胡　浩， 李正良， 于　偉

(重慶大學(xué) 土木工程學(xué)院，重慶　400045)

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帶有彈簧-質(zhì)量-圓柱殼耦合結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)分析

胡浩， 李正良， 于偉

(重慶大學(xué) 土木工程學(xué)院，重慶400045)

摘要：采用子結(jié)構(gòu)導(dǎo)納法研究了簡(jiǎn)支邊界條件下帶有多根彈簧-集中質(zhì)量-圓柱殼耦合結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)。根據(jù)已有結(jié)果，通過求解多根彈簧等效剛度的推導(dǎo)思路，采用柔度法得到各子結(jié)構(gòu)矩陣元素的柔度系數(shù)，進(jìn)而求得集中質(zhì)量帶有多根彈簧的圓柱殼耦合結(jié)構(gòu)自振頻率及模態(tài)理論公式，并與已有文獻(xiàn)結(jié)果作對(duì)比，證明了理論推導(dǎo)的正確性。應(yīng)用理論方法進(jìn)一步求解了集中質(zhì)量帶有三根彈簧圓柱殼耦合結(jié)構(gòu)的自振頻率及振型，并與建立的ANSYS有限元模型分析結(jié)果對(duì)比，二者結(jié)果的誤差可忽略不計(jì)，再次驗(yàn)證所提出理論的合理性及正確性。

關(guān)鍵詞：彈簧-集中質(zhì)量-圓柱殼；導(dǎo)納法；自由振動(dòng)；等效剛度

板殼耦合結(jié)構(gòu)廣泛應(yīng)用于航天器、導(dǎo)彈、壓力容器、建筑和潛艇等結(jié)構(gòu)中。對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)，通常分解為多個(gè)子結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析研究，現(xiàn)階段對(duì)板殼耦合結(jié)構(gòu)振動(dòng)的研究大多采用子結(jié)構(gòu)導(dǎo)納法[1-4]，即從柔度概念出發(fā)研究耦合結(jié)構(gòu)振動(dòng)。趙芝梅等[5-6]在傳統(tǒng)導(dǎo)納法的基礎(chǔ)上提出了改進(jìn)的子結(jié)構(gòu)線導(dǎo)納法，同時(shí)將其用于鋪板與圓柱殼耦合結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)分析，并進(jìn)一步研究了多點(diǎn)激勵(lì)下加筋板殼耦合結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性。

另一類常見的耦合結(jié)構(gòu)即為彈簧-板殼結(jié)構(gòu)和彈簧-附加質(zhì)量-板殼結(jié)構(gòu)，該類結(jié)構(gòu)也得到了廣泛的研究。Allaei等[7]采用點(diǎn)導(dǎo)納法研究了帶有徑向彈簧的圓環(huán)(輪胎)的振動(dòng)特性，但與圓環(huán)相連的彈簧的另一端都假設(shè)成固定。Azimi[8]應(yīng)用模態(tài)擴(kuò)展法及導(dǎo)納法分析了任意徑向位置處具有彈性支撐和剛性支撐的圓板的振動(dòng)特征。Amabili[9]應(yīng)用導(dǎo)納法研究了帶有集中質(zhì)量空腹及充液圓柱殼的振動(dòng)，并與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比，吻合良好，證明了該理論的正確性。Achong[10]利用導(dǎo)納法分析了帶有附加質(zhì)量的圓板及扁殼，把該理論方法應(yīng)用于聲道鋼盤鼓，并與其他方法及試驗(yàn)所得結(jié)果對(duì)比，吻合較好。Amabili等[11]基于Flügge薄殼理論利用Rayleigh-Ritz法研究了具有附加質(zhì)量及彈性約束的鉚接圓柱殼振動(dòng)特征。在此基礎(chǔ)上，Amabili等[12]進(jìn)一步分析了集中質(zhì)量旋轉(zhuǎn)慣性對(duì)空腹及充液圓柱殼體頻率的影響，理論及試驗(yàn)結(jié)果表明：集中質(zhì)量旋轉(zhuǎn)慣性除了對(duì)殼體的局部模態(tài)起重要影響外，一般情況下可以忽略。

對(duì)附帶質(zhì)量彈簧的殼體的研究主要集中于質(zhì)量附著在殼體上，或者質(zhì)量通過一根或者兩根共線彈簧連接在殼體上[13]，該種連接比較簡(jiǎn)單。本文在已有研究成果的基礎(chǔ)上進(jìn)一步分析了集中質(zhì)量與圓柱殼體通過多根彈簧連接的耦合結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性，推導(dǎo)了該彈簧-質(zhì)量-殼體耦合結(jié)構(gòu)的自振頻率及位移響應(yīng)公式，并與已有結(jié)果及ANSYS有限元結(jié)果對(duì)比，證明了本文理論推導(dǎo)的有效性及正確性。

1理論分析

1.1子結(jié)構(gòu)柔度系數(shù)推導(dǎo)

對(duì)附加質(zhì)量-彈簧-圓柱殼耦合結(jié)構(gòu)建立坐標(biāo)系見圖1，A為圓柱殼;L為殼體長(zhǎng)度;R為半徑;h為厚度;ρ為材料密度;ν為泊松比;E為彈性模量；集中質(zhì)量B懸浮在圓柱殼中心，M為質(zhì)量;不考慮質(zhì)量自重的影響，其通過L根彈簧與殼體連接，集中質(zhì)量及各彈簧均處于同一高度x0處，每根彈簧與水平方向夾角為θi，其剛度系數(shù)為ki。

基于導(dǎo)納法，即一般的柔度法理論[13-14]，把圓柱殼和集中質(zhì)量當(dāng)作兩個(gè)子系統(tǒng)A和B,各個(gè)系統(tǒng)受力情況見圖2，假設(shè)殼體與彈簧連接處殼體受到的外力為FAi，殼體在該處位移為ZAi，對(duì)應(yīng)彈簧的另一端與集中質(zhì)量連接處質(zhì)量受到的外力為FBi，質(zhì)量在該處位移為ZBi。易得如下關(guān)系式：

圖1　圓柱殼結(jié)構(gòu)模型Fig.1 Geometry of a cylindrical shell

圖2　受力模型Fig.2 Model of forces

(1)

(2)

由式(1)易得式(3)和式(4)：

(3)

(4)

由式(2)、式(3)和式(4)易得式(5)：

(5)

(6)

式中：αij及βij為柔度系數(shù);具體表達(dá)式分別見式(10)及式(17);i,j取為1,2,…,L。

令系數(shù)矩陣行列式為0，可求得耦合結(jié)構(gòu)頻率值：

(7)

對(duì)于兩端垂向自由簡(jiǎn)支約束圓柱殼，軸向、切向及徑向陣型函數(shù)分別假設(shè)如下：

(8)

式中：系數(shù)Amn、Bmn、Cmn為振動(dòng)幅值;m，n分別為軸向半波數(shù)及周向波數(shù);φ為模態(tài)相位角。

由文獻(xiàn)[13]可知單點(diǎn)諧波激勵(lì)下，圓柱殼位移：

(9)

圓柱殼柔度系數(shù)：

(10)

(11)

集中質(zhì)量柔度系數(shù)：

(12)

式中：ωmn及ω分別為圓柱殼的自振頻率和耦合結(jié)構(gòu)的自振頻率。

借鑒文獻(xiàn)[15]對(duì)煤氣柜中活塞彈簧等效剛度的推導(dǎo)思路，考慮彈簧的徑向變形，本文從柔度法角度出發(fā)，在已知某根彈簧變形量的前提下，推導(dǎo)求得任意一根彈簧壓縮量或者伸長(zhǎng)量，即可知質(zhì)量上柔度系數(shù)βij。

圖3為彈簧變形值計(jì)算簡(jiǎn)圖。忽略集中質(zhì)量點(diǎn)大小，把質(zhì)量當(dāng)作一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量中心點(diǎn)水平向右移動(dòng)單位位移，同時(shí)水平彈簧壓縮量也是單位值，與該根水平彈簧夾角為φ值的彈簧變形量為dφ，斜彈簧的初始位置為C2坐標(biāo)，變形后移動(dòng)到C3坐標(biāo)處，對(duì)應(yīng)處的斜彈簧位置由C4移到C5坐標(biāo)，易得如下幾何關(guān)系：

圖3　彈簧變形值計(jì)算簡(jiǎn)圖Fig.3 Model of spring deflection

(13)

(14)

y3-y2=1

(15)

根據(jù)式(13)～式(15)關(guān)系，得彈簧變形量為：

(16)

所以，已知某根彈簧的變形量，根據(jù)式(16)即可求得與此彈簧成任意夾角的彈簧變形量。結(jié)合柔度的概念，考慮彈簧的拉壓方向性，易得集中質(zhì)量柔度系數(shù)βij如下：

(17)

式中：θi、θj為第i，j根彈簧與水平方向的夾角，取值范圍是0～2π。

1.2 圓柱殼自振頻率求解

根據(jù)Flügge薄殼理論[16]，基于式(8)假設(shè)的振型函數(shù)，可得兩端簡(jiǎn)支圓柱殼頻率方程：

(18)

(19)

(20)

由式(18)求得圓柱殼頻率ωmn，易得振型幅值比例關(guān)系：

(21)

故總位移表達(dá)式可由式(9)按多個(gè)單點(diǎn)諧波激勵(lì)下的位移響應(yīng)線性疊加得到，如下：

(22)

其中Nmn參見式(11)。

1.3 理論推導(dǎo)的正確性驗(yàn)證

由式(5)和式(6)，假設(shè)質(zhì)量與圓柱殼體通過一根彈簧相連，則

(23)

當(dāng)彈簧剛度無窮大，即k1→∞時(shí)，可認(rèn)為質(zhì)量塊直接附著在殼體上；當(dāng)彈簧剛度很小，即k1→0時(shí)，可認(rèn)為彈簧-質(zhì)量塊對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)無影響，即ω=ωmn。式(23)與文獻(xiàn)[13]中推導(dǎo)公式相同，說明文獻(xiàn)[13]中為本文推導(dǎo)的特例，證明了本文方法的正確性。

2有限元模型建立及其數(shù)值分析

2.1建立有限元模型

為進(jìn)一步應(yīng)用本文方法，建立了集中質(zhì)量帶有三根彈簧的兩端簡(jiǎn)支圓柱殼耦合結(jié)構(gòu)有限元模型，彈簧均勻分布，相互間夾角為120°，模型參數(shù)為：M=200 g，k1=k2=k3=4*105N/m，x0=262 mm，E=206 GPa，ρ=7 700 kg/m3，ν=0.3，L=664 mm，R=175 mm，h=1.0 mm。ANSYS模型中不考慮質(zhì)量塊的重力，只考慮平面內(nèi)慣性力，彈簧采用COMBIN14單元模擬一維軸向自由度，殼體采用SHELL63單元模擬。三維ANSYS有限元模型見圖4。耦合結(jié)構(gòu)振型圖見圖5。

圖4　三維ANSYS有限元模型Fig.4 Finite element model

圖5　耦合結(jié)構(gòu)振型圖Fig.5 Modal of coupled cylindrical shell

2.2計(jì)算結(jié)果與有限元結(jié)果對(duì)比

計(jì)算耦合結(jié)構(gòu)頻率及模態(tài)，此時(shí)彈簧根數(shù)L=3，通過式(18)，利用Rayleigh-Ritz法計(jì)算得到單獨(dú)簡(jiǎn)支圓柱殼32階模態(tài)頻率值ωmn(m=1,2,3,4;n=1,2,…,8)，再由軟件Mathematica求解式(7)，得到耦合結(jié)構(gòu)頻率值ω，最后通過式(22)求解耦合結(jié)構(gòu)的頻率及模態(tài)，見圖5。

本文主要列出了m=1時(shí)的前6階彎曲模態(tài)作為比較分析，圖5(a)～圖5(f)為耦合圓柱殼結(jié)構(gòu)的振型圖，圖5(a2)～圖5(f2)為彈簧-質(zhì)量高度處殼體徑向位移，圖中頻率值為本文計(jì)算結(jié)果，括號(hào)內(nèi)頻率值為有限元分析結(jié)果。通過頻率值對(duì)比可見，本文計(jì)算結(jié)果與有限元結(jié)果很接近，誤差很小，對(duì)于工程而言，誤差可以忽略，再次為本文方法的合理性提供了依據(jù)。

3結(jié)論

本文基于已有文獻(xiàn)的研究成果，進(jìn)一步推導(dǎo)了多根彈簧-質(zhì)量-圓柱殼耦合結(jié)構(gòu)自振模態(tài)及頻率值的理論公式，與已有文獻(xiàn)作對(duì)比，證明了本文理論推導(dǎo)的正確性，并建立有限元模型算例與本文理論值對(duì)比，二者所得結(jié)果誤差很小，再次表明本文方法的合理性。

參 考 文 獻(xiàn)

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Free vibration analysis for a spring-mass-cylindrical shell coupled structure

HUHao,LIZheng-liang,YUWei(College of Civil Engineering, Chongqing University, Chongqing 400045, China)

Abstract:The free vibration of a spring-mass-cylindrical shell coupled structure under simply supported boundary condition was investigated with the substructure receptance method. Through deriving the equivalent stiffness of several springs, the compliance coefficients of matrix elements of sub-structures were derived with the compliance method. Theoretical formulas for the natural frequencies and modes of the coupled structure via the receptance method, they were compared with those in other reference to verify the validity of the theoretical derivation here. The numerical results for natural frequencies and modal shapes of a three springs-lumped mass-sylinder shell coupled structure obtained with the proposed method were compared with those using the finite element software ANSYS to verify the reasonability and correctness of the theory presented here.

Key words:springs-lumped mass-cylindrical shell; receptance method; free vibration; equivalent stiffness

中圖分類號(hào):TB123

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.07.032

收稿日期：2014-12-03修改稿收到日期：2015-04-20

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51278511)

第一作者 胡浩 男，博士生，1986年生