彭 懿,吳錦標(biāo)

(1-長沙師范學(xué)院初等教育系，長沙 410100;2-中南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，長沙 410083)

1 引言

在市場激烈競爭的今天，隨著消費(fèi)者維權(quán)意識的提高和消費(fèi)觀念的變化，消費(fèi)者在選購產(chǎn)品時(shí)，不僅注意到產(chǎn)品實(shí)體本身，在同類產(chǎn)品的質(zhì)量和性能相似的情況下，更加重視產(chǎn)品的售后服務(wù)．因此，企業(yè)在提供價(jià)廉物美的產(chǎn)品的同時(shí)，向消費(fèi)者提供完善的售后服務(wù)，已成為現(xiàn)代企業(yè)市場競爭的新焦點(diǎn)．售后服務(wù)包括維修、安裝升級、設(shè)備調(diào)整、提供技術(shù)支持、咨詢和培訓(xùn)，以及提供融資服務(wù)，甚至于文化活動等等，內(nèi)容十分廣泛．本文嘗試?yán)脭?shù)學(xué)方法定量地分析、優(yōu)化和設(shè)計(jì)售后服務(wù)中的維修服務(wù)契約．

Murthy和Padmanabhan[1]最先將服務(wù)契約當(dāng)做一種廣義的保修行為來研究機(jī)器維修模型．Murthy和Ashgarizadeh[2]首先利用博弈論研究了一臺機(jī)器和一個修理工的維修服務(wù)契約模型．他們利用Stakelberg博弈公式得到了代理商的最優(yōu)決策結(jié)構(gòu)．而后，Ashgarizadeh和Murthy[3]將此模型推廣到多臺機(jī)器和單個修理工情形．但他們都沒有考慮機(jī)器的保修期和保修費(fèi)等．Yeh和Lo[4]研究了對于可修產(chǎn)品的預(yù)防–維修策略．Pascual和Ortega[5]通過建立一個隨機(jī)模型確定了產(chǎn)品每次檢測和大修的最優(yōu)時(shí)間．關(guān)于研究維修服務(wù)契約模型的主要方法和結(jié)果，讀者可參見Murthy和Blischke[6]的綜述以及Murthy和Djamaludin[7]的文獻(xiàn)評述和Murthy和Blischke[8]的著作．近年來，Huber和Spinler[9]對維修服務(wù)合約進(jìn)行了最優(yōu)定價(jià)分析．Xiang等[10]考慮了一個在馬爾可夫隨機(jī)環(huán)境中運(yùn)行的維修系統(tǒng)的最優(yōu)維修策略．本文推廣了Ashgarizadeh和M urthy[3]的工作，利用多服務(wù)器排隊(duì)理論和博弈理論對具有多臺機(jī)器和多個修理工的機(jī)器維修服務(wù)合約進(jìn)行最優(yōu)設(shè)計(jì)，得到了最優(yōu)保修期、保修費(fèi)和修理工數(shù)目．

2 模型描述

假設(shè)某公司以單位價(jià)格Cp，從一設(shè)備制造商(代理商)購入M臺使用年限(壽命)為L0的機(jī)器．每臺機(jī)器正常運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)每單位時(shí)間可產(chǎn)生收益R，而機(jī)器發(fā)生故障時(shí)則不會產(chǎn)生收益．假設(shè)這M臺機(jī)器相互獨(dú)立地工作，每臺機(jī)器相繼發(fā)生故障的間隔時(shí)間服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布．機(jī)器一旦發(fā)生故障，馬上送往售后服務(wù)部門進(jìn)行維修，修復(fù)后立即投入使用．假設(shè)有N(1≤N≤M)個修理工，代理商付給每個修理工的固定費(fèi)用為Cn．維修規(guī)則為機(jī)器先故障先維修，每臺發(fā)生故障的機(jī)器的修理時(shí)間χ服從參數(shù)為μ的指數(shù)分布．代理商制定了如下維修服務(wù)契約：對每臺保修期為L(0≤L≤L0)的機(jī)器，購買者一次性交納保修費(fèi)P(L)，這里假設(shè)函數(shù)P(L)單調(diào)增、凸且在區(qū)間[0,L0]內(nèi)二次可微．若在保修時(shí)期內(nèi)送往維修的機(jī)器沒有在規(guī)定的時(shí)間T內(nèi)修好，則給予一定的補(bǔ)償．令隨機(jī)變量τ表示發(fā)生故障的機(jī)器送往維修直到修好的這段時(shí)間．若τ>T，則補(bǔ)償費(fèi)用為δ(τ?T)，若τ≤T，則不補(bǔ)償．若在保修期外發(fā)生故障的機(jī)器，則每次維修需支付Cs的維修費(fèi)且無任何補(bǔ)償．假設(shè)每臺發(fā)生故障的機(jī)器的一次維修成本費(fèi)為Cr(Cr

3 模型分析

對機(jī)器j(j=1,2,…,M)，我們令其在時(shí)間區(qū)間[0,L)內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)為Xj，在時(shí)間區(qū)間[L,L0)內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)為Yj．再令Wji為機(jī)器j發(fā)生第i次故障時(shí)送往維修直到修好的這段時(shí)間．顯然，Wji等于其等待修理時(shí)間和修理時(shí)間之和．令Uj為第j臺機(jī)器產(chǎn)生的純收益，V為代理商的總收益，則我們有

注意到此維修服務(wù)模型等價(jià)于有限源M/M/N排隊(duì)系統(tǒng)，其服務(wù)規(guī)則為先到先服務(wù)(FCFS)．顧客到達(dá)率為

服務(wù)率為

定理1令N(t)表示時(shí)刻t發(fā)生故障在維修部門等待修理和正在修理總的機(jī)器數(shù)目，設(shè)

則

其中

證明 機(jī)器發(fā)生故障被送往修理這個過程可看做是一顧客有限源的M/M/N排隊(duì)系統(tǒng)．從而由經(jīng)典的排隊(duì)論易得上述結(jié)論．

推論1令H和Hq分別表示在穩(wěn)態(tài)下發(fā)生故障的機(jī)器數(shù)與等待修理的機(jī)器數(shù)，則有

記Wq為顧客有限源的M/M/N排隊(duì)系統(tǒng)中顧客的等待時(shí)間(不包括服務(wù)時(shí)間)，則Wji=Wq+χ．

定理2穩(wěn)態(tài)下，故障機(jī)器的等待修理時(shí)間分布函數(shù)Wq(t)=P{Wq≤t}為

證明 參見G ross和Harris[11]著的《排隊(duì)論基礎(chǔ)》．

由于Wq與χ相互獨(dú)立，于是Wji的分布函數(shù)為

注1推導(dǎo)上述公式利用了如下等式

推論2發(fā)生故障的機(jī)器從被送去修理到修好正常運(yùn)作的平均時(shí)間為

推論3維修一臺發(fā)生故障的機(jī)器的平均補(bǔ)償費(fèi)用為

利用推論2和推論3，我們便可得到如下定理．

定理3每臺機(jī)器產(chǎn)生的純收益和代理商的純收益期望值分別為

4 最優(yōu)定價(jià)及設(shè)計(jì)

由博弈論中的Nash平衡原理[12]，我們知道最優(yōu)策略由等式M·E[U]=E[V]確定，即

其中

下面我們分兩步來求解此最優(yōu)化問題．首先，在固定修理工數(shù)目N的條件下求解最優(yōu)保修期．然后，根據(jù)定理3尋求最優(yōu)修理工數(shù)目N?．

定理4對固定的N，方程(3)在區(qū)間(0,L0)中恰好存在一個根的充分條件為

證明 考慮函數(shù)

易知：

(i)f(0)=??(N);

(ii)f′′(L)=P′′(L)≥ 0，即函數(shù)f(L)對于固定的N 是凸函數(shù)．

因此，根據(jù)零點(diǎn)定理，若f(0)f(L0)<0，即

那么方程f(L)=0在區(qū)間(0,L0)內(nèi)恰好有一個根．定理得證．

將代入(2)，我們得到代理商的平均收益為

其中E[W](N)是將代入E[W]后的表達(dá)式．

由于E[W](N)表達(dá)式太復(fù)雜，我們無法利用求導(dǎo)來得到最優(yōu)修理工數(shù)目．但是，考慮到機(jī)器數(shù)目的有限性，我們可利用窮盡法來求

由此可得，最優(yōu)保修期和保修價(jià)格分別為．再將N?,L?和P?代入(1)和(2)，我們便得到每臺機(jī)器產(chǎn)生的最大收益以及代理商的最大收益分別為

5 數(shù)值實(shí)例

這一節(jié)，我們利用Matlab編程提供了幾個數(shù)值實(shí)例來演示模型中參數(shù)變化對最優(yōu)解的影響．當(dāng)然，以下數(shù)值實(shí)例中參數(shù)都是在

成立的條件下選取的．我們假設(shè)

數(shù)值仿真結(jié)果由表1和圖1給出．

在表1中，我們觀察到最優(yōu)修理工數(shù)目N?和代理商最大的期望收益E[V?]隨著機(jī)器數(shù)目M增加而增大．圖1給出了當(dāng)機(jī)器壽命L0取三個不同值時(shí)，參數(shù)R和M對最優(yōu)保修期L?的影響．從圖1可看出，最優(yōu)保修期L?隨著機(jī)器產(chǎn)生的收益R的增加而遞減．而且，當(dāng)機(jī)器壽命L0越大時(shí)，最優(yōu)保修期L?下降越快．然而，當(dāng)機(jī)器壽命L0固定時(shí)，機(jī)器總數(shù)目M幾乎不影響最優(yōu)保修期L?．此外，正如我們所預(yù)料的，最優(yōu)保修期L?是機(jī)器壽命L0的單調(diào)增函數(shù)．

表1:模型的最優(yōu)解

圖1:參數(shù)R,M對最優(yōu)保修期的影響

6 小結(jié)

本文推廣了Ashgarizadeh和M urthy[3]的工作，利用多服務(wù)器排隊(duì)理論和博弈理論對具有多臺機(jī)器和多個修理工的機(jī)器維修服務(wù)合約進(jìn)行最優(yōu)設(shè)計(jì)，求得了最優(yōu)保修期、保修費(fèi)和修理工數(shù)目．獲得了結(jié)論：最優(yōu)保修期和修理工數(shù)目均與保修價(jià)格函數(shù)無關(guān)，而且，對于固定壽命的機(jī)器，機(jī)器總數(shù)幾乎不影響最優(yōu)保修期的設(shè)定．

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