龍　兵， 張明波

(1.荊楚理工學院數理學院，荊門 448000;2.中山大學數學與計算科學學院，廣州 510275)

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定數截尾下Lomax分布失效率和可靠度的貝葉斯估計

龍兵1*， 張明波2

(1.荊楚理工學院數理學院，荊門 448000;2.中山大學數學與計算科學學院，廣州 510275)

摘要：由定數截尾壽命試驗數據，得到了樣本的似然函數. 當取形狀參數的先驗分布分別為共軛先驗分布族和Jeffreys先驗時，根據貝葉斯公式得到了形狀參數的后驗分布，并進一步得到了失效率和可靠度的后驗分布.當取平方損失和熵損失函數時，根據后驗風險最小的原則,由貝葉斯統(tǒng)計方法得到了失效率和可靠度的貝葉斯估計.通過計算機隨機模擬1 000次得到失效率和可靠度的均值和均方誤差，并且從均值和均方誤差兩方面對幾個估計值進行了比較，結果表明如果沒有充分的先驗信息可以利用，無法得到超參數a、b較為準確的估計時，應優(yōu)先使用Jeffreys先驗.

關鍵詞：Lomax分布； 失效率； 可靠度； 貝葉斯估計

Lomax分布具有單調的失效率，在壽命試驗數據處理中起著重要的作用，該分布的統(tǒng)計性質已被研究，如在多種損失函數下，當尺度參數已知時形狀參數的貝葉斯估計[1-8]；研究了Lomax分布次序統(tǒng)計量的性質和漸近分布[9]；在完全樣本下研究了2個參數的區(qū)間估計和假設檢驗[10]；根據次序統(tǒng)計量的分布，在缺失數據樣本下研究了Lomax分布尺度參數的估計[11]. 失效率和可靠度函數是可靠性統(tǒng)計中2個重要的量，文獻[12]對作業(yè)時間服從指數分布的調度規(guī)則的失效率進行了分析，給出失效率的無偏估計量和置信區(qū)間.然而針對定數截尾樣本，尚未見到研究Lomax分布失效率和可靠度的貝葉斯估計的文獻，本文將就這個問題進行探討.

兩參數Lomax分布的概率密度函數為

f(x;θ,)>0，θ>0.

(1)

其分布函數為

F(x;θ,)>0，θ>0,

(2)

其失效率函數為

(3)

可靠度函數為

R(x)=1-F(x;θ,).

(4)

對一些高可靠性的產品進行壽命試驗，常采用定數截尾試驗，具體方案如下：從服從Lomax分布(1)的產品中，隨機抽取n個樣品進行壽命試驗，當有r個樣品失效時停止試驗，設失效數據為X(1)≤X(2)≤…≤X(r)，本文假設尺度參數已知，將基于這個試驗樣本對Lomax分布失效率和可靠度的貝葉斯估計問題進行討論.

1取共軛先驗分布族時的貝葉斯估計

設X(1)≤X(2)≤…≤X(r)為來自Lomax分布(1)的樣本容量為n的定數截尾樣本(為方便起見，可將X(i)的下標數字省略括號，下文的Xi表示第i個最小觀測值)，當r=n時為全樣本情形.

令x*=(x1,x2,…,xr)，樣本x*的似然函數為

(5)

將式(1)、(2)代入式(5)，可得

(6)

在貝葉斯統(tǒng)計中，參數θ是隨機變量，需要給出一個合適的先驗分布(常用共軛先驗分布和無信息先驗分布).若取形狀參數θ的共軛先驗分布為Ga(a,b)，其密度函數為

(7)

由式(6)、(7)，根據貝葉斯公式可得到θ的后驗密度函數

(8)

由正則性可得θ的后驗密度函數為

(9)

由于H(x)=θ/(+x)，則θ=(+x)H，dθ=(+x)dH.因此,H(x)的后驗密度函數為

g(H)=

(10)

下面將在幾類不同的損失函數下，給出失效率和可靠度的貝葉斯估計.

定理1在平方損失函數L(H,δ)=(H-δ)2下，若形狀參數θ的先驗分布為式(7)，則Lomax分布失效率H(x)的貝葉斯估計為

證明由于在平方損失函數下，H(x)的貝葉斯估計為后驗分布的均值，因此

令(b+m+t)(+x)H=y，則

因此,失效率H(x)的貝葉斯估計為

定理3在平方損失函數L(R,δ)=(R-δ)2下，若形狀參數θ的先驗分布為式(7)，則Lomax分布可靠度R(x)的貝葉斯估計為

證明在平方損失函數下，H(x)的貝葉斯估計為后驗分布的均值，則

(11)

令[b+m+t+ln(1+x/)]θ=y，則式(11)為

(12)

證明

由定理2的證明過程可知可靠度R(x)的貝葉斯估計為

2取無信息先驗時的貝葉斯估計

因此,根據Jeffreys準則[13]，取形狀參數θ的先驗分布為

(13)

由式(6)、(12)，根據貝葉斯公式可得到θ的后驗密度函數為

(14)

根據先驗分布π2(θ)可得如下定理.

定理5在平方損失函數L(H,δ)=(H-δ)2下，若形狀參數θ的先驗分布為式(12)，則Lomax分布失效率H(x)的貝葉斯估計為

定理7在平方損失函數L(R,δ)=(R-δ)2下，若形狀參數θ的先驗分布為式(12)，則Lomax分布可靠度R(x)的貝葉斯估計為

定理5～定理8的證明過程類似于定理1～定理4，在此略.

3Monte Carlo隨機模擬

用隨機模擬來比較失效率和可靠度的幾種估計的優(yōu)劣.具體步驟如下:

1)產生一組容量為n=50的服從U(0,1)的相互獨立隨機樣本Y1,Y2,…,Yn；

Xi=,

則X1,X2,…,Xn是服從Lomax分布(2)的隨機樣本，確定截尾數n-r，得到截尾樣本；

3)當取定參數a=8,b=0.3及變量x的值時，可以計算出失效率和可靠度在不同損失函數及先驗分布下的貝葉斯估計.以上步驟重復模擬1 000次，計算在不同的截尾數下，失效率和可靠度的均值和均方誤差(MSE).模擬結果分別列于表1和表2.

表1　失效率H(x)的各種估計的均值和均方誤差

表2　可靠度R(x)的各種估計的均值和均方誤差

由表1和表2可知，當形狀參數的先驗分布取為Jeffreys先驗分布，并且在平方損失函數或者熵損失函數下，失效率和可靠度的貝葉斯估計與真值的偏差及均方誤差都較小，是較好的估計.當形狀參數的先驗分布取為共軛先驗分布時，失效率和可靠度的貝葉斯估計與真值的偏差及均方誤差都比取Jeffreys先驗分布時大一些.因此推薦使用Jeffreys先驗作為形狀參數的先驗分布.

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【中文責編：莊曉瓊英文責編：肖菁】

Bayesian Estimation of Failure Rate and Reliability on Lomax Distribution Under Type-II Censored Samples

LONG Bing1, ZHANG Mingbo2

(1.Department of Mathematics and Physics, Jingchu University of Technology, Jingmen 448000, China;2. School of Mathematics and Computational Science, Sun Yat-Sen University, Guangzhou 510275, China)

Abstract：Likelihood function of the samples is got by type-II censored life test data. Taking the prior distribution of the shape parameter as conjugate prior distribution and Jeffreys prior distribution respectively, posterior distribution of the shape parameter is obtained according to the Bayesian formula, and further the posterior distribution of the failure rate and reliability are obtained. When choosing square loss and entropy loss function, based on the principle of minimum posterior risk, Bayesian estimation of the failure rate and reliability are obtained through the Bayesian statistical method. Mean and mean square error of the failure rate and reliability are obtained through the computer’s 1000 times stochastic simulation. Several estimates are compared from two aspects of mean and mean square error. Further if there is no sufficient prior information can be used, and more accurate estimation of super parameters a, b could not be obtained, it is recommended to use Jeffreys prior.

Key words：Lomax distribution; failure rate; reliability; Bayesian estimation

中圖分類號：O212.8

文獻標志碼：A

文章編號:1000-5463(2016)02-0102-05

*通訊作者:龍兵，副教授，Email: qh-longbing@163.com.

基金項目：湖北省教育廳重點科研項目(D20134301)；荊楚理工學院院級科研項目(ZR201504)

收稿日期：2015-05-22《華南師范大學學報(自然科學版)》網址：http://journal.scnu.edu.cn/n