趙德勝, 吳榮軍

(西安郵電大學(xué) 自動化學(xué)院, 西安　710121)

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含2個S副間隙6-SPS機構(gòu)奇異性分析

趙德勝, 吳榮軍

(西安郵電大學(xué) 自動化學(xué)院, 西安710121)

摘要：6-SPS機構(gòu)位姿矩陣采用四元數(shù)法描述，并將該矩陣和矢量坐標(biāo)擴展為4維形式，推導(dǎo)出無間隙機構(gòu)的運動方程，得到了機構(gòu)運動的新型雅克比矩陣JA和JB；在此基礎(chǔ)上，利用連續(xù)接觸模型得到了兩個含間隙S副共連桿和異桿時機構(gòu)的運動系數(shù)矩陣。分別把各個運動系數(shù)的行列式展開，得到含間隙機構(gòu)第一類奇異和第二類奇異的軌跡方程，利用MATLAB得到了機構(gòu)在給定位置時的第一類位姿奇異軌跡和第二類位姿奇異三維軌跡曲面；通過將兩類含間隙機構(gòu)奇異軌跡曲面的比較，發(fā)現(xiàn)機構(gòu)間隙對第二類奇異的影響大于對第一類奇異的影響；在兩類奇異軌跡中，當(dāng)S副異桿時，機構(gòu)間隙的影響均大于S副共連桿時的影響。以無間隙機構(gòu)奇異軌跡曲面上奇異點作為參考點，通過含間隙機構(gòu)奇異軌跡曲面上與參考點相對應(yīng)奇異點的相互比較，發(fā)現(xiàn)存在一個關(guān)于參考點的奇異域。

關(guān)鍵詞：四元數(shù)； 奇異位形； 含間隙并聯(lián)機構(gòu)；雅克比矩陣；奇異域

并聯(lián)機器人具有多自由度、大承載力、精度高等優(yōu)點，在現(xiàn)代工業(yè)生產(chǎn)中得到越來越廣泛的應(yīng)用。奇異位形是機構(gòu)的一個固有屬性，當(dāng)并聯(lián)機構(gòu)處于奇異位形時，機構(gòu)自由度發(fā)生變化，給運動控制帶來困難[1]。自20世紀90年代就有學(xué)者發(fā)現(xiàn)，并聯(lián)機構(gòu)的奇異位形并不只是工作空間中的一些孤立點，還找到了一系列連續(xù)變化的奇異位形，稱為奇異軌跡[2-3]。一些研究者近年來對并聯(lián)機構(gòu)進行了深入研究，發(fā)現(xiàn)其雅克比矩陣行列式展開后十分復(fù)雜。國內(nèi)學(xué)者基于螺旋理論建立雅克比矩陣研究了Stewart并聯(lián)機構(gòu)的位置奇異軌跡，得出了姿態(tài)奇異軌跡的解析表達式。但是，這種方法得出的雅克比矩陣不僅所含項數(shù)多而且含有超越項，難以求解。目前，對并聯(lián)機構(gòu)的奇異性研究方法還不成熟，需要從結(jié)構(gòu)設(shè)計和理論創(chuàng)新方面進行突破[4-6]。

機構(gòu)奇異位形的存在對機構(gòu)的運動、受力等各個方面均產(chǎn)生了較大影響，嚴重時可能損壞機構(gòu)。因此，專家們不得不提出各種免奇異研究方法。但是，很多免奇異方法沒有考慮機構(gòu)間隙對奇異位形的影響。機構(gòu)間隙的存在不僅影響機構(gòu)運動精度而且對機構(gòu)的奇異位形也有較大影響。本文利用四元數(shù)法對含間隙6—SPS機構(gòu)的奇異位形進行了研究。

本文出于以下兩個原因只考慮2個球面副的間隙：① 在該并聯(lián)機構(gòu)中球面副相對其他運動副更加普遍且位于驅(qū)動支鏈上，對其進行研究更顯一般性。② 為了簡化計算和方便公式推導(dǎo)。

1四元數(shù)與位姿矩陣

四元數(shù)的一般形式為：

ε=ε0+ε1i+ε2j+ε3k

(1)

式中：ε,ε0,ε1,ε2,ε3∈R。采用單位四元數(shù)描述并聯(lián)機構(gòu)動平臺的姿態(tài)，對應(yīng)變換矩陣R為[12]:

(2)

將3階變換矩陣R擴展為4階形式：

(3)

(4)

(5)

為了下文的雅克比矩陣轉(zhuǎn)化方便，預(yù)定義4維矢量：h=(h1h2h3h4)T，由式(5)可得：

(6)

式中：P為動坐標(biāo)系的原點O′在慣性系O-XYZ((見圖1)中的位置矢量。

2無間隙機構(gòu)運動學(xué)方程

為了便于分析含間隙機構(gòu)奇異位形特點，首先分析無間隙機構(gòu)的奇異位形，以便二者比較。

2.16-SPS機構(gòu)簡圖及平臺頂點參數(shù)

圖1為該機構(gòu)的機構(gòu)簡圖，表1給出了機構(gòu)各頂點在動坐標(biāo)系和慣性坐標(biāo)系中的坐標(biāo)參數(shù)。

圖1　6-SPS機構(gòu)簡圖Fig.1 6-SPS parallel mechanism diagrammatic sketch

圖1中：坐標(biāo)系O-XYZ為慣性坐標(biāo)系(定坐標(biāo)系)，固聯(lián)與定平臺；O′-X′Y′Z′為動坐標(biāo)系，固聯(lián)與動平臺。表1是動靜平臺各個頂點的X和Y軸坐標(biāo)參數(shù)，是事先給定的數(shù)值；動平臺各個頂點的X和Y軸坐標(biāo)值由參數(shù)θ2和動平臺頂點外接圓半徑r2確定。靜平臺各個頂點的X和Y軸坐標(biāo)值由參數(shù)θ1和靜平臺頂點外接圓半徑r1確定。

表1　動靜平臺各頂點坐標(biāo)參數(shù)

2.2運動學(xué)方程推導(dǎo)

在已得到動平臺位姿矩陣R(式(2))的基礎(chǔ)上，令位置矢量P=(PxPyPz)T，其中Px、Py、Pz為P在各軸的分量。則動平臺和定平臺對應(yīng)頂點之間的連桿矢量為：

lkek=P+Rak-bk

(7)

式中：lk為連桿AkBk的長度，k=1～6；ak為動平臺頂點在動坐標(biāo)系中的矢量，k=1～6；bk為靜平臺頂點在靜坐標(biāo)系中的矢量，k=1～6；ek為連桿AkBk的單位矢量，k=1～6。

由式(4)和式(7)可得：

(8)

又由式(6)可得：

(9)

式中：Q是動平臺在動坐標(biāo)系O′-X′Y′Z′(見圖1)中的位置矢量。式(7)兩邊點乘自身，并將頂點坐標(biāo)代入可得：

2(axkbxk-aykbyk)(2ε0ε3)+2aykQy+PP-

2(axkbxk+aykbyk)(2ε1ε2)-2bxkPx-2bykPy

(10)

式中：ra為動平臺各頂點矢徑,ra=1.2。rb為靜平

臺平臺各頂點矢徑，rb=2(本文中動、靜平臺均為正六邊形)。Qx、Qy、Qz為Q在各軸的分量。

由式(6)和式(9)可得：

Px=h1ε0-h0ε1-h3ε2+h2ε3

Py=h2ε0-h0ε2+h3ε1-h1ε3

Qx=h1ε0-h0ε1+h3ε2-h2ε3

Qy=h2ε0-h0ε2-h3ε1+h1ε3

又由式(10)包含6個類似方程，將表1中各頂點參數(shù)代入整理得到式(11)：

Mat1η1=Mat2η2+L

(11)

式中：

L為桿長矩陣，

在Mat2中，

由此將式(11)整理可得：

令

由此可得：

(12)

在式(12)中含有6個方程，8個輸入變量。為了得到運動學(xué)運動系數(shù)方陣，又根據(jù)單位四元數(shù)的性質(zhì)：

(13)

把式(12)和式(13)合并成式(14)：

(14)

對式(14)兩邊求導(dǎo)可得：

JAVε=JBVs

(15)

(16)

(17)

3含間隙機構(gòu)運動學(xué)方程推導(dǎo)

3.1兩個含間隙S副異桿

在含間隙S副B1點處建立坐標(biāo)系OB1-XB1YB1ZB1(見圖2)。

式中：OB1為無間隙時與B1點對應(yīng)的理想頂點;O為原定平臺中心;OB1b1為XB1軸最大間隙Lexmax;OB1a1為A1B1連桿最大間隙Lezmax;OB1b2、OB1b6表示YB1軸向上定平臺B1B2、B6B1邊長的最大間隙Leymax。

假設(shè):

(1) 第一、第二支鏈的定平臺S運動副含有間隙，并把各個軸向間隙矢量簡化為一個無剛度連桿。

(3) 假設(shè)在三個坐標(biāo)軸方向上機構(gòu)間隙最大值相等，即Lexmax=Leymax=Lezmax。

(4) 兩個S副在各個坐標(biāo)軸方向的間隙最大值相等。

(5) 機構(gòu)間隙變化速度最大值相等。由此得第一和第二連桿支鏈矢量方程為：

(li+lz)ei=P+Rai-(bi+le)

(18)

式中：i=1,2。

整理后可得式(19)：

(axi(bxi+lex))-ayi(byi+ley))-

2(axi(bxi+lex)-ayi(byi+ley))(2ε0ε3)+2ayiQy+PP-

2(axi(bxi+lex)+ayi(byi+ley))(2ε1ε2)-

2(bxi+lex)Px-2(byi+ley)Py

(19)

式中：i=1,2。式(19)中：等式左邊系數(shù)接近于0的項被省略。

圖3　含間隙運動副平面連桿機構(gòu)示意圖Fig.3 Mechanism with clearance diagrammatic sketch

由圖3可知，Lex+Ob1=(A1B1+Lez)cosα+O′A1+OO′cosβ，兩邊求導(dǎo)得：

Ve=

JAS1Vε=JBS1Vs

(20)

式中：

3.2兩個含間隙S副共連桿

假設(shè):

(1) 第一連桿支鏈的兩個S運動副含有間隙(其簡圖見圖2，把各個軸向間隙矢量簡化為一個無剛度連桿。

(4) 兩個S副同坐標(biāo)軸方向間隙最大值相等,即Lexmax=Leymax=Lezmax。

(5) 機構(gòu)各個間隙變化速度最大值相等。由此得第一連桿支鏈矢量方程為：

(l1+lz)e1=P+R(a1+le)-(b1+le)

(21)

整理后可得：

(ay1+ley)(by1+ley))-

(ay1+ley)(by1+ley))+

2(ax1+lex)Qx-2(by1+ley)Py+

2((ax1+lex)(bx1+lex)-

(ay1+ley)(by1+ley))(2ε0ε3)+

2(ay1+ley)Qy+PP-2((ax1+lex)(bx1+lex)+

(ay1+ley)(by1+ley))(2ε1ε2)-2(bx1+lex)Px

(22)

由式(10)、式(22)可得含間隙機構(gòu)運動學(xué)方程：

JAS2Vε=JBS2Vs

(23)

式中：

4奇異位形分析

4.1第一類奇異

4.1.1奇異軌跡曲面

(21)

det(JA)=0的展開式可表示為：

f(U,V,W,Px,Py,Pz)=0

(22)

圖4為一個給定位置時的奇異軌跡曲面。同樣,根據(jù)含間隙機構(gòu)的運動系數(shù)矩陣JAS1、JAs2，在機構(gòu)間隙最大值相等的條件下，得到兩S副異桿和共桿時的第一類奇異軌跡曲面(見圖5、圖6)。以圖4為參考，圖6的變化較大；另外，由表2、表3、表4可知，相對于表1中參考點的坐標(biāo)值，表4中點的坐標(biāo)值變化大于表3中的點。說明兩個間隙S副異桿時對機構(gòu)奇異位形影響較大。

表2　無間隙機構(gòu)奇異點坐標(biāo)值

表3　含間隙S副共桿e=0.06奇異點坐標(biāo)值

表4　含間隙S副異桿e=0.06奇異點坐標(biāo)值

圖4　Px=1，Py=2,Pz=2Fig.4 Px=1，Py=2,Pz=2

圖5　含間隙S副共桿e=0.06,Px=1，Py=2,Pz=2Fig.5 S pairs with clearance in a same linkage e=0.06,Px=1，Py=2,Pz=2

圖6　含間隙S副異桿e=0.06,Px=1，Py=2,Pz=2Fig.6 S pairs with clearance in a different linkage e=0.06,Px=1，Py=2,Pz=2

4.1.2點的奇異域

取機構(gòu)間隙e=0時，奇異軌跡曲面上的第一個點為參考點A。

當(dāng)機構(gòu)間隙e=0.06時，提取若干組奇異曲面上的與之相對應(yīng)點的坐標(biāo)，通過觀察點的坐標(biāo)值變化，發(fā)現(xiàn)不同曲面上的與參考點對應(yīng)的點均分布在參考點A附近(見圖7)，圖中用黑色矩形表示點為參考點)。即存在一個包含參考點A的點奇異域。在這個區(qū)域內(nèi)的任意一點，在機構(gòu)運動時都可能成為奇異點(見圖7、圖8)。但是，S副共連桿時的奇異域基本以參考點為中心；S副異桿時參考點只是其中一個普通點。

圖7　不共連桿參考點奇異域圖Fig.7 S pairs with clearance in a different linkage e=0.06,the reference point’s singular area

圖8　共連桿參考點奇異域圖Fig.8 S pairs with clearance in a same linkage e=0.06,the reference point’s singular area

4.2第二類奇異

4.2.1奇異軌跡曲面

同樣，首先研究無間隙機構(gòu)的奇異軌跡曲面。當(dāng)det(JA)≠0 ，det(JB)=0 時，為第二類奇異。系數(shù)矩陣JB中取θ1=π/6 、θ2=π/12。展開det(JB)=0可得第二類奇異軌跡方程。圖9為給定條件下的無間隙機構(gòu)奇異軌跡曲面。圖10、圖11是在相同條件下根據(jù)含間隙機構(gòu)的運動系數(shù)矩陣JBS1和JBS2得到的含間隙機構(gòu)第二類奇異軌跡曲面。

通過比較圖12、圖13，同樣說明在第二類奇異中，相對于參考點附近也存在一個奇異域。通過提取大量不同曲面上與參考點相對應(yīng)的奇異點并進行比較，兩種情況下，奇異域基本以參考點為中心。另外，由圖11可知，含間隙S副異桿時，間隙對奇異位形的影響較大。

4.2.2兩類奇異軌跡曲面的比較

對比圖5和圖6、圖10和圖11，在機構(gòu)間隙相同的情況下，圖10、圖11相對于圖9的變化差異大于圖5、6相對于圖4的變化差異，說明機構(gòu)間隙對第二類奇異的影響大于對第一類奇異的影響。

圖9 l2=6,l4=6,l6=3Fig.9l2=6,l4=6,l6=3圖10 含間隙S副共桿e=0.06,l2=6,l4=6,l6=3Fig.10Spairswithclearanceinasamelinkagee=0.001,l2=6,l4=6,l6=3圖11 含間隙S副異桿e=0.06,l2=6,l4=6,l6=3Fig.11Spairswithclearanceinadifferentlinkagee=0.06,l2=6,l4=6,l6=3

圖12　含間隙S副異桿Fig.12 S pairs with clearance in the different linkage

圖13　含間隙S副共桿 Fig.13 S pairs with clearance in the same linkage

5結(jié)論

(1) 本文利用連續(xù)接觸模型得到了由四元數(shù)表示的含間隙機構(gòu)運動方程的雅克比矩陣。

(2) 通過比較含間隙機構(gòu)與無間隙機構(gòu)奇異軌跡曲面以及曲面上對應(yīng)點的坐標(biāo)值，說明機構(gòu)間隙對機構(gòu)的奇異位形有一定影響。

(3) 通過比較含間隙機構(gòu)的第一類和第二類奇異軌跡曲面，證明機構(gòu)間隙對第二類奇異的影響大于對第一類奇異的影響；并且兩個S副位于不同的支鏈時對奇異位形的影響比位于同一支鏈上時影響大。

(4) 通過提取不同軌跡曲面上的對應(yīng)奇異點以及對其坐標(biāo)值的比較，證明在參考點附近存在一個奇異域。在奇異域內(nèi)任意一點都可能產(chǎn)生奇異。

以上研究為機構(gòu)的免奇異研究提供參考。

參 考 文 獻

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Singularity analysis for a 6-SPS mechanism with 2 S-pairs containing clearance

ZHAODe-sheng,WURong-jun(School of Automation, Xi’an University of Posts & Telecommunications, Xi’an 710121, China)

Abstract:The pose matrix of a 6-SPS mechanism was described with the quaternion method. The matrix and vector coordinates were expanded into a 4-dimensional form to derive the motion equations of the mechanism without clearance. Then, the novel kinematic Jacobi matrixes JA and JB of the mechanism motion were achieved. On this basis, the movement coefficient matrixes of two S-pairs co-linkage and a different-linkage mechanism were derived with the continuous contact model. Determinants of movement coefficients were expanded, respectively. Subsequently, the trajectory equations containing the first category of singularity and the second category of singularity of mechanisms containing clearance were derived, respectively. Using MATLAB software, the three-dimensional track surfaces of the first category and the second category of pose-attitude singular trajectories at a given location of the mechanism were obtained. The comparison between two types of singularity trajectory surfaces of mechanisms containing clearance showed that the influence of mechanism clearance on the second category of singular it is greater than that on the first category; among the two types of singularity tracks, the influence of mechanism clearance in different-linkage S pairs is greater than that in co-linkage S pairs; the singular point on the trajectory surface of a mechanism without clearance is taken as a reference point, comparing the singular points on the singularity trajectory surface of a mechanism containing clearance corresponding to the reference point, a singular area with respect to the reference point can be found.

Key words:quaternion;singularity; parallel mechanism with clearance; Jacobi matrix; singular area

中圖分類號:THl12

文獻標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.07.020

收稿日期：2015-08-07修改稿收到日期：2015-09-28

基金項目：陜西省教育廳2014科學(xué)研究計劃基金資助項目 (14JK1655)

第一作者 趙德勝 男，講師，博士，1974年生