楊　杰， 齊　輝

(1.上海電機(jī)學(xué)院 機(jī)械學(xué)院，上?！?00245； 2.哈爾濱工程大學(xué) 航天與建筑工程學(xué)院，哈爾濱　150001)

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含有圓形夾雜的雙相介質(zhì)半空間對SH波的散射與地震動

楊杰1,2， 齊輝2

(1.上海電機(jī)學(xué)院 機(jī)械學(xué)院，上海200245； 2.哈爾濱工程大學(xué) 航天與建筑工程學(xué)院，哈爾濱150001)

摘要：采用復(fù)變函數(shù)和Green函數(shù)方法，對雙相介質(zhì)界面附近含有圓形彈性夾雜的無限半空間在穩(wěn)態(tài)入射SH波作用下的地表運(yùn)動問題進(jìn)行研究。首先，利用“虛設(shè)點(diǎn)源”的方法構(gòu)造所需Green函數(shù)，即在1/4空間自由表面上任意一點(diǎn)作用點(diǎn)源函數(shù)時位移基本解答；其次，利用界面“契合”技術(shù)和“鏡像”的思想建立含有無窮未知力系的第一類Fredholm積分方程組，通過有效截斷方法求解該方程組；最后，建立地表位移幅值表達(dá)式并給出其分布的具體算例分析。結(jié)果顯示：入射角度、入射波數(shù)和圓形夾雜到自由表面的距離以及雙相介質(zhì)界面的距離均對地表位移幅值有一定程度的影響。

關(guān)鍵詞：SH波；雙相介質(zhì)半空間；夾雜；鏡像；地表位移幅值

多年來，地震現(xiàn)象的頻繁發(fā)生給人類帶來了巨大的經(jīng)濟(jì)損失和生活災(zāi)難，所以對地震現(xiàn)象產(chǎn)生的原因、地震中震源位置的確定以及地形等因素的了解有助人們盡量減小直接或間接的損失。例如，地震研究人員通過地震動的測量可以掌握震源和地質(zhì)結(jié)構(gòu)的特性，并通過掌握地震動規(guī)律進(jìn)行結(jié)構(gòu)的分析及設(shè)計(jì)等[1-2]。同時，固體中波的傳播在地震現(xiàn)象解釋等方面有著重要的作用，其理論研究及應(yīng)用有重大的進(jìn)展[3-7]。當(dāng)?shù)匦尾灰?guī)則或介質(zhì)不均勻時均會對地震波的傳播產(chǎn)生較大影響，其對地表位移運(yùn)動也會產(chǎn)生放大或縮小效應(yīng)，因此，研究波在局部地形中引起的場地反應(yīng)在一定程度上可預(yù)防或減小地震動引起的工程破壞[8-10]。

近年來，研究人員在局部地形場地問題的研究主要集中于凹陷或凸起地形及含有淺埋缺陷等復(fù)雜地形[11-14]。本文在文獻(xiàn)[15]的基礎(chǔ)上對無限半空間中含有圓形彈性夾雜和雙相介質(zhì)界面同時存在的復(fù)合缺陷地形在穩(wěn)態(tài)SH波入射情況下的地表運(yùn)動問題進(jìn)行研究，并給出SH波入射角和入射波數(shù)以及缺陷等因素對地表位移幅值的影響進(jìn)行討論。文中主要采用復(fù)變函數(shù)[16]和Green函數(shù)[17]相結(jié)合的方法，通過“虛設(shè)點(diǎn)源”和“鏡像”的思想構(gòu)造所需Green函數(shù)和散射波場位移表達(dá)式，進(jìn)而得到可以求解相應(yīng)未知量的積分方程組，并代入求解的未知量得到位移幅值的具體數(shù)值。

1理論模型

穩(wěn)態(tài)SH波入射下含有圓形彈性夾雜的雙相介質(zhì)半空間理論模型(見圖1)。其中，介質(zhì)Ⅰ和介質(zhì)Ⅱ的密度和波速分別為ρ1、c1和 ρ2、 c2，而在介質(zhì)Ⅲ中相應(yīng)的密度和波速分別為ρ3、c3，設(shè)夾雜到半空間自由表面和雙相介質(zhì)界面的距離分別為h、d；穩(wěn)態(tài)SH波的入射波角度為α0，并建立圖1的坐標(biāo)系xoy和x″o″y″。

圖1　雙相介質(zhì)半空間理論模型Fig.1 The theoretical model of the bi-material half space

2Green函數(shù)

Green函數(shù)的理論模型見圖2，即：在含有圓形彈性夾雜的1/4空間垂直邊界任意位置作用點(diǎn)源函數(shù)δ(z-z01)時位移函數(shù)的基本解答，其求解過程與文獻(xiàn)[15]相同。

圖2　Green函數(shù)理論模型Fig.2 Thetheoretical model of Green function

在含有圓形夾雜的介質(zhì)中，Green函數(shù)的表達(dá)式為：

(1)

在不包含圓形夾雜的介質(zhì)中，Green函數(shù)的表達(dá)式為：

(2)

3契合模型與定解積分方程組

由于考慮雙相介質(zhì)界面自由邊界的存在，這里采用"鏡像"的方法將1/4空間轉(zhuǎn)化為全空間來考慮，因此等效的入射波表達(dá)式如下：

(3)

式中：β0=π-α0,α0和W0分別為入射波角度和入射波位移幅值。

同樣地，等效反射波與等效的折射波位移表達(dá)式如下：

(4)

(5)

式中：β1=π-α4，α4為折射波角度。

當(dāng)穩(wěn)態(tài)SH波入射下，由于圓形夾雜產(chǎn)生的散射波和駐波表達(dá)式與點(diǎn)源函數(shù)作用下位移表達(dá)式形式相同。同樣地，有關(guān)未知系數(shù)的確定與Green函數(shù)的未知系數(shù)確定過程相同。

在剖分面處總位移和總應(yīng)力表示如下：

(6)

式中：W(Ⅰs)為散射波在剖分面處的總位移。

圖3　契合理論模型Fig.3 The theoretical model of conjunction

在剖分面處的應(yīng)力連續(xù)性條件可以表示如下：

其中當(dāng)θ″0=β2=-90°,0≤r″<∞，當(dāng)θ″0=β3=90°,0≤r″≤h。

f1(r″0,θ″0)=f2(r″0,θ″0)θ″0=β2,β3

(8)

在界面處的位移連續(xù)性條件表示如下：

W(Ⅰ)+W(f1)=W(Ⅱ)+W(f2)

(9)

同時，根據(jù)W(i,e)+W(r,e)=W(f,e)，有：

W(Ⅰs)+W(f1)=W(f2)

(10)

式中：W(f1)為附加外力系f1(r″0,θ″0)在介質(zhì)I中界面處任意一點(diǎn)產(chǎn)生的位移場，W(f2)為附加外力系f2(r″0,θ″0)在介質(zhì)Ⅱ中界面處任意一點(diǎn)產(chǎn)生的位移場。因此，含有待確定出平面力系的積分方程組如下：

G2(r″,β3;r″0,β3)]dr″0=[-W(Ⅰs)]θ″=β3

(11)

G2(r″,β2;r″0,β2)]dr″0=[-W(Ⅰs)]θ″=β2

(12)

式中：G1和G2介質(zhì)Ⅰ和介質(zhì)Ⅱ中的Green函數(shù)，其表達(dá)式參考式(1)和式(2)。同時，此積分方程組為第一類的Freholm積分方程組。

4地表位移

含有圓形夾雜的雙相介質(zhì)半空間在x″<0區(qū)間地表位移表達(dá)式可以表示如下：

(13)

式中：W(t1)=W(i,e)+W(r,e)+W(s)。

同時，在x″>0區(qū)間地表位移表達(dá)式可以表示如下：

(14)

式中：W(t2)=W(f,e)。

引入入射波波長λ，則入射波數(shù)η表達(dá)式為下：

(15)

5算例與討論

圖4　當(dāng)SH波水平入射時隨η的變化情況Fig.4 The variation of with η disturbed by SH wave horizontally

圖5　當(dāng)SH波斜入射時隨η的變化情況Fig.5 The variation of with η disturbed by SH wave obliquely

圖6　當(dāng)SH波水平入射時隨η的變化情況Fig.6 The variation of with η disturbed by SH wave horizontally

圖7　當(dāng)SH波水平入射時隨h/R的變化情況Fig.7 The variation of with h/R disturbed by SH wave horizontally

圖8　當(dāng)SH波水平入射時隨的變化情況Fig.8 The variation of with disturbed by SH wave horizontally

6結(jié)論

本文采用復(fù)變函數(shù)和Green函數(shù)方法，對雙相介質(zhì)界面附近含有圓形彈性夾雜的無限半空間在穩(wěn)態(tài)入射SH波作用下的地表運(yùn)動問題進(jìn)行研究。問題的求解過程中主要提出"鏡像"思想將1/4空間問題轉(zhuǎn)化為半空間問題，進(jìn)而獲得所需的Green函數(shù)以及散射波場位移表達(dá)式。最后通過計(jì)算地表位移幅值的算例結(jié)果可以得出：

(1) 當(dāng)入射波低頻入射(準(zhǔn)靜態(tài)情況，對應(yīng) )時，入射角度、入射波數(shù)以及圓形夾雜到雙相介質(zhì)界面距離或到半空間水平表面距離的影響并不大。

(2) 當(dāng)入射波頻率加大時，穩(wěn)態(tài)SH波水平入射時對應(yīng)的地表位移幅值高于穩(wěn)態(tài)SH波斜入射情形，地表位移幅值曲線震蕩劇烈，同時，圓形夾雜到雙相介質(zhì)界面距離或到半空間水平表面距離以及雙相介質(zhì)界面的存在均對地表位移幅值的分布有影響。

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SH waves scattered by a bi-material half space including circular inclusion and ground motion

YANGJie1,2,QIHui2(1. School of Mechanical Engineering, Shanghai Dianji University, Shanghai 200245, China;2.College of Aerospace and Civil Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)

Abstract:The analysis for problems of ground surface motion of an infinite half space including a circular elastic inclusion near bi-material interface under the action of steady incident SH waves was studied by using the methods of complex function and Green function. Firstly, Green function needed for the problem was constructed with the aid of the “imaging a point source load” method, it was an essential solution to displacement function for a quarter space under the action of a point source load at any point of its free surface. Secondly, a series of the first kind of Fredholm integral equations containing infinite unknown forces were established by using the technology of interfacial “conjunction” and the idea of “image”. Then the equations were solved with the aid of an effective truncation. Finally, some examples for the expressions of amplitude of ground surface displacement and its distribution were presented. Numerical examples demonstrated that the distribution of amplitude of ground surface displacement is influenced to a certain level by incident angle, incident wave numbers, distance between the circular inclusion and the free surface and distance between the circular inclusion and the bi-material interface and so on.

Key words:SH waves; bi-material half space; inclusion; image; amplitude of ground surface displacement

中圖分類號:O347.4；O348

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.07.031

收稿日期：2014-12-11修改稿收到日期：2015-04-17

基金項(xiàng)目：上海高校青年教師培養(yǎng)資助計(jì)劃項(xiàng)目資助(ZZSDJ13009)

第一作者 楊杰 女， 博士， 講師，1985年生