汪　楠， 崔浩川，龍波涌

(安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230601)

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一類新的Salagean型多葉調(diào)和函數(shù)

汪楠， 崔浩川，龍波涌

(安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230601)

摘要：研究了一類新的Salagean型多葉調(diào)和函數(shù)，得到了這類函數(shù)的系數(shù)條件、卷積、極值點(diǎn)及偏差。

關(guān)鍵詞：多葉調(diào)和函數(shù)；Salagean 導(dǎo)數(shù)；卷積；偏差

在一個(gè)單連通區(qū)域Ω∈C上定義一個(gè)連續(xù)的復(fù)變函數(shù)f=μ+iv，若μ和v在Ω上調(diào)和，則稱函數(shù)在Ω上是調(diào)和的。f又可寫成：

(1)

其中，h和g是Ω上的解析函數(shù)。函數(shù)f在Ω上局部單葉并保向的充要條件是在Ω上有|h′|>|g′|成立。將在單位圓盤U={z∶|z|<1}上局部單葉且滿足f(0)=fz(0)-1=0的調(diào)和函數(shù)記為SH。Clunie等[1]在1984年研究了SH型函數(shù)和它的一些子類并由此獲得了一些系數(shù)估計(jì)。之后，許多學(xué)者對(duì)SH的一些子類進(jìn)行了研究[2-6, 8-13, 17-20]。

(2)

Salagean[14]引入了微分算子Dm，對(duì)于 (1)式中的f,Seker等[15]定義了關(guān)于f改進(jìn)后的Salagean算子為

(3)

(4)

其中，Dmf由(3)式定義給出。

(5)

其中，ak+p-1,bk+p-1≥0，0≤bp<1。

設(shè)k,m,p∈N+，n∈N，m>n，0≤γ<1,令

(7)

(8)

(9)|(-1)m-nΔm+(1-γ)Δn+eiα[(-1)m-nΔm-Δn]|≤

|2(-1)m-nΔm-γΔn|

(10)

|Δm-(1+γ)Δn+eiα(Δm-Δn)|≤

|2Δm-(2+γ)Δn|

(11)|(-1)m-nΔm-(1+γ)Δn+eiα[(-1)m-nΔm-Δn]|≤

|2(-1)m-nΔm-(2+γ)Δn|

(12)

證明只證明(12)式，其余(9)式～ (11)式或簡單或類似可證。

由于(-1)m-nΔm-(1+γ)Δn和(-1)m-nΔm-Δn皆為實(shí)數(shù)，所以當(dāng)eiα=1或eiα=-1時(shí)，|(-1)m-nΔm-(1+γ)Δn+eiα[(-1)m-nΔm-Δn]|可取到最大值。

若eiα=-1，則|(-1)m-nΔm-(1+γ)Δn+eiα[(-1)m-nΔm-Δn]|=γΔn；

若eiα=1，則|(-1)m-nΔm-(1+γ)Δn+eiα[(-1)m-nΔm-Δn]|=|2(-1)m-nΔm-(2+γ)Δn|。

現(xiàn)證|2(-1)m-nΔm-(2+γ)Δn|≥γΔn，分兩種情形：

(1)當(dāng)m-n為奇數(shù)時(shí)，有|2(-1)m-nΔm-(2+γ)Δn|=2Δm+(2+γ)Δn>γΔn；

2Δm-n-(2+γ)≥2Δ-(2+γ)≥

故有|2(-1)m-nΔm-(2+γ)Δn|=

|2Δm-n-(2+γ)|Δn≥γΔn。

下面，給出一個(gè)關(guān)于在GH(m,n,p,γ)上的多葉調(diào)和函數(shù)的系數(shù)充分條件。

(13)

則f在U上保向且f∈GH(m,n,p,γ)。

證明顯然，對(duì)任意k∈N+，有

ψ(m,n,p,γ,k)≥φ(m,n,p,γ,k)≥Δ

(14)

事實(shí)上，Re(ω)>γ當(dāng)且僅當(dāng)|ω+1-γ|≥

|ω-(1+γ)|，因此有|A(z)+(1-γ)B(z)|-|A(z)-(1+γ)B(z)|≥0

(15)

將(15)式左邊的A(z)和B(z)替換掉，可得

|(1+eiα)Dmf(z)+(1-γ-eiα)Dnf(z)|-

(16)

其中，第2個(gè)不等式可由 (9) 式～ (12) 式得到。

|2Δm-(2+γ)Δn|=2Δm-(2+γ)Δn。

為了證明I>0，將證明分兩種情況討論：

情形1若m-n為奇數(shù)，由(16)式得，

(17)

情形2若m-n為偶數(shù)，則

(18)

聯(lián)合(13)式，(17)式和(18)式，可得I≥0。

多葉調(diào)和函數(shù)

以下定理表明，(13)式給出的條件對(duì)函數(shù)

(19)

(20)

以上 (20) 式的條件對(duì)所有的z∈U和α∈R都成立。

(21)

它們的卷積定義為

(fm*Fm)(z)=fm(z)*Fm(z)=

證明由卷積的定義及定理2知，

(22)

因此，對(duì)?k=2,3,…，φ(m,n,p,β,k)Ak+p-1≤1成立；對(duì)?k=1,2,3,…，ψ(m,n,p,β,k)Bk+p-1≤1成立。

[2Δ2m-(1+γ+β-γβ)Δm+n]=

Δ2n[2Δ2(m-n)-(3+γ+β+γβ)Δm-n+(1+β)(1+γ)]=Δ2n(Δm-n-1)[2Δm-n-(1+β)(1+γ)]≥

Δ2n(Δm-n-1)[2+γ+β-(1+β)(1+γ)]≥

Δ2n(Δm-n-1)(1-γβ)≥0,

也就意味著，

[2Δm-(1+γ)Δn][2Δm-(1+β)Δn]≥

2Δ2m-(1+γ+β-γβ)Δm+n

(23)

(24)

因此，由 (22) 式～ (24) 式可得

(25)

故由定理2知，

注(1)對(duì)p=1的情況，定理3的結(jié)論改進(jìn)了相關(guān)的研究成果[16]。

其中，

證明設(shè)

則有

ψ(m,n,p,γ,k)bk+p-1(k=1,2,3,…),xp=

(26)

(27)

其中，φ(m,n,p,γ,2)和ψ(m,n,p,γ,1)分別由(6)式和(7)式給出。

證明只證(26)式，(27)式同理可得。

由定理2知

考慮fm的絕對(duì)值，則有

對(duì)定理5中的(27)式有以下推論。

[1-ψ(m,n,p,γ,1)bp]}?fm(U)。

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On a New Class of Salagean-Type Harmonic Multivalent Functions

WANG Nan, CUI Hao-chuan, LONG Bo-yong

(School of Mathematical Science, Anhui University, Hefei, Anhui 230601, China)

Abstract:A new class of Salagean-type harmonic multivalent functions is defined and investigated. Coefficient conditions, convolution, extreme points and distortion bounds for this class are obtained.

Key words:harmonic multivalent functions, Salagean derivative, convolution, distortion bounds

文章編號(hào)：1007-4260(2016)01-0010-06

中圖分類號(hào)：O174.51；O174.3

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

DOI：10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2016.01.004

作者簡介：汪楠，女，安徽安慶人，安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院學(xué)生，研究方向?yàn)閺?fù)變函數(shù)論。E-mail：wangnan931005@163.com通訊作者：龍波涌，男，湖南會(huì)同人，博士，安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院副教授，研究方向?yàn)閺?fù)分析。E-mail: Longboyong@ahu.edu.cn

*收稿日期：2015-06-05基金項(xiàng)目：安徽大學(xué)大學(xué)生科研訓(xùn)練計(jì)劃項(xiàng)目(KYXL2014002)和安徽大學(xué)博士啟動(dòng)基金(01001901)。

網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間：2016-03-15 17:05網(wǎng)絡(luò)出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/34.1150.N.20160315.1705.004.html