周鈺謙, 蔡珊珊, 劉 倩

( 1. 電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 611731; 2. 成都信息工程大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610225; 3. 西南民族大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 四川 成都 610041)

(2+1)維Zoomeron方程的無界行波解

周鈺謙1,2, 蔡珊珊2, 劉 倩3

( 1. 電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 611731; 2. 成都信息工程大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610225; 3. 西南民族大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 四川 成都 610041)

利用動(dòng)力系統(tǒng)分岔方法和微分方程數(shù)值模擬的方法研究了(2+1)維Zoomeron方程，獲得了系統(tǒng)的參數(shù)分岔集和不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的相圖.根據(jù)這些相圖確定了系統(tǒng)的無界行波，并通過計(jì)算復(fù)雜的橢圓積分獲得了它們的解析表達(dá)式.

Zoomeron方程； 無界行波解； 動(dòng)力系統(tǒng)； 數(shù)值模擬； 分岔

考慮如下(2+1)維Zoomeron方程[1]

(1)

其中函數(shù)U(t,x,y)是波的振幅.這個(gè)高度非線性化的偏微分方程對(duì)描述單變量域的演化非常重要，也是描述Boomerons和Trappons奇異現(xiàn)象的一個(gè)重要模型.若y=t時(shí)，(2+1)維Zoomeron方程退化為(1+1)維的形式，可以看作是Boomeron方程的子情況[1].

近年來，對(duì)于非線性偏微分方程的行波解的研究一直是數(shù)學(xué)和物理中活躍的領(lǐng)域.尋找偏微分方程的行波解是非常有意義的，因?yàn)樗鼈儗?duì)理解復(fù)雜的波現(xiàn)象和系統(tǒng)的長時(shí)間行為提供了許多的信息.方程(1)的行波解近年來一直倍受關(guān)注，人們運(yùn)用各種各樣的直接方法去獲取它的精確行波解.R. Abazari[2]首先用(G′/G)擴(kuò)展法獲取了方程(1)的3類精確解，包括雙曲函數(shù)解、三角函數(shù)解和有理函數(shù)解.M. Alquran[3]運(yùn)用擴(kuò)展的tanh函數(shù)法、指數(shù)函數(shù)法和sechp-tanhp函數(shù)法等直接方法獲得了方程(1)的4類孤波解.A. Irshad[4]運(yùn)用tanh-coth函數(shù)法也獲得了一些孤波解.隨后，A. Qawasmeh[5]用sine-cosine函數(shù)法獲得2類周期波解.最近，K. Khan[6]通過修正的簡單函數(shù)法也獲得了一些新解.

盡管方程(1)的行波解已經(jīng)有許多深刻的結(jié)果，它對(duì)于理解非線性物理現(xiàn)象和波的傳播有很大幫助，但仍有解可能丟失.另外，盡管這些直接方法在獲取方程的解上簡潔、高效，但卻不能清楚的解釋當(dāng)參數(shù)改變時(shí)這些解如何演化.而動(dòng)力系統(tǒng)的分岔方法可以有效的解決上述問題，它不僅可以獲得方程的行波解，而且還可以研究解的分支和動(dòng)力行為，這種方法已被廣泛有效的運(yùn)用于各種不同的方程[7-16].本文中，將運(yùn)用動(dòng)力系統(tǒng)的分岔方法[17-18]和數(shù)值模擬的方法去尋找方程(1)的無界行波解.

1 Zoomeron方程行波系統(tǒng)的分岔

令U(x,y,t)=u(ξ),ξ=x+ay-ct，(2+1)維Zoomeron方程(1)化為相應(yīng)的行波系統(tǒng)如下

(2)

(3)

其中變量e是積分常數(shù)，由(3)式可解出u″得

(4)

(4)式可以轉(zhuǎn)化為如下等價(jià)的動(dòng)力系統(tǒng)

(5)

它有如下首積分

(6)

其中a(c2-1)≠0.

根據(jù)Hamilton系統(tǒng)的理論[18]可得

當(dāng)ce≥0時(shí)，方程(5)有唯一的平衡點(diǎn)A(0,0)，根據(jù)文獻(xiàn)[17]第2章知，A(0,0)為鞍點(diǎn)或中心.基于上面的分析，有如下結(jié)果：

}.

情形3：ce≥0，方程(5)全是無界軌道或者全是周期軌.

2 無界行波解的表達(dá)式

根據(jù)(6)式可知軌道Γ1、Γ1的表達(dá)式由如下積分決定

通過計(jì)算可得Γ1、Γ1的表達(dá)式為

類似的計(jì)算可以得到軌道Γ2、Γ2的表達(dá)式

根據(jù)(6)式可知Γ3、Γ3的表達(dá)式由如下積分決定

其中p、q、r和s是實(shí)數(shù)且p=-s,q=-r,-∞

軌道Γ5、Γ5對(duì)應(yīng)于中心的能量，其表達(dá)式由如下的積分決定

其中p是實(shí)數(shù)且-∞

類似的計(jì)算可以得到軌道Γ6、Γ6的表達(dá)式為

致謝 成都信息工程大學(xué)科學(xué)研究基金(J201219)對(duì)本文給予了資助，謹(jǐn)致謝意.

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2010 MSC：58F15; 58F17; 53C35

(編輯 周 俊)

Unbounded Traveling Wave Solutions for the (2+1)-dimensional Zoomeron Equation

ZHOU Yuqian1,2, CAI Shanshan2, LIU Qian3

( 1. School of Mathematical Sciences, University of Electronic Science and Tcchnology of China, Chengdu 611731, Sichuan; 2. College of Mathematics, Chengdu University of Information Technology, Chengdu 610225, Sichuan; 3. College of Computer Science and Technology, Southwest University for Nationalities, Chengdu 610041, Sichuan

In this paper, the bifurcation method of dynamical system and numerical simulation method of differential equation are employed to investigate the (2+1)-dimensional Zoomeron equation. We obtain differently qualitative phase portraits, by which all traveling waves are identified. Furthermore, by calculating some complicated integrals, we obtain the exact expressions of these unbounded traveling waves.

Zoomeron equation; unbounded traveling wave solutions; dynamical system; numerical simulation; bifurcation

2015-07-16

國家自然科學(xué)基金(11301043和11171046)、中國博士后科學(xué)基金(2016M602663)和四川省教育廳重點(diǎn)科研項(xiàng)目(12ZA224)

周鈺謙(1979—),男，教授，主要從事微分方程與動(dòng)力系統(tǒng)的研究,E-mail:cs97zyq@cuit.edu.cn

O192

A

1001-8395(2016)06-0829-04

10.3969/j.issn.1001-8395.2016.06.009