;既然供電公司已經(jīng)發(fā)出通知,就是已經(jīng)決定了,明天就會按照安排的工作進(jìn)行,因而是必然事件,③錯;“不可能事件的概率一定是0”這句話正確,但反過來則不真,④錯,故只能填①.
2.忽視簡單隨機(jī)事件的等可能性
例4如圖1所示,有兩個轉(zhuǎn)盤,每個轉(zhuǎn)盤上方都有一根指針,游戲者隨意轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤,轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動后(若指針指向紅、藍(lán)分界線則重新轉(zhuǎn)動),將兩根指針指向的顏色進(jìn)行搭配,根據(jù)紅色十藍(lán)色一紫色,游戲者配成紫色的概率為(
)
A.1/2
B.1/4
C.2/3
D.4/9
錯解:用列表法:
從上表可以看出,配成紫色的概率為1/2.故選A.
錯解分析:本題不是等可能事件,轉(zhuǎn)盤中紅色和藍(lán)色部分的面積不同,因而指針落在兩個區(qū)域內(nèi)的可能性不同.
解:將兩轉(zhuǎn)盤中紅色區(qū)域都等分為2份,左盤記作“紅a”“紅b”,右盤記作“紅c”“紅d”.這樣左、右兩盤三個等份被指針指向的可能性都相同,然后列表如下:
由此可知,配成紫色的概率為4/9,故選D.
3.審題不細(xì)
例5近年來,由于亂砍濫伐,掠奪性使用森林資源,我國長江、黃河流域植被遭到破壞,土地沙化嚴(yán)重,洪澇災(zāi)害時有發(fā)生.沿黃某地區(qū)為積極響應(yīng)“保護(hù)母親河”的倡議,建造了長100千米,寬0.5千米的防護(hù)林.有關(guān)部門為掌握這一防護(hù)林大約共有多少棵樹,從中選出10塊(每塊長1千米,寬0.5千米)進(jìn)行統(tǒng)計,每塊樹木數(shù)量如下(單位:棵):
65100 63200 64600 64700 67300
63300 65100 66600 62800 65500
請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)計算這一防護(hù)林大約共有多少棵樹.
錯解:(65100+63200+64600+64700+67300+63300-1-65100+66600+62800+65500)÷10=64820(棵).答(略).
錯解分析:未能真正理解題意,半途而廢.只求出了樣本平均數(shù),而沒有用樣本估計總體.
4.考慮不周
例6 在科技館里,小亮看見一臺名為帕斯卡的儀器,如圖2所示,當(dāng)一實心小球從入口落下,它在依次碰到每層的菱形擋塊時,向左或向右是等可能的,試問小球通過第二層A位置的概率是多少?
錯解:和點A相同的水平空擋處的點共有3個,故小球通過A位置的概率為1/3.
錯解分析:忽略了第一層的菱形塊對小球通過第二層A位置的概率的影響,而直接分析第二層的情況導(dǎo)致出錯.
解:實心小球在碰到菱形擋塊時,向左或向右是等可能的,因此經(jīng)過一個擋塊后向左或向右落下的概率是原概率的一半,畫樹狀圖如圖3所示,得出通過A位置的概率為2/4=1/2.
5.計算錯誤
例7小斌對旅游區(qū)的旅游人數(shù)進(jìn)行10天的統(tǒng)計,結(jié)果如下表:
求這10天中平均每天的旅游人數(shù).
錯解:從10天人數(shù)中抽出有800人,1200人及700人的三天人數(shù)為代表,算出這3天每天的平均人數(shù),作為這10天每天旅游的平均人數(shù),即:(800+1200+700)=900(人),則這10天中平均每天的旅游人數(shù)大約為900.
錯解分析:這種估測方法在總體只有10的情況下,是不合適的,
解:(800+1200+700+1200+700+800+800+700+700+700)÷10=830(人),即這10天中平均每天的旅游人數(shù)是830.
試題與研究·中考數(shù)學(xué)2015年4期