王旭鵬, 劉　更, 馬尚君

(1.西北工業(yè)大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，西安　710072; 2.慶安集團(tuán)有限公司航空設(shè)備研究所，西安　710077)

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含間隙運(yùn)動(dòng)副機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性研究

王旭鵬1,2, 劉更1, 馬尚君1

(1.西北工業(yè)大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，西安710072; 2.慶安集團(tuán)有限公司航空設(shè)備研究所，西安710077)

摘要：為了研究含間隙運(yùn)動(dòng)副機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性的影響，綜合考慮轉(zhuǎn)動(dòng)副軸向尺寸、材料非線性系數(shù)以及碰撞過程能量損耗等因素，建立了一種改進(jìn)的非線性接觸碰撞力模型，同時(shí)提出了一種用于描述間隙處摩擦作用修正的庫(kù)倫摩擦模型。以曲柄滑塊機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象，將上述接觸碰撞力模型和摩擦力模型嵌入系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型中，進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真分析，研究不同間隙、驅(qū)動(dòng)載荷及摩擦系數(shù)對(duì)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的影響，并將仿真結(jié)果與試驗(yàn)測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比分析。結(jié)果表明：基于改進(jìn)的非線性接觸碰撞力模型、修正的庫(kù)倫摩擦力模型仿真計(jì)算結(jié)果，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好，能夠準(zhǔn)確、有效地描述含間隙運(yùn)動(dòng)副機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性。

關(guān)鍵詞：運(yùn)動(dòng)副間隙；接觸碰撞力模型；摩擦力模型；動(dòng)力學(xué)特性

傳統(tǒng)方法在進(jìn)行多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析時(shí)，往往對(duì)運(yùn)動(dòng)副機(jī)構(gòu)進(jìn)行了理想化處理，忽略了間隙、變形、磨損以及潤(rùn)滑等因素的影響。然而，運(yùn)動(dòng)副機(jī)構(gòu)間隙不可避免[1]；且導(dǎo)致運(yùn)動(dòng)副機(jī)構(gòu)運(yùn)行過程中產(chǎn)生間隙碰撞力，不僅消耗動(dòng)力，同時(shí)引起振動(dòng)、噪聲及磨損，進(jìn)而影響整個(gè)機(jī)構(gòu)乃至系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)輸出。

在含間隙運(yùn)動(dòng)副機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)研究方面，Paulo Flores[2-3]分析了間隙值、間隙數(shù)量等參數(shù)對(duì)曲柄滑塊機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性及混沌現(xiàn)象的影響；郝雪清等[4]研究了不同運(yùn)動(dòng)副材料對(duì)間隙機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的影響；Zhao等[5]進(jìn)行了含運(yùn)動(dòng)副間隙空間機(jī)器人的動(dòng)態(tài)特性研究；Liu等[6]用有限元法，建立了含間隙軸-軸承碰撞時(shí)碰撞點(diǎn)處彈性力-位移間關(guān)系的近似計(jì)算法；白爭(zhēng)鋒等[7]在Liu的基礎(chǔ)上，提出了一種改進(jìn)的間隙非線性連續(xù)接觸碰撞力混合模型，進(jìn)行了四桿機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性研究；Koshy等[8]研究者通過數(shù)值仿真與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證相結(jié)合的方式，研究了無潤(rùn)滑時(shí)含間隙曲柄滑塊機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)副間隙處的碰撞力特性。

本文以含間隙轉(zhuǎn)動(dòng)副為研究對(duì)象，在對(duì)現(xiàn)有的非線性接觸碰撞力模型分析的基礎(chǔ)上，引入了間隙轉(zhuǎn)動(dòng)副軸向尺寸，建立了一種改進(jìn)的碰撞力模型，同時(shí)提出了一種修正的庫(kù)倫摩擦模型用于描述間隙處的摩擦作用。以含間隙曲柄滑塊機(jī)構(gòu)為例，將仿真結(jié)果與文獻(xiàn)[3]實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了本文模型的正確性，在此基礎(chǔ)上，研究了轉(zhuǎn)動(dòng)副間隙尺寸、驅(qū)動(dòng)載荷及摩擦系數(shù)對(duì)多體系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響規(guī)律。

1含間隙運(yùn)動(dòng)副模型

對(duì)含間隙運(yùn)動(dòng)副的機(jī)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)特性研究的前提是建立系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，即如何準(zhǔn)確的描述并將間隙模型引入系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，進(jìn)而建立含間隙的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型。

1.1含間隙運(yùn)動(dòng)副矢量模型

目前研究較多的是含間隙的平面轉(zhuǎn)動(dòng)副，對(duì)其建模方式主要有以下三種：無質(zhì)量桿模型、彈簧阻尼模型及碰撞鉸模型,前兩種建模方式是將間隙進(jìn)行等效替換，并盡可能模擬其特性，屬于等效建模方法；第三種方法將接觸體的彈性變形用函數(shù)方式表達(dá)，并且考慮了碰撞過程的能量傳遞，相比前兩種方法更準(zhǔn)確。

由圖1可知，軸與軸承間的間隙定義為：

c=Ri-Rj

(1)

式中：Ri、Rj分別為軸和軸承的半徑。

圖1　含間隙轉(zhuǎn)動(dòng)副示意圖Fig.1 Revolute joint with clearance

(2)

則間隙值可以表示為：

(3)

發(fā)生碰撞時(shí)，軸與軸承間的彈性變形量為：

δ=eij-c

(4)

由式(4)可知，當(dāng)δ≥0時(shí)，表示軸與軸承發(fā)生碰撞。

同時(shí)，碰撞時(shí)軸承接觸點(diǎn)處的法向和切向速度可表示為

(5)

圖2　含間隙轉(zhuǎn)動(dòng)副碰撞示意圖Fig.2 Revolute joint clearance with contact

1.2改進(jìn)的含間隙運(yùn)動(dòng)副法向碰撞力模型

含間隙轉(zhuǎn)動(dòng)副處的接觸力由法向碰撞力FN和切向摩擦力FT組成。因此，準(zhǔn)確描述并定義間隙轉(zhuǎn)動(dòng)副處的法向碰撞力模型和切向摩擦力模型，是進(jìn)行含間隙多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性研究的基礎(chǔ)和關(guān)鍵所在。通常，接觸力可表示為[9]

FC=FN+FT

(6)

在Hertz接觸力的基礎(chǔ)上，國(guó)內(nèi)外研究者建立了不同的法向碰撞力模型[10-12]，用來描述碰撞過程的能量損耗。其中，Lankarani-Nikravesh建立的法向碰撞力模型能夠反映碰撞過程的能量損耗，并且考慮了碰撞體的材料特性、彈性變形、碰撞速度以及恢復(fù)系數(shù)等因素，為目前國(guó)內(nèi)外應(yīng)用最廣泛的碰撞力求解模型；但是，Lankarani-Nikravesh模型僅適用于大間隙、小載荷的情況，且僅當(dāng)恢復(fù)系數(shù)>0.75時(shí)，碰撞后速度誤差<10%，能量損耗誤差<25%。文獻(xiàn)[6]在Hertz理論的基礎(chǔ)上，提出了一種新的計(jì)算軸-軸承碰撞時(shí)變形截面內(nèi)、某瞬時(shí)碰撞點(diǎn)處彈性力-位移間關(guān)系的近似計(jì)算方法，通過與有限元計(jì)算結(jié)果對(duì)比發(fā)現(xiàn)，新模型比Hertz模型和Persson模型具有更高的計(jì)算精度和適用范圍，不僅適用于大間隙、小載荷工況，同時(shí)也適應(yīng)于小間隙、大載荷工況，其計(jì)算公式為：

(7)

式中：E*表示等效彈性模量。

但是，該計(jì)算模型沒有考慮碰撞過程的能量損耗，同時(shí)，無法準(zhǔn)確描述材料的非線性系數(shù)變化對(duì)法向碰撞力的影響。本文在該計(jì)算模型的基礎(chǔ)上，引入了軸承軸向尺寸和材料的非線性系數(shù)，同時(shí)，考慮碰撞過程能量損耗，建立了一種改進(jìn)的非線性接觸碰撞力模型，其表達(dá)式為：

FNimp=FKimp+FDimp=

(8)

式中：L為軸承軸向尺寸，Dimp為碰撞過程阻尼系數(shù)，其表達(dá)式為[13]：

Dimp=Step(δ,0,0,δmax,Dmax)=

(9)

通常，δmax取0.1 mm，同時(shí)，最大阻尼系數(shù)為等效剛度系數(shù)的比例函數(shù)，即

Dmax=ηKN

(10)

式中：比例系數(shù)η取1‰～1%[13]，同時(shí)，本文在假設(shè)碰撞過程整個(gè)變形截面內(nèi)各點(diǎn)處受力均勻的基礎(chǔ)上，基于文獻(xiàn)[6]中某瞬時(shí)碰撞點(diǎn)處碰撞力與彈性變形位移之間的關(guān)系，提出了非線性剛度系數(shù)KN，該剛度系數(shù)即為碰撞時(shí)，變形截面內(nèi)某瞬時(shí)碰撞點(diǎn)處彈性力-位移間關(guān)系曲線的斜率之和，其表達(dá)式為：

(11)

非線性剛度系數(shù)隨間隙值c和碰撞變形量δ的變化(見圖3)。

圖3　非線性剛度系數(shù)隨間隙和碰撞變形量變化關(guān)系圖Fig.3 Nonlinear coefficient of contact stiffness varying with clearance and penetration

1.3修正的含間隙運(yùn)動(dòng)副切向摩擦力模型

在求解含間隙轉(zhuǎn)動(dòng)副處的切向摩擦力FT時(shí)，應(yīng)用最廣泛的是Coulomb摩擦力模型。但是，該模型沒有考慮碰撞過程切向速度對(duì)切向摩擦力FT的影響，因而無法處理數(shù)值計(jì)算時(shí)由不同切向速度產(chǎn)生的不同摩擦狀態(tài)間的轉(zhuǎn)換問題[14]。為了更準(zhǔn)確地描述間隙轉(zhuǎn)動(dòng)副處的切向摩擦力FT，DubowskyRooney和 Deravi[15]及Bhalerao和Issac[16]等對(duì)Coulomb摩擦力模型進(jìn)行各種改進(jìn)，建立了不同的摩擦力模型，用來解決接觸碰撞過程中摩擦力的連續(xù)問題和摩擦狀態(tài)的轉(zhuǎn)換問題。

(12)

μ(vT)=

圖4　摩擦系數(shù)隨切向速度變化示意圖Fig.4 Coefficient of friction varying with slip velocity

2含間隙運(yùn)動(dòng)副機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性分析

2.1機(jī)構(gòu)幾何及質(zhì)量特性參數(shù)

曲柄滑塊機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖見圖5，為了與文獻(xiàn)[3]中實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，機(jī)構(gòu)幾何參數(shù)和質(zhì)量特性參數(shù)均與文獻(xiàn)[3]保持一致(見表1)，動(dòng)力學(xué)仿真參數(shù)(見表2)。假設(shè)連桿與滑塊間為間隙鉸鏈連接，曲柄與支座、曲柄與連桿間為理想鉸鏈連接；仿真初始狀態(tài)曲柄的初始角度和角速度均為0；為了消除初始狀態(tài)對(duì)間隙機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性的影響，仿真中分析數(shù)據(jù)取機(jī)構(gòu)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)后、滑塊完成2個(gè)周期運(yùn)動(dòng)過程中加速度的變化值。

圖5　含間隙曲柄滑塊機(jī)構(gòu)Fig.5 Slider-crank mechanism with a revolute clearance

2.2不同間隙值下的仿真與分析

取曲柄轉(zhuǎn)速為200 r/min，設(shè)置間隙分別為0.1 mm、0.25 mm、0.5 mm及1mm，進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真計(jì)算，輸出滑塊質(zhì)心加速度曲線，并與文獻(xiàn)[3]中對(duì)應(yīng)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比分析，仿真結(jié)果見圖6。

表1　機(jī)構(gòu)幾何參數(shù)和質(zhì)量特性參數(shù)[3]

表2　動(dòng)力學(xué)仿真參數(shù)

圖6　不同間隙值下的滑塊加速度值：a,c,e,g為本文仿真結(jié)果，b,d,f,h為文獻(xiàn)[3]中的實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.6 Simulation results with different clearance size: a, c, e, and g are the results of simulation, b, d, f, and h are the results of the reference [3]

通過對(duì)圖6中不同間隙值下滑塊加速度的仿真數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的對(duì)比分析，可得：① 基于本文中改進(jìn)的非線性接觸碰撞力模型、修正的庫(kù)倫摩擦力模型仿真計(jì)算結(jié)果，與文獻(xiàn)[3]中的實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好，能夠準(zhǔn)確、有效地描述間隙值對(duì)機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性的影響；② 由于鉸鏈處存在間隙，使得滑塊加速度曲線較理想的加速度曲線出現(xiàn)明顯振蕩，且間隙值越大，振蕩幅值越大。

2.3不同驅(qū)動(dòng)載荷下的仿真與分析

取間隙值為0.25 mm，轉(zhuǎn)速分別為100 r/min、150 r/min、200 r/min及250 r/min，進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真計(jì)算，輸出滑塊質(zhì)心加速度曲線，并與文獻(xiàn)[3]中對(duì)應(yīng)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比分析，仿真結(jié)果見圖7。

通過圖7中不同轉(zhuǎn)速下滑塊加速度的仿真數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的對(duì)比分析，可得：① 定間隙值、不同轉(zhuǎn)速下，本文中改進(jìn)的非線性接觸碰撞力模型、修正的庫(kù)倫摩擦力模型仿真結(jié)果同樣與文獻(xiàn)[3]實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好；② 在固定的間隙值和摩擦系數(shù)下，隨著轉(zhuǎn)速的增大，滑塊加速度曲線繞理想加速度曲線的振蕩幅值增大。

2.4不同摩擦系數(shù)下的仿真與分析

假設(shè)轉(zhuǎn)速為200 r/min，間隙為0.25 mm，進(jìn)行不同摩擦系數(shù)下的動(dòng)力學(xué)仿真計(jì)算，摩擦系數(shù)參數(shù)見表3，仿真結(jié)果見圖8。

圖7　不同轉(zhuǎn)速下的滑塊加速度值：a,c,e,g為本文仿真結(jié)果，b,d,f,h為文獻(xiàn)[3]中的實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.7 Simulation results with different crank speed values: a, c, e, and g are the results of simulation, b, d, f, and h are the results of the reference [3]

項(xiàng)目μsμd不考慮摩擦——有潤(rùn)滑0.080.05無潤(rùn)滑0.30.25

分析圖8中不同摩擦系數(shù)下曲柄加速度數(shù)據(jù)可知：隨著間隙鉸鏈處摩擦系數(shù)的增大，加速度振蕩減弱，

這是因?yàn)槟Σ磷枘岬拇嬖冢斐上到y(tǒng)能量損耗，抑制了碰撞力的影響，因此選擇適當(dāng)?shù)臐?rùn)滑方式有助于改善間隙機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性。

上述仿真數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)在局部位置處出現(xiàn)偏差的原因主要為：① 仿真模型忽略了鉸鏈柔性、滑塊與臺(tái)架間的摩擦及桿件的彈性變形；② 仿真模型忽略了曲柄與臺(tái)架、曲柄與連桿間的軸承間隙和碰撞，以及滑塊與軌道間的間隙和碰撞；此外，實(shí)驗(yàn)中應(yīng)考慮軸與軸承對(duì)準(zhǔn)偏差、測(cè)量誤差等影響因素。

(a) μs=0,μd=0(b) μs=0.08,μd=0.05(c) μs=0.3,μd=0.25圖8 不同摩擦系數(shù)下的滑塊加速度值Fig.8Simulationresultswithdifferentcoefficientsoffriction

綜合分析上述不同參數(shù)下的仿真結(jié)果，可知：① 基于本文中改進(jìn)的非線性接觸碰撞力模型、修正的庫(kù)倫摩擦力模型仿真計(jì)算結(jié)果，與文獻(xiàn)[3]中的實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好，能夠準(zhǔn)確、有效地描述間隙值對(duì)機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性的影響，驗(yàn)證了本文碰撞模型的正確性；② 運(yùn)動(dòng)副間隙對(duì)機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性影響較大，考慮運(yùn)動(dòng)副間隙時(shí)，滑塊加速度曲線呈現(xiàn)明顯的振蕩現(xiàn)象，且間隙值越大，振蕩越明顯；③ 在相同的運(yùn)動(dòng)副間隙值和摩擦系數(shù)下，驅(qū)動(dòng)載荷越大，滑塊加速度曲線振蕩越劇烈；④ 在固定的間隙值和驅(qū)動(dòng)載荷下，摩擦系數(shù)越小，滑塊加速度曲線振蕩越明顯。

3結(jié)論

為了研究間隙運(yùn)動(dòng)副對(duì)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的影響，本文在綜合考慮轉(zhuǎn)動(dòng)副軸向尺寸、材料非線性以及碰撞過程的能量損耗等因素的基礎(chǔ)上，建立了一種改進(jìn)的接觸碰撞力模型；同時(shí)，引入了一種修正的庫(kù)倫摩擦力模型，以含間隙轉(zhuǎn)動(dòng)副曲柄滑塊機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象，建立了系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型并進(jìn)行不同間隙、不同驅(qū)動(dòng)載荷以及不同摩擦系數(shù)下的數(shù)值仿真計(jì)算，并將仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比分析。

研究結(jié)果表明：① 間隙運(yùn)動(dòng)副的存在對(duì)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性產(chǎn)生明顯的影響，由于間隙處軸與軸承間的碰撞力作用，使得機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)輸出較其理想值有明顯的振蕩，且間隙值越大，振蕩幅值越大；② 即使間隙運(yùn)動(dòng)副處的材料參數(shù)和間隙值唯一確定，其碰撞力仍受驅(qū)動(dòng)載荷、摩擦系數(shù)等諸多因素的影響，從而導(dǎo)致機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性出現(xiàn)明顯波動(dòng)，表現(xiàn)為驅(qū)動(dòng)載荷越大，摩擦系數(shù)越小，機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)振蕩越明顯；③ 在機(jī)構(gòu)實(shí)際設(shè)計(jì)中，應(yīng)在滿足設(shè)計(jì)、加工、裝配要求的前提下，合理地選擇間隙副材料、間隙值、驅(qū)動(dòng)載荷以及潤(rùn)滑方式。④ 本文中改進(jìn)的接觸碰撞力模型和修正的庫(kù)倫摩擦力模型能夠準(zhǔn)確地描述含間隙機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性，為工程應(yīng)用提供了一種有效的方法。

參 考 文 獻(xiàn)

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Dynamic characteristics of mechanisms with revolute clearance joints

WANGXu-peng1,2,LIUGeng1,MAShang-jun1(1. School of Mechatronic Engineering, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China;2. The Aviation Equipment Research Institute, Qing’An Group Co, Xi’an 710077, China)

Abstract:In order to study the dynamic characteristics of mechanisms with revolute clearance joints, an improved nonlinear contact impact face model was established here, the axial dimension was introduced into the model, and the friction force in clearance joints was described using a modified Coulomb friction model. As an example, a slider-crank mechanism was taken as a study object, the two models mentioned above were introduced into the system’s dynamic equations. The effects of clearance, driving load and friction coefficient on the dynamic characteristics of the mechanism were analyzed with simulations. The simulated results were compared with those of tests. The results showed that the simulation results agree well with the test ones, the two models can accurately and effectively describe the dynamic characteristics of mechanisms with revolute clearance joints.

Key words:revolute clearance joint; contact force model; friction model; dynamic characteristics

中圖分類號(hào):TH112

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.07.017

通信作者劉更 男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，1961年生

收稿日期：2014-10-22修改稿收到日期：2015-01-07

基金項(xiàng)目：教育部高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金(20126102110019)；高等學(xué)校學(xué)科創(chuàng)新引智計(jì)劃(B13044)

第一作者 王旭鵬 男，博士生，高級(jí)工程師，1981年生