閆維明, 王　瑾, 賈　洪, 許維炳, 陳彥江

(1.北京工業(yè)大學(xué) 工程抗震與結(jié)構(gòu)診治北京市重點實驗室，北京　100124；2.中鐵建設(shè)集團有限公司, 北京　100040；3.中國建筑科學(xué)研究院 建筑工程檢測中心，北京　100013)

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調(diào)頻型顆粒阻尼器參數(shù)優(yōu)化方法及有效性評價

閆維明1, 王瑾1, 賈洪2, 許維炳3, 陳彥江1

(1.北京工業(yè)大學(xué) 工程抗震與結(jié)構(gòu)診治北京市重點實驗室，北京100124；2.中鐵建設(shè)集團有限公司, 北京100040；3.中國建筑科學(xué)研究院 建筑工程檢測中心，北京100013)

摘要：基于調(diào)頻型顆粒阻尼器(Tuned Particle Damper，TPD)的簡化線性分析模型-雙調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(Doubly Tuned Mass Damper，DTMD)模型建立了TPD的數(shù)值優(yōu)化方法，對TPD的參數(shù)進行了分析和優(yōu)化，建立了TPD的簡化非線性分析模型及其參數(shù)計算法，并利用該簡化非線性分析模型對上述TPD數(shù)值優(yōu)化法進行評價。理論和數(shù)值研究結(jié)果表明：與單TMD相比，TPD簡化線性分析模型-DTMD的減震頻帶更寬，控制效果的魯棒性更好。依據(jù)數(shù)值優(yōu)化方法得到的TPD具有良好的減震控制效果；TPD簡化非線性分析模型及其參數(shù)計算方法，可為顆粒阻尼器的應(yīng)用提供理論和數(shù)值分析指導(dǎo)。

關(guān)鍵詞：調(diào)頻型顆粒阻尼器；雙調(diào)諧質(zhì)量阻尼器；數(shù)值優(yōu)化；參數(shù)計算方法

顆粒阻尼技術(shù)發(fā)源于航空及機械振動控制領(lǐng)域，是一種將阻尼顆粒置于結(jié)構(gòu)腔體或附屬結(jié)構(gòu)腔體內(nèi)，通過顆粒與顆粒間、顆粒與腔體間的摩擦碰撞調(diào)諧并耗散結(jié)構(gòu)能量的被動減振控制技術(shù)[1-2]。該技術(shù)具有對結(jié)構(gòu)改動小，布置靈活，提供分布阻尼，造價低廉，無需維護和使用壽命長等優(yōu)點在航空及機械領(lǐng)域已有廣泛的研究[3-5]。鑒于其在航空、機械領(lǐng)域良好的減振降噪效果，近年來顆粒阻尼技術(shù)逐漸成為土木工程減震控制領(lǐng)域研究人員的研究對象。Papalou等[6]在寬帶隨機激勵下對填充鎢粉顆粒后單自由度結(jié)構(gòu)的反應(yīng)進行試驗研究，考慮附加質(zhì)量比，容器尺寸和激勵強度對控制效果的影響，并采用等效單元沖擊阻尼器進行模擬。研究中指出，當結(jié)構(gòu)振幅很小或質(zhì)量比很大且容器尺寸很小時，顆粒堆積在一起，限制了顆粒的運動，使得阻尼器減振效果變差。趙玲等[7-8]以柱式構(gòu)件為研究對象，通過自由振動試驗研究了填充率，質(zhì)量比，空腔形式，材料等因素對顆粒阻尼減震效果的影響。魯正等[9-10]利用數(shù)值仿真對顆粒阻尼器的性能進行研究，并提出了有效動量交換的概念，研究同樣發(fā)現(xiàn)對于小尺寸的容器，由于堆積作用，附加較多顆粒的阻尼器的結(jié)構(gòu)響應(yīng)大于附加較少顆粒的阻尼器的結(jié)構(gòu)響應(yīng)。魯正等[11-12]通過多自由度鋼框架試驗對緩沖型顆粒阻尼器的減振控制效果進行了試驗研究，并與剛性內(nèi)壁顆粒阻尼器進行對比。閆維明等[13-14]也對顆粒阻尼技術(shù)在建筑物減振控制方面的應(yīng)用進行了探索，建議在建筑結(jié)構(gòu)中可選擇的阻尼顆粒材料和可能的安裝位置，并通過試驗進行了研究。

由于顆粒在腔體內(nèi)的運動狀態(tài)顯著影響顆粒阻尼器的減震控制效果，為了彌補顆粒阻尼在微振動環(huán)境下控制效果較差的不足，閆維明等[15-17]借鑒調(diào)諧型質(zhì)量阻尼器和顆粒阻尼器的設(shè)計理論，提出了一種由阻尼器腔體(腔體尺寸：長度L，寬度D，高度H)，阻尼器與受控結(jié)構(gòu)的連接件(連接件三個方向剛度分別為kl,kt,kh)和阻尼顆粒三部分組成的新型的耗能減振裝置，調(diào)頻型顆粒阻尼器(Tuned Particle Damper，TPD)，見圖1(a)，建立了TPD的簡化設(shè)計方法，將簡化設(shè)計后的TPD應(yīng)用于某直線高架連續(xù)梁橋的振動臺試驗中，并利用簡化分析方法對TPD的減震控制效果進行數(shù)值模擬，理論、試驗和數(shù)值分析結(jié)果表明TPD具有良好的減震控制效果，激勵強度是影響TPD減震控制效果的關(guān)鍵因素。陳前等[18-19]通過理論和試驗研究方法對一種調(diào)頻型顆粒阻尼器(顆粒阻尼吸振器)進行了初步研究，指出調(diào)頻型顆粒阻尼器很好地彌補了顆粒阻尼在微振動環(huán)境下控制效果不佳的不足。戴靠山等[20]提出了一種調(diào)諧液體顆粒阻尼器，并將其應(yīng)用于新型風(fēng)電塔的減震控制中，指出該型阻尼器能有效減小結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)。

相對傳統(tǒng)剛性連接顆粒阻尼器，調(diào)頻型顆粒阻尼器(腔體與結(jié)構(gòu)柔性連接)在微振條件下的減振效果更好，其應(yīng)用前景更廣。但由于調(diào)頻型顆粒阻尼器減振控制效果的影響因素眾多，關(guān)于調(diào)頻型顆粒阻尼器的研究和應(yīng)用尚處于探索階段。本文擬基于TPD的簡化線性模型-雙調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(Doubly Tuned Mass Damper，DTMD)模型利用數(shù)值優(yōu)化方法對TPD進行參數(shù)優(yōu)化，并通過建立TPD的簡化非線性分析模型及其參數(shù)計算方法對上述數(shù)值優(yōu)化方法進行評價，為顆粒阻尼器在土木工程結(jié)構(gòu)振動控制領(lǐng)域的設(shè)計應(yīng)用提供理論和數(shù)值分析指導(dǎo)。

1簡化線性分析模型參數(shù)優(yōu)化方法

鑒于土木工程結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)幅值和頻率均較低，顆粒間、顆粒與腔體間的相對碰撞速度較小，碰撞耗能小于顆粒碰前動能的1%[21]。顆粒與腔體之間、顆粒與顆粒之間碰撞主要是彈性碰撞，碰撞耗散的系統(tǒng)能量可以忽略，碰撞主要使顆粒與腔體壁發(fā)生動量交換，調(diào)諧結(jié)構(gòu)能量。當顆粒與腔體壁不發(fā)生碰撞時，各單顆粒在相同的外部激勵下的加速度一致，即各單顆粒的運動狀態(tài)一致；而當顆粒與腔體壁發(fā)生碰撞時，碰撞是瞬時完成的，與腔體壁直接發(fā)生碰撞的顆粒會迅速將自身的運動狀態(tài)改變且傳遞給臨近的顆粒，因此顆粒群由于碰撞導(dǎo)致的運動狀態(tài)改變也是瞬時完成的[22]。為簡化分析過程，將顆粒與顆粒之間的相互作用視為內(nèi)力，此時TPD的力學(xué)模型可以簡化為圖1(b)所示的阻尼器。圖1(b)中，m2，m1分別為顆粒和腔體的質(zhì)量，c2為顆粒在腔體內(nèi)運動的等效阻尼系數(shù)，k2為顆粒在腔體內(nèi)運動的等效剛度(摩擦和碰撞)，k1為阻尼器腔體與結(jié)構(gòu)構(gòu)件之間的連接剛度。進一步可視為DTMD,見圖1(c)。

圖1　阻尼器模型Fig.1 Model of dampers

1.1TPD簡化線性分析模型DTMD-SDOF系統(tǒng)的動力反應(yīng)放大系數(shù)

(1)

式中：

設(shè)xj(t)=hj(ω)exp(iωt)，(j=0,1,2)，則有

(-ω2M+iωC+K)h(ω)=F0

(2)

其中，

(-A1+A2+A3)h(ω)=Δ

(3)

式中：

(4)

式中：

I0(μ,s)=s2μ1+s1μ2+s2μ2

I1(μ,s)=μ1s2+μ2s1+μ2s2+s0μ1μ2+s1μ1μ2

I2(μ,s)=s1s2+s0s2μ1+

s0s1μ2+s1s2μ1+s0s2μ2+s1s2μ2

1.2基于簡化線性模型的TPD參數(shù)優(yōu)化分析

當不考慮受控結(jié)構(gòu)阻尼時，若TPD簡化線性模型-DTMD系統(tǒng)上下兩層TMD均有阻尼，簡諧激勵作用下DTMD-SDOF系統(tǒng)的位移放大系數(shù)曲線不存在與阻尼比無關(guān)的理論定點，因此很難利用定點理論推導(dǎo)出DTMD的最優(yōu)設(shè)計參數(shù)?？赏ㄟ^給定最優(yōu)化目標函數(shù)，利用數(shù)值尋優(yōu)方法對DTMD進行優(yōu)化設(shè)計[23-26]。借鑒多重TMD的參數(shù)優(yōu)化方法，對于n重TMD控制下的單自由度結(jié)構(gòu)，主振動系統(tǒng)的位移響應(yīng)曲線上存在n+1個最大值Pmax(r)，則可利用這些峰值定義以下兩個評價函數(shù)[27]：

(5)

(6)

式中：I為使多重TMD控制下的單自由度結(jié)構(gòu)各個峰值偏差為最小的評價函數(shù)；J為抑制共振峰值的評價函數(shù)。

給定受控結(jié)構(gòu)阻尼比ξ0，DTMD總質(zhì)量比μ=μ1+μ2，DTMD下層TMD附加質(zhì)量比與上層TMD附加質(zhì)量比之比為μH，μH=μ1/μ2?？紤]到土木工程可用顆粒阻尼器參數(shù)范圍，分別選定μ∈[0.01,0.10]，μH∈[0.1,10]，μ2=μ/(1+μH)，λ∈[0.6,1.4]，λ1,λ2≥δ，ξ1,ξ2∈[0,1]，δ為計算機可識別的最小正數(shù)，防止優(yōu)化過程中出現(xiàn)奇異。待優(yōu)化的變量有：λ1，λ2，ξ1，ξ2，ξ0，λ,μH，μ，本文選取的優(yōu)化目標函數(shù)為使不同參數(shù)DTMD控制下的受控結(jié)構(gòu)位移動力放大系數(shù)曲線的位移峰值的兩個評價函數(shù)的和最小，即

Ζ(χ)=min(I+J)

(7)

由于影響DTMD-SDOF系統(tǒng)的參數(shù)很多，在各參數(shù)的全局范圍內(nèi)對各參數(shù)進行整體尋優(yōu)時會導(dǎo)致優(yōu)化時間過長，不利于簡化線性模型的實際應(yīng)用。為了減少分析耗時，分別給定受控結(jié)構(gòu)的阻尼比ξ0=0，ξ0=0.02(鋼結(jié)構(gòu))，ξ0=0.05(普通混凝土結(jié)構(gòu))，ξ0=0.10(普通混凝土結(jié)構(gòu)損傷后)，DTMD系統(tǒng)的總質(zhì)量比μ=0.01，μ=0.05，μ=0.10，DTMD下層TMD與上層TMD的質(zhì)量之比μH∈[0.10,0.30];[0.90,1.10];[3.00,3.20]，上層TMD的阻尼比ξ2∈[0.00;0.30]，下層TMD的阻尼比ξ1=0，ξ1=0.05，ξ1=0.10，DTMD上、下層TMD的自振頻率與受控結(jié)構(gòu)自振頻率之比λ1∈[0.10,0.40];[0.85,1.15];[3.00,3.30]，λ2∈[0.10,0.40];[0.85,1.15];[3.00,3.30]，激勵頻率與受控結(jié)構(gòu)基頻之比λ∈[0.6,1.4]。限于篇幅，僅給出了μH∈[0.10,0.30]時的分析結(jié)果。當受控結(jié)構(gòu)阻尼比較小時，圖2給出了數(shù)值尋優(yōu)得到的較優(yōu)DTMD控制下系統(tǒng)位移響應(yīng)隨激勵頻率與結(jié)構(gòu)基頻之比的變化曲線。

由圖2可知，通過本文介紹的數(shù)值優(yōu)化方法可知DTMD具有良好的減震控制效果。當結(jié)構(gòu)阻尼比ξ0為0或0.02時，隨著DTMD下層TMD的阻尼比增加，DTMD的控制效果的有效性和魯棒性均變差；隨著DTMD總質(zhì)量比的增加，DTMD的最優(yōu)參數(shù)控制效果的有效性和魯棒性均變好，實際應(yīng)用中可依據(jù)結(jié)構(gòu)的安全性和控制效果的魯棒性綜合選擇合適的DTMD優(yōu)化參數(shù)；受控結(jié)構(gòu)阻尼比的大小對DTMD的數(shù)值尋優(yōu)過程沒有影響，結(jié)構(gòu)阻尼比一方面影響DTMD的最優(yōu)參數(shù)值，另一方面影響DTMD-受控結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的位移響應(yīng)幅值，結(jié)構(gòu)阻尼比可以降低DTMD-受控結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)幅值。需要指出的是：由于所選參數(shù)范圍的限制(數(shù)值優(yōu)化分析時間的限制)，部分優(yōu)化參數(shù)并非最優(yōu)，例如圖2(c)中DTMD的總質(zhì)量比μ=0.05，ξ1=0.05時，數(shù)值優(yōu)化得到參數(shù)并未使DTMD位移放大系數(shù)隨頻率比變化曲線中各峰值幅值保持基本一致。當受控結(jié)構(gòu)阻尼比較大時，圖3給出了數(shù)值尋優(yōu)得到的較優(yōu)DTMD控制下系統(tǒng)位移響應(yīng)隨激勵頻率與結(jié)構(gòu)基頻之比的變化曲線。

(a) μ=0.01ξ0=0λ1=1.07λ2=1.08(b) μ=0.01ξ0=0.02λ1=1.15λ2=1.15(c) μ=0.05ξ0=0λ1=1.02λ2=0.90

(d) μ=0.05ξ0=0.02λ1=0.95λ2=0.84(e) μ=0.10ξ0=0λ1=1.03λ2=0.83(f) μ=0.10ξ0=0.02λ1=0.99λ2=0.84圖2 數(shù)值優(yōu)化結(jié)果Fig.2Numericaloptimizationresults

(a)μ=0.01ξ0=0.05λ1=0.91λ2=0.84(b)μ=0.01ξ0=0.10λ1=1.07λ2=1.15(c)μ=0.05ξ0=0.05λ1=1.01λ2=0.87

(d)μ=0.05ξ0=0.10λ1=0.98λ2=0.88(e)μ=0.10ξ0=0.05λ1=1.00λ2=0.78(f)μ=0.10ξ0=0.10λ1=0.97λ2=0.80圖3 數(shù)值優(yōu)化結(jié)果Fig.3Numericaloptimizationresults

由圖3可知，當結(jié)構(gòu)阻尼比ξ0為0.05或0.10時，通過本文介紹的數(shù)值優(yōu)化方法也可以得到控制效果較優(yōu)的DTMD。對比圖3和文獻[27]關(guān)于單TMD參數(shù)優(yōu)化及減振效果分析的相關(guān)結(jié)論可知：與單TMD相比，DTMD的減震頻帶更寬，控制效果的魯棒性更好。與結(jié)構(gòu)阻尼比較小時(ξ0≤0.02)不同，當DTMD總質(zhì)量比為0.01時，DTMD下層TMD具有一定的阻尼比時，DTMD的控制效果比下層TMD沒有阻尼時更優(yōu)；隨著受控結(jié)構(gòu)阻尼比的增加，下層TMD有無阻尼比對DTMD控制效果影響的敏感性較低，DTMD-受控結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的位移響應(yīng)幅值降低；由于所選參數(shù)范圍的限制，與結(jié)構(gòu)阻尼比較小時的數(shù)值優(yōu)化結(jié)果類似，部分優(yōu)化參數(shù)并非最優(yōu)參數(shù)。

2TPD簡化非線性分析模型

顆粒群初始沿腔體幾何中心均勻分布，除個別顆粒外，顆粒群聚在一起。外部簡諧激勵作用下，顆粒群的運動逐漸趨于穩(wěn)定狀態(tài)，此時顆?；狙丶畲怪狈较蚓鶆蚍植迹⒉紳M激勵垂直方向腔體長度。利用單顆粒模擬顆粒群的運動狀態(tài)和控制效果，需要滿足兩個條件：① 單顆粒與腔體壁和顆粒群與腔體壁之間的接觸力大小一致；② 顆粒與腔體壁之間發(fā)生摩擦和碰撞的轉(zhuǎn)化條件一致，即單顆粒與腔體壁之間和顆粒群與腔體壁的接觸狀態(tài)改變時間和改變條件一致。此時，調(diào)頻型顆粒阻尼器控制下的單自由度結(jié)構(gòu)簡化非線性分析模型(見圖4)。圖4中，下標0，1，2分別代表結(jié)構(gòu)，腔體和顆粒。

圖4　TPD-SDOF簡化非線性分析模型Fig.4 Simplified analysis model of TPD-SDOF system

圖5　TPD等效附加阻尼計算簡圖Fig.5 Schematic diagram of TPD’s equivalent additional damping effect

(8)

式中：c2為顆粒在腔體內(nèi)運動的等效阻尼系數(shù)，k2為顆粒在腔體內(nèi)運動的等效剛度。阻尼系數(shù)為c2的線性黏滯阻尼器在一個周期內(nèi)的耗能為[28]：

(9)

設(shè)顆粒與腔體壁之間的摩擦系數(shù)為μep，顆粒在一個周期內(nèi)耗能可由下式計算：

(10)

聯(lián)立式(9)和式(10)，則若由顆粒與腔體壁之間的摩擦來提供阻尼比ξ2，顆粒與腔體之間的摩擦系數(shù)需滿足：

(11)

將式(8)代入式(11)得

(12)

則DTMD優(yōu)化參數(shù)下調(diào)頻型顆粒阻尼器中顆粒與腔體壁之間的摩擦系數(shù)μep=0.724。需要指出的是，顆粒阻尼器的相關(guān)數(shù)值模擬研究結(jié)果表明：在簡諧激勵荷載作用下，顆粒與腔體壁發(fā)生碰撞后，摩擦系數(shù)對顆粒阻尼器性能的影響不顯著[29]。

3基于簡化非線性模型的TPD數(shù)值優(yōu)化方法評價

根據(jù)DTMD優(yōu)化設(shè)計理論得到的較優(yōu)TPD非線性模型參數(shù)，利用MATLAB編程建立調(diào)頻型顆粒阻尼器的數(shù)值分析模型。圖6給出了簡諧激勵下，依據(jù)DTMD優(yōu)化設(shè)計方法得到的TPD對單自由度結(jié)構(gòu)的控制效果。

圖6　優(yōu)化后TPD控制效果Fig. 6 Control effect of TPD after optimization

由圖6可知，簡諧激勵下，根據(jù)數(shù)值優(yōu)化理論設(shè)計的TPD對單自由度結(jié)構(gòu)具有良好的控制效果。為了進一步驗證TPD數(shù)值優(yōu)化理論的有效性，分別輸入Ⅰ類場地CPM090波、El-Centro波、Taft波和寧河波對TPD-SDOF簡化非線性分析模型進行分析。圖7給出了不同場地波作用下，依據(jù)DTMD優(yōu)化設(shè)計理論得到的單顆粒TPD-SDOF系統(tǒng)的動力響應(yīng)對比。

圖7　不同場地波作用下，優(yōu)化后TPD的減震控制效果Fig.7 Control effect of TPD after optimization under different waves excitation at different site conditions

由圖7可知，不同場地地震波作用下，依據(jù)DTMD優(yōu)化設(shè)計理論得到的TPD對單自由度結(jié)構(gòu)均具有良好的減震控制效果，依據(jù)本文介紹的DTMD優(yōu)化設(shè)計理論及相應(yīng)的TPD優(yōu)化參數(shù)計算方法可以獲得較好的TPD優(yōu)化參數(shù)，可為TPD在土木工程領(lǐng)域的應(yīng)用提供理論和數(shù)值分析基礎(chǔ)。

4結(jié)論

基于調(diào)頻型顆粒阻尼器(TPD)的簡化力學(xué)模型—雙調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(DTMD)模型對TPD在土木工程結(jié)構(gòu)領(lǐng)域的優(yōu)化設(shè)計方法進行了研究。通過建立簡諧激勵下DTMD-單自由度結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的運動方程，推導(dǎo)出了DTMD控制下系統(tǒng)的位移響應(yīng)動力放大系數(shù)，并采用數(shù)值優(yōu)化方法對DTMD進行了參數(shù)分析。最后建立了考慮顆粒與容器壁碰撞的簡化非線性模型，對數(shù)值優(yōu)化方法的有效性進行了評價。結(jié)果表明：

(1) 簡諧激勵下雙調(diào)諧質(zhì)量阻尼器-單自由度結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的運動方程描述了調(diào)頻型顆粒阻尼器對受控結(jié)構(gòu)的控制過程，DTMD-SDOF系統(tǒng)的位移響應(yīng)動力放大系數(shù)方程為TPD的優(yōu)化設(shè)計提供了一定的理論基礎(chǔ)；

(2) 數(shù)值優(yōu)化方法可以得到具有較優(yōu)減震控制效果的DTMD，優(yōu)化設(shè)計后的DTMD具有良好的控制效果，與單TMD相比，DTMD的減震頻帶更寬，控制效果的魯棒性更好；

(3) 不同場地地震波作用下，依據(jù)數(shù)值優(yōu)化方法得到的TPD對單自由度結(jié)構(gòu)均具有良好的減震控制效果。

參 考 文 獻

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Parameter optimization method for tuned particle dampers and its effectiveness evaluation

YANWei-ming1,WANGJin1,JIAHong2,XUWei-bing3,CHENYan-jiang1(1. Beijing Municipal Key Laboratory of Earthquake Engineering and Structural Retrofit, Beijing University of Technology, Beijing 100024, China;2. Zhong Tie Construction Group Corporation Limited, Beijing 100040, China;3. Construction Engineering Testing Center, China Academy of Building Research, Beijing 100013, China)

Abstract:Based on a tuned particle damper (TPD)’s simplified linear model-doubly tuned mass damper (DTMD), the numerical optimization method of TPD was established, TPD’s parametric analysis and optimization were conducted. Then, a TPD’s simplified nonlinear analysis model and its parameter calculation method were established. According to the simplified nonlinear model, the effectiveness of the above numerical optimization method of TPD was evaluated. Theoretical and numerical analysis results showed that TPD’s simplified linear model-DTMD has a wider anti-vibration frequency bandwidth and a better robustness compared with a single TMD; the optimized TPD obtained with the numerical optimization method has a good control effect; TPD’s simplified nonlinear model and its parametric calculation method can provide theoretical and numerical analysis guidances for the application of particle dampers.

Key words:tuned particle damper; doubly tuned mass dampers; numerical optimization; parametric calculation method

中圖分類號:TU352.1

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.07.022

通信作者王瑾 女，博士生，1987年生

收稿日期：2015-01-07修改稿收到日期：2015-03-26

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目(91315301-03;51378039;51378037); 北京市教育委員委員會科技計劃重點項目(KZ200910005002);高等學(xué)校博士學(xué)科點專項科研基金項目(20111103110015)

第一作者 閆維明 男，博士，教授，1960年生