楊偉星

(中國電建集團(tuán)西北勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院有限公司，西安　710065)

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工程測(cè)量中引入復(fù)數(shù)計(jì)算坐標(biāo)轉(zhuǎn)換研究分析

楊偉星

(中國電建集團(tuán)西北勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院有限公司，西安710065)

摘要：通過引入復(fù)數(shù)的模、復(fù)角、旋轉(zhuǎn)角和尺度參數(shù)，對(duì)工程中大地坐標(biāo)與施工坐標(biāo)之間相互轉(zhuǎn)化進(jìn)行分析、研究、合理優(yōu)化，從而得出了適合工程應(yīng)用的簡潔公式，避免了測(cè)量施工中施工坐標(biāo)和大地坐標(biāo)之間因轉(zhuǎn)換帶來的不便，從而提高了工作效率。同時(shí)，文章通過對(duì)多種計(jì)算方法的比較分析和相關(guān)數(shù)據(jù)的驗(yàn)證，為測(cè)量人員提供參考。

關(guān)鍵詞：復(fù)數(shù);尺度參數(shù)；施工坐標(biāo);大地坐標(biāo)

0前言

為了施工方便，根據(jù)工程需要，在工程施工過程中往往要將施工坐標(biāo)轉(zhuǎn)化成施工小坐標(biāo)，尤其是在隧洞防線中應(yīng)用極為廣泛。傳統(tǒng)的平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式過于繁瑣，不便于CASIO編程計(jì)算器編程，條件判斷多、公式復(fù)雜、平移量和旋轉(zhuǎn)角度求解麻煩。鑒于以上弊端，本文引進(jìn)復(fù)數(shù)概念，借助復(fù)數(shù)的復(fù)角、模、縮放尺度、平移參數(shù)，對(duì)大地坐標(biāo)和施工坐標(biāo)之間相互轉(zhuǎn)換進(jìn)行全新推導(dǎo)[1-3]，從而，找出更適合工程實(shí)際與能方便編程應(yīng)用的公式，大大提高工作效率。

1測(cè)量高斯平面直角坐標(biāo)系下坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式推導(dǎo)

由圖1可知，在測(cè)量高斯平面直角坐標(biāo)系下坐標(biāo)相互轉(zhuǎn)化之間關(guān)系，原坐標(biāo)系xoy，P點(diǎn)坐標(biāo)(xP,yP)，通過坐標(biāo)平移和旋轉(zhuǎn)得到新坐標(biāo)系下P點(diǎn)坐標(biāo)(xP′,yP′)，坐標(biāo)原O平移到O′，原坐標(biāo)系下O在新坐標(biāo)系x′oy′下O′坐標(biāo)(xo′,yo′)[4]。其中xo′,yo′為坐標(biāo)平移量，θ為原坐標(biāo)新變換到新坐標(biāo)系下的旋轉(zhuǎn)角度，在測(cè)量中通常用方位角來表示[4]。根據(jù)圖1的幾個(gè)關(guān)系可知：

(1)

(2)

將式(2)帶入式(1)中得：

(3)

(4)

式(3)、(4)為在測(cè)量高斯平面直角坐標(biāo)系下的原坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化到新坐標(biāo)系下的公式。

由式(3)得：

(5)

將式(5)帶入式(4)得：

(6)

將式(6)帶入式(4)得：

(7)

式(6)和式(7)是在測(cè)量高斯平面直角坐標(biāo)系新坐標(biāo)系下坐標(biāo)轉(zhuǎn)化到原坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)化公式[5-6]。

圖1　測(cè)量高斯平面直角坐標(biāo)系圖

2測(cè)量高斯平面直角坐標(biāo)系復(fù)平面下坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式推導(dǎo)

圖2　測(cè)量高斯平面直角坐標(biāo)系復(fù)平面圖

由圖2可知，測(cè)量高斯平面直角坐標(biāo)系復(fù)平面下坐標(biāo)轉(zhuǎn)換之間相互關(guān)系。原系復(fù)平面下點(diǎn)P復(fù)數(shù)坐標(biāo)形式(xP,yPi)，新系復(fù)平面下P′復(fù)數(shù)形式(xP′,yP′i)，原系原點(diǎn)O在新系下復(fù)數(shù)形式(xo′,yo′i)。根據(jù)高斯平面坐標(biāo)系線性變換幾何意義：有原系下坐標(biāo)變換到新系下坐標(biāo)，將原系下坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)θ角度，加入縮放尺度參數(shù)κ，加平移參數(shù)(xo′,yo′)后即可變?yōu)樾孪迪伦鴺?biāo)，反之亦然[1,4]。

由復(fù)數(shù)的性質(zhì)可知：2個(gè)復(fù)數(shù)的乘積的模等于他們的模的乘積，2個(gè)復(fù)數(shù)乘積的復(fù)角等于它們的復(fù)角和。因此，假設(shè)2個(gè)復(fù)數(shù)z1、z2

(8)

(9)

則有：

(10)

在高斯復(fù)平面系下，坐標(biāo)平移參數(shù)的復(fù)數(shù)形式為zo′=xo′+yo′i，旋轉(zhuǎn)角θ為復(fù)數(shù)的模，縮放尺度參數(shù)κ為復(fù)數(shù)的模，根據(jù)復(fù)數(shù)的性質(zhì)可知，旋轉(zhuǎn)尺度的復(fù)數(shù)形式為zθ=κ∠θ。

由圖2可知，公共點(diǎn)P在原系和新系下的復(fù)數(shù)形式分別為：zP=xP+yPi和zP′=xP′+yP′i。

根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義和2個(gè)復(fù)數(shù)乘積的性質(zhì)可知，將原系下坐標(biāo)復(fù)平面上的點(diǎn)zP乘以旋轉(zhuǎn)尺度zθ，再加上平移復(fù)數(shù)zo′，等于該新系下坐標(biāo)復(fù)平面zP′的復(fù)數(shù)形式，故有以下方程式。

(11)

設(shè)坐標(biāo)點(diǎn)P1、P2在原坐標(biāo)系xoy復(fù)平面下復(fù)數(shù)形式分別為z1=x1+y1i和z2=x2+y2i，在新系x′o′y′復(fù)平面下復(fù)數(shù)形式分別為z1′=x1′+y1′i和z2′=x2′+y2′i。則由公式(11)可得：

(12)

(13)

將式(12)減式(13)可得旋轉(zhuǎn)尺度復(fù)數(shù)形式為：

(14)

將(14)帶入(12)或(13)中的平移復(fù)數(shù)形式為：

(15)

由式(11)可得坐標(biāo)轉(zhuǎn)換反算公式：

(16)

公式(11)、(14)、(15)、(16)即為高斯平面直角坐標(biāo)復(fù)平面下坐標(biāo)相互轉(zhuǎn)換公式。

3測(cè)量高斯平面直角坐標(biāo)系下與復(fù)平面系下數(shù)據(jù)比較分析

為了驗(yàn)證上面2種坐標(biāo)系下坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式的正確和實(shí)用性，選在了某電站壩軸線及兩側(cè)的點(diǎn)進(jìn)行大地坐標(biāo)和施工坐標(biāo)之間轉(zhuǎn)換數(shù)據(jù)進(jìn)行采集分析。在測(cè)量高斯平面直角坐標(biāo)系下，公式(7)和(6)為大地坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為施工坐標(biāo)公式，公式(3)和(4)為施工坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為大地坐標(biāo)公式。在測(cè)量高斯平面直角坐標(biāo)系復(fù)平面下，公式(11)、(14)和(15)為大地坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為施工坐標(biāo)公式，公式(14)、(15)和(16)為測(cè)量坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為大地坐標(biāo)公式。通過下面的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析驗(yàn)證。

3.1測(cè)量高斯平面直角坐標(biāo)系下坐標(biāo)轉(zhuǎn)換實(shí)例分析

已知大壩軸線兩端點(diǎn)B1、B2，將其轉(zhuǎn)換成施工坐標(biāo)，要求其以B1、B2為軸線 進(jìn)行相應(yīng)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。轉(zhuǎn)化數(shù)據(jù)如表1。

表1　　　測(cè)量高斯坐標(biāo)平面直角坐標(biāo)系下大地坐標(biāo)與施工

由表1轉(zhuǎn)換數(shù)據(jù)可以看出，在工程測(cè)量中只要知道了坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)xo′、yo′、θ就可以進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。在測(cè)量高斯直角平面坐標(biāo)系下，轉(zhuǎn)換參數(shù)可以用坐標(biāo)正反算進(jìn)行求解。

3.2測(cè)量高斯平面直角坐標(biāo)復(fù)平面系下坐標(biāo)轉(zhuǎn)換實(shí)例分析

已知大壩軸線兩端點(diǎn)B1、B2，將其轉(zhuǎn)換成施工坐標(biāo)，要求其以B1、B2為軸線 進(jìn)行相應(yīng)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。轉(zhuǎn)化數(shù)據(jù)如表2。

由表2知，運(yùn)用復(fù)數(shù)進(jìn)行大地坐標(biāo)與施工坐標(biāo)系之間相互轉(zhuǎn)換時(shí)，需要確定4個(gè)轉(zhuǎn)換參數(shù)xo′、yo′、κ、θ，這4個(gè)轉(zhuǎn)換參數(shù)可以用復(fù)數(shù)運(yùn)算進(jìn)行求解。

3.32種坐標(biāo)系下大地坐標(biāo)與施工坐標(biāo)相互轉(zhuǎn)換比較分析

由表1,2可以看出，不管用那種方法進(jìn)行大地坐標(biāo)與施工坐標(biāo)相互轉(zhuǎn)換，其轉(zhuǎn)換結(jié)果一樣。測(cè)量高斯平面直角坐標(biāo)系下需要求解3個(gè)參數(shù)，參數(shù)求解要有一定的限制，先要找好軸線，再用坐標(biāo)正反算求之。測(cè)量高斯平面直角坐標(biāo)復(fù)平面系下則只要知道兩點(diǎn)就可以求解出相應(yīng)的參數(shù)。在復(fù)平面里多了個(gè)縮放比例κ，κ值的精度決定了所求坐標(biāo)的精度，當(dāng)κ為1沒有縮放，則測(cè)量高斯平面直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換是測(cè)量高斯平面直角坐標(biāo)復(fù)平面系下坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的特例。

表2　　　測(cè)量高斯坐標(biāo)平面直角坐標(biāo)復(fù)平面系下大地坐標(biāo)與

4結(jié)語

通過在施工測(cè)量中引入復(fù)數(shù)求解坐標(biāo)轉(zhuǎn)換：

(3) 引入復(fù)數(shù)后使得坐標(biāo)轉(zhuǎn)換更加簡單化，在復(fù)數(shù)計(jì)算中縮放尺度的引入可以使公式變得更加完整。

參考文獻(xiàn):

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Study and Analysis on Coordinate Conversion by Application of Complex Number Calculation in Engineering Survey

YANG Weixing

(Northwest Engineering Corporation Limited, Xi'an710065，China)

Abstract:By application of mold, compound angle, rotation angle and scale parameter of the complex number, the mutual conversion between construction coordinates and geodetic coordinates is analyzed, studied and optimized reasonably. Accordingly, the simple formula applicable for the engineering application is derived, avoiding inconvenience resulted from the conversion factor between construction coordinates and geodetic coordinates in the engineering survey operation and improving work efficiency. Meanwhile, comparison, analysis and verification of relevant data by different calculation methods provides surveyors with reference.

Key words:complex number; scale parameter; construction coordinates; geodetic coordinates

中圖分類號(hào)：P258

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

DOI:10.3969/j.issn.1006-2610.2016.02.007

作者簡介：楊偉星(1979- )，男，河南省平頂山市人，工程師，從事電站的質(zhì)量控制與變形觀測(cè)工作.

收稿日期：2015-03-03

文章編號(hào)：1006—2610(2016)02—0024—03