王益鶴， 楊　娜

(北京交通大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，北京　100044)

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新型雙足模型下結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)分析

王益鶴， 楊娜

(北京交通大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，北京100044)

摘要：基于考慮人體動(dòng)力特性的新型雙足模型，采用Lagrange方程建立了步行過(guò)程中人與結(jié)構(gòu)相互作用系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程。研究了人與結(jié)構(gòu)各自的動(dòng)力響應(yīng)及其之間相互作用，并通過(guò)對(duì)比說(shuō)明了新型雙足模型反映的人體動(dòng)力特性對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)的影響。結(jié)果表明：人與結(jié)構(gòu)相互作用增大結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)；行人經(jīng)過(guò)結(jié)構(gòu)各階模態(tài)振型波峰時(shí)，結(jié)構(gòu)各階模態(tài)頻率和阻尼比分別達(dá)到最小值和最大值。

關(guān)鍵詞：振動(dòng)；雙足模型；人與結(jié)構(gòu)相互作用；動(dòng)力特性

在土木工程領(lǐng)域，人行激勵(lì)下的結(jié)構(gòu)振動(dòng)問(wèn)題尤其是人與結(jié)構(gòu)相互作用問(wèn)題，越來(lái)越受到人們的關(guān)注[1-2]。如設(shè)計(jì)不當(dāng)，結(jié)構(gòu)會(huì)在人群行走、跑步等運(yùn)動(dòng)下出現(xiàn)較大的振動(dòng)響應(yīng)，導(dǎo)致其舒適性和安全性下降。

眾多學(xué)者建立了各種數(shù)學(xué)模型描述人行激勵(lì)。其中最常見(jiàn)的是用傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)為靜載荷與幾個(gè)簡(jiǎn)諧動(dòng)載荷之和的確定性模型[3-4]。然而這種方式僅僅把人看作移動(dòng)載荷，忽略了人作為獨(dú)立的動(dòng)力體系這一特性，未考慮人與結(jié)構(gòu)相互作用，預(yù)測(cè)具有輕質(zhì)、低頻等特點(diǎn)的柔性結(jié)構(gòu)振動(dòng)時(shí)，不僅結(jié)果有所偏差，且無(wú)法研究人體對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)的反應(yīng)和舒適情況。

考慮人體動(dòng)力特性的生物模型開(kāi)始應(yīng)用于人與結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。人體被簡(jiǎn)化為不同自由度的剛度、質(zhì)量和阻尼體系(Spring Mass Damper,SMD)[5-7]。進(jìn)一步研究表明[8-9]，雙自由度(2 Degree of Freedom,2-DOF)的SMD模型較之單自由度(Single Degree of Freedom,SDOF)SMD模型，能更好的描述人體振動(dòng)特性。而自由度更高的模型則用來(lái)研究振動(dòng)在人體不同部位的精細(xì)傳遞過(guò)程，不適用于人與結(jié)構(gòu)相互作用[10]。Kim等[11]也采用ISO 5982[12]的2-DOF人體模型分析人行橋的豎向振動(dòng)問(wèn)題。然而SMD模型僅能表示人體的豎向運(yùn)動(dòng)，無(wú)法反映人體步態(tài)尤其是行人步行中雙足支撐階段時(shí)的特性。故其不能很好的理解結(jié)構(gòu)振動(dòng)對(duì)人體動(dòng)載荷的改變。Geyer等[13]提出用雙足模型模擬人體的步行運(yùn)動(dòng)，后來(lái)一些研究人員[14-15]也對(duì)雙足模型進(jìn)行了分析，但均將人身體表示為質(zhì)心，忽略了2-DOF人體模型所精確描述的人體動(dòng)力特性，不能全面考慮人體對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)的影響。

本文綜合考慮ISO 5982的2-DOF模型描述的人體動(dòng)力特性及雙足模型的雙足步行特點(diǎn)，建立了新型雙足步行模型。分別對(duì)人與結(jié)構(gòu)相互作用系統(tǒng)中的人和結(jié)構(gòu)進(jìn)行了動(dòng)力分析，并研究了新型雙足步行模型中人體動(dòng)力特性對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的影響。

1人與結(jié)構(gòu)相互作用系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程

新型雙足模型采用ISO 5982模型表示身體，人體質(zhì)量等效為質(zhì)量m1和m2，身體剛度為k1，阻尼為c1，長(zhǎng)度為lb；腿部由兩個(gè)無(wú)質(zhì)量的等長(zhǎng)彈簧和阻尼表示的體系構(gòu)成，其彈簧剛度為k1eg，阻尼為cleg，長(zhǎng)度為l0(見(jiàn)圖1)。

圖1　新型雙足模型步行原理圖Fig.1 Schematic of the new bipedal model

采用Lagrange方程建立人與結(jié)構(gòu)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程，人行橋由Euler-Bernoulli簡(jiǎn)支梁表示。系統(tǒng)模型(見(jiàn)圖2)。在雙足支撐階段，人與結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能分別表示為：

圖2　人與結(jié)構(gòu)相互作用系統(tǒng)模型Fig.2 Modal of human-structure interaction system

(1)

(2)

式中：z1、z2和u分別為人體m1和m2的垂直位移和水平位移;Ll和Lt分別為支撐腿和隨動(dòng)腿彈簧長(zhǎng)度;y為梁的垂直位移，y″(x,t)為曲率;m為單位長(zhǎng)度梁質(zhì)量;E為彈性模量;g為重力加速度。

梁的垂直位移由振型疊加法可表示為：

(3)

式中：{φi(x),i=1,2,…,n}為梁的振型;{Yi(t),i=1,2,…,n}為廣義坐標(biāo)。

人與結(jié)構(gòu)系統(tǒng)虛功的變分δW可表示為：

F1δz1+F2δz2+F3δu

(4)

式中：cl、ct和cs分別為支撐腿、隨動(dòng)腿和結(jié)構(gòu)的阻尼；vl和vt為兩腿的軸向速度；δ(ΔLl)和δ(ΔLt) 為兩腿的虛變形;{δYi,i=1,2,…,n}為梁的虛位移；δy″為梁曲率的變分；Q1,Q2,…，Qn,F1,F2,F3為對(duì)應(yīng)廣義坐標(biāo){Y1,Y2,…，Yn,z1,z2,u}的廣義力。

支撐腿長(zhǎng)度和隨動(dòng)腿長(zhǎng)度分別由其相對(duì)位置，可表示為：

(5)

支撐腿和隨動(dòng)腿的軸向速度，可由m2與前后落腳點(diǎn)位置的相對(duì)豎向速度和及其水平速度合成得出，

(6)

式中：θl,θt分別為支撐腿和隨動(dòng)腿與地面的夾角。

同理，支撐腿和隨動(dòng)腿的位移變分，也可根據(jù)相對(duì)位移關(guān)系合成得出，

將式(3)和式(5)分別代入式(1)和式(2)，可得：

(8)

(9)

將式(3)、式(6)和式(7)分別代入到式(4)中，虛功變分δW可表示為，

(10)

對(duì)比式 (4)和式 (10)，廣義力表示為：

(11)

系統(tǒng)Lagrange方程可以表示為：

(12)

把動(dòng)能、勢(shì)能和廣義力的表達(dá)式代入Lagrange方程，人與結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程表示為：

(13)

(14a)

(14b)

(14c)

(14d)

式中:

ci,i=2ξiwiMi+clsin2θlφi,i(N)+ctsin2θtφi,i(N-1),(i=1,2,…,n)

ci,j=clsin2θlφi,j(N)+ctsin2θtφi,j(N-1),(i≠j≤n)

ci,n+2=-clsin2θlφi(N)-ctsin2θtφi(N-1),(i=1,2,…,n)

ci,n+3=clsinθlcosθlφi(N)-ctsinθtcosθtφi(N-1),(i=1,2,…,n)

cn+2,i=-clsin2θlφi(N)-ctsin2θtφi(N-1),(i=1,2,…,n)

cn+3,i=clsinθlcosθlφi(N)-ctsinθtcosθtφi(N-1),(i=1,2,…,n)

φi,j(N)=φi(N)φj(N),φi(N)=

(15)

上述分析過(guò)程針對(duì)雙足支撐階段。而單足支撐階段時(shí)，隨動(dòng)腿不與地面接觸，將所有與隨動(dòng)腿相關(guān)的量設(shè)置為零即可。

由于雙足模型中存在阻尼耗能，故需提供外在機(jī)制進(jìn)行控制。否則系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程無(wú)法保持平衡，雙足模型經(jīng)若干步后將失去穩(wěn)定[13-15]。本文采用水平外力做功的方式維持系統(tǒng)能量恒定。水平控制力表示為如下形式：

(16)

式中：E0為人體初始能量;E(t)為時(shí)刻t時(shí)人體能量;Δu(t)為時(shí)刻t時(shí)人體水平位移增量。

人體總能量E(t)由動(dòng)能、彈性勢(shì)能和重力勢(shì)能構(gòu)成，可以表示為：

(17)

則式(14)中載荷向量變?yōu)椋?/p>

F(t)=[0,0,0,…,k1lb-m1g,

(18)

由于系統(tǒng)中阻尼矩陣和剛度矩陣時(shí)變且含有未知量，故需用迭代的方法確定位移增量及速度增量。本文選取Newton-Raphson非線性方法進(jìn)行迭代求解。

2人與結(jié)構(gòu)相互作用分析

為了研究新型雙足模型下人與結(jié)構(gòu)的相互作用，本文對(duì)上述推導(dǎo)過(guò)程進(jìn)行Matlab編程，詳細(xì)分析整個(gè)系統(tǒng)的響應(yīng)及動(dòng)力特性。并將基于新型雙足模型的計(jì)算結(jié)果與基于時(shí)域力模型的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較。

2.1人與結(jié)構(gòu)系統(tǒng)振動(dòng)分析

對(duì)于雙足模型，腿剛度kleg、沖擊角θ0和步行初始速度v，是影響人體運(yùn)動(dòng)的關(guān)鍵參數(shù)。Geyer[13]首先給出腿剛度kleg和沖擊角θ0的參數(shù)區(qū)域圖，并得出雙足模型步行初始速度v的適用范圍為0.8～1.6 m·s-1。Whittington[14]列出了腿剛度kleg<50 kN·m-1，沖擊角θ0在50°～80°內(nèi)的參數(shù)區(qū)域圖。Kim[16]將腿剛度kleg取值為14～28 kN·m-1，且認(rèn)為阻尼比ξ在3%～8%范圍內(nèi)即可描述人體步行。

新型雙足模型選取以下人體特性：身體部位參考ISO 5982模型[12]，人體質(zhì)量mh=75 kg(其中m1=62 kg,m2=13 kg)，身體剛度k1=62 kN·m-1，身體阻尼c1=14.6 kN·s·m-1，身體長(zhǎng)度取lb=0.4 m；腿部參數(shù)根據(jù)已有雙足模型[13-16]，取腿剛度kleg=20 kN·m-1，阻尼比ξ=8%，腿長(zhǎng)取為l0=1 m。步行初始速度為1.0 m/s，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中假定沖擊角θ0=69°為常數(shù)。

為闡述人與結(jié)構(gòu)相互作用，假定兩個(gè)簡(jiǎn)支人行橋。①算例一：剛度較大人行橋，11.0 m×1.25 m×0.35 m。材料特性為：?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度質(zhì)量m=1.364×103kg·m-1，剛度EI=1.64×108N·m2，模態(tài)阻尼比為ξ=0.3%?？蛰d橋的前兩階頻率為：f1=4.50 Hz，f2=18.01 Hz。②算例二：柔度較大人行橋，9.0 m×0.8 m×0.1 2m。材料特性為：密度為2 400 kg·m-3，彈性模量E為3×1010N·m-2，模態(tài)阻尼比為ξ=0.3%。空載橋的前兩階頻率為：f1=2.375 Hz ，f2=9.50 Hz。

眾多研究者根據(jù)人體表觀質(zhì)量幅頻特性研究人體模型[17]。圖3所示為新型雙足模型的人體表觀質(zhì)量幅頻特性曲線。由圖3可知，新型雙足模型的人體表觀質(zhì)量幅頻特性曲線與ISO 5982模型相近。由于ISO5982模型是由人體振動(dòng)響應(yīng)幅頻特性所得出，故新型雙足模型在模擬人體步行運(yùn)動(dòng)時(shí)，也可反映人體自身動(dòng)力特性。

圖3　人體表觀質(zhì)量幅頻特性Fig.3 Normalised apparent masses response functions

圖4所示為根據(jù)選取參數(shù)所得的行人單步步行載荷。新型雙足模型能夠捕捉人體重心變化產(chǎn)生的加速度及模擬兩腿交替行進(jìn)，從而可得步行載荷的雙峰值特性。模擬得到的步行載荷特征與眾多的研究者試驗(yàn)結(jié)果一致，可知新型雙足模型可較好的模擬人體的步行特性。

圖4　單步豎向地面反力Fig.4 Vertical ground reaction force with one foot

2.1.1算例一

首先對(duì)剛度較大的人行橋進(jìn)行分析。圖5和圖6為行人經(jīng)過(guò)剛度較大人行橋時(shí)跨中的位移和加速度時(shí)程。虛線為采用圖4中地面反力時(shí)程得到的人行橋跨中動(dòng)力響應(yīng)。由圖4可知，兩種方式所得結(jié)果差異較小。即結(jié)構(gòu)剛度較大，振動(dòng)響應(yīng)較小，人與結(jié)構(gòu)的相互作用較小。

圖5　人行橋的跨中位移Fig.5 Displacement at midspan of bridge

圖6　人行橋的跨中加速度Fig.6 Acceleration at midspan of bridge

圖7為行人步行通過(guò)結(jié)構(gòu)時(shí)的豎向地面反力。由圖7可知，人與結(jié)構(gòu)的相互作用較小，豎向地面反力時(shí)程平穩(wěn)，結(jié)構(gòu)振動(dòng)對(duì)步行載荷的影響較小。

圖7　步行中產(chǎn)生的豎向地面反力Fig.7 Vertical ground reaction force in walking

由以上分析可知，結(jié)構(gòu)剛度較大時(shí)，人與結(jié)構(gòu)的相互作用較小。

2.1.2算例二

為分析人與結(jié)構(gòu)相互作用，以下對(duì)柔度較大人行橋進(jìn)行詳細(xì)分析。

圖8和圖9為行人經(jīng)過(guò)柔度較大人行橋時(shí)跨中的位移和加速度響應(yīng)時(shí)程。虛線為采用圖4中地面反力時(shí)程得到的人行橋跨中動(dòng)力響應(yīng)。由圖可知，兩種方式所得計(jì)算結(jié)果差異明顯。新型雙足模型所得最大位移值和最大加速度值分別比時(shí)域力模型大24%和37%。差異表明人與結(jié)構(gòu)相互作用較大。即結(jié)構(gòu)較大的振動(dòng)引起新型雙足模型中腿部彈簧較大的變形，而腿部離開(kāi)接觸面時(shí)彈簧中儲(chǔ)藏的彈性勢(shì)能得以釋放，使得行人又明顯影響結(jié)構(gòu)響應(yīng)，從而人與結(jié)構(gòu)相互作用顯著。

圖8　人行橋的跨中位移Fig.8 Displacement at midspan of bridge

圖9　人行橋的跨中加速度Fig.9 Acceleration at midspan of bridge

圖10和圖11給出了人體上下兩部分m1和m2的豎向位移和加速度時(shí)程。如圖所示，每一步中行人的動(dòng)力響應(yīng)均不同，且隨著行人向跨中移動(dòng)而增大。即隨著行人向人行橋跨中移動(dòng)，結(jié)構(gòu)振動(dòng)對(duì)人體的動(dòng)力響應(yīng)影響增加，人與結(jié)構(gòu)相互作用加大。同時(shí)人體上下兩部分m1和m2的動(dòng)力響應(yīng)也不相同。m1和m2的位移幅度接近，但是m1的位移滯后于m2。而由m1和m2的加速度局部放大圖可知，m1的加速度值要大于m2。即表明人體上下兩部分m1和m2的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)并不一致。運(yùn)動(dòng)中的新型雙足模型即可描述人與結(jié)構(gòu)相互作用的影響，又可反映人體不同部位的相對(duì)振動(dòng)情況。

圖10　m1和m2的豎向位移Fig.10 The displacement of m1 and m2

圖11　m1和m2的加速度Fig.11 The acceleration of m1 and m2

在人與結(jié)構(gòu)相互作用下，為研究結(jié)構(gòu)振動(dòng)對(duì)步行特性的影響，得出了行人步行通過(guò)結(jié)構(gòu)時(shí)的豎向地面反力和行人步頻(見(jiàn)圖12和圖13)。由圖12可知，行人每一步產(chǎn)生的豎向地面反力均不同，隨著行人接近跨中，結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)明顯，豎向地面反力將越來(lái)越大。結(jié)構(gòu)振動(dòng)對(duì)步行載荷產(chǎn)生較大影響。圖13為行人步行經(jīng)過(guò)人行橋與在剛性地面上行走時(shí)的步頻對(duì)比。由圖13可知，隨著行人向跨中移動(dòng)，步頻變化較大，結(jié)構(gòu)振動(dòng)對(duì)行人步頻產(chǎn)生影響。人的步行特性顯著發(fā)生改變，人與結(jié)構(gòu)之間的相互作用較明顯。

圖12　步行中產(chǎn)生的豎向地面反力Fig.12 Vertical ground reaction force in walking

圖13　步行中的步頻Fig.13 Step frequencies in walking

圖14為人行橋跨中的加速度譜。虛線為采用圖4中豎向地面反力時(shí)程得到的結(jié)構(gòu)跨中加速度譜。由于存在人與結(jié)構(gòu)相互作用，新型雙足模型所得的加速度譜的峰值要大于時(shí)域力模型所得，即人與結(jié)構(gòu)相互作用對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)影響顯著。從圖14可知，加速度譜的峰值主要位于行人步頻及其整數(shù)倍附近。由于人與結(jié)構(gòu)相互作用下，結(jié)構(gòu)振動(dòng)使行人步頻產(chǎn)生較大變化(見(jiàn)圖13)，故新型雙足模型模擬所得各峰值對(duì)應(yīng)頻率均大于時(shí)域力模型所得。

圖14　人行橋跨中的加速度功率譜 Fig.14 Spectrum of acceleration at midspan of bridge

2.2結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性

為研究行人對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的影響，采用狀態(tài)空間法對(duì)人與結(jié)構(gòu)系統(tǒng)進(jìn)行瞬時(shí)模態(tài)的求解，得出算例二中行人作用下柔度較大人行橋前三階模態(tài)頻率和阻尼比(見(jiàn)圖15～圖17)。人與結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中人行橋動(dòng)力特性同時(shí)受行人步態(tài)和行人位置影響，表現(xiàn)為各階模態(tài)頻率降低，阻尼比增加。而其整體變化趨勢(shì)主要與人的位置密切相關(guān)。對(duì)比圖18中人行橋前三階模態(tài)振型可知，當(dāng)行人步行經(jīng)過(guò)人行橋各模態(tài)振型的波峰時(shí)，各階模態(tài)頻率和阻尼比的變化也同時(shí)到達(dá)峰值。

以上研究表明，新型雙足模型下的人與結(jié)構(gòu)系統(tǒng)更適合研究人與結(jié)構(gòu)相互作用。而時(shí)域力模型則無(wú)法考慮人受結(jié)構(gòu)振動(dòng)影響產(chǎn)生的自身行為調(diào)整及對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)的反饋?zhàn)饔茫礋o(wú)法描述人與結(jié)構(gòu)相互作用。

圖15 第一階模態(tài)Fig.15Thefirstmodal圖16 第二階模態(tài)Fig.16Thesecondmodal圖17 第三階模態(tài)Fig.17Thethirdmodal

圖18　人行橋的振型Fig.18 The mode shape of bridge

3人體動(dòng)力特性對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的影響

新型雙足模型基于ISO 5982模型和身體由質(zhì)心表示的雙足模型(SDOF雙足模型)，可反映人體不同部位的振動(dòng)情況及其傳遞。為進(jìn)一步分析全身振動(dòng)特性對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)的影響，以下計(jì)算單人步行通過(guò)振動(dòng)較大的梁。并將基于新型雙足模型所得的分析結(jié)果與SDOF雙足模型計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較。

新型雙足模型選取人體特性與前相同，SDOF雙足模型選取和其一致的參數(shù)?？紤]人行橋的基頻與人步頻接近，人行橋長(zhǎng)為10.0 m，其余參數(shù)與算例二相同。空載橋的前兩階頻率為：f1=2.169 Hz，f2=8.677 Hz。

模擬得到行人在剛性地面上單步行走時(shí)的豎向地面反力時(shí)程(見(jiàn)圖19)。由圖19可知，在相同人體參數(shù)取值情況下，新型雙足模型和SDOF雙足模型所得的步行載荷特性接近，所得豎向地面反力略大于SDOF雙足模型。

圖19　單步豎向地面反力對(duì)比Fig.19 Comparison of vertical ground reaction force

圖20　人行橋的跨中位移對(duì)比Fig.20 Comparison of displacement at midspan of bridge

圖21　人行橋的跨中加速度對(duì)比Fig.21 Comparison of acceleration at midspan of bridge

圖20和圖21為兩種模型步行經(jīng)過(guò)結(jié)構(gòu)時(shí)跨中的位移和加速度。由圖可知，采用SDOF雙足模型所得結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)要大于采用新型雙足模型所得振動(dòng)響應(yīng)。注意到圖19中，在相同人體參數(shù)取值情況下，新型雙足模型所得的豎向地面反力反而大于SDOF雙足模型。由此可得，結(jié)構(gòu)為柔度較大結(jié)構(gòu)時(shí)，振動(dòng)響應(yīng)較大，人體全身振動(dòng)特性對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)將產(chǎn)生影響。

圖22為兩種雙足模型步行時(shí)橋跨中的加速度功率譜。由圖可知，由于人的步頻和結(jié)構(gòu)基頻2.169 Hz接近，故將產(chǎn)生較大的振動(dòng)響應(yīng)，而SDOF雙足模型所得結(jié)構(gòu)響應(yīng)顯然大于考慮人體全身振動(dòng)特性的新型雙足模型。即人體振動(dòng)特性對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)影響不可忽略。考慮人體全身振動(dòng)特性的新型雙足模型能更好的反映結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)。

圖22　人行橋跨中的加速度功率譜對(duì)比Fig.22 Comparison of spectrum of acceleration

4結(jié)論

分析了新型雙足模型下的人與結(jié)構(gòu)相互作用系統(tǒng)，得到以下主要結(jié)論：

(1) 人與結(jié)構(gòu)相互作用增大結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)。新型雙足模型既可描述人體在振動(dòng)中的動(dòng)力特性，又可闡述結(jié)構(gòu)振動(dòng)對(duì)人的影響及人根據(jù)結(jié)構(gòu)振動(dòng)改變步態(tài)和動(dòng)載荷，進(jìn)一步增大結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的情況。

(2) 人步行經(jīng)過(guò)人行橋時(shí)結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性主要受人的步態(tài)和位置影響。人行橋各階頻率和阻尼比在行人位于各階模態(tài)振型波峰時(shí)，分別達(dá)到最小值和最大值。

參 考 文 獻(xiàn)

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Structural dynamic response analysis based on a new bipedal model

WANGYi-he,YANGNa(College of Civil Engineering, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044, China)

Abstract:Based on a new bipedal model considering human dynamic characteristics, dynamic equations of human-structure interaction were established by means of Lagrange equation. Dynamic responses and interactions of human and structure were studied. The effects of human dynamic characteristics on structure vibration were also analyzed. The results showed that the human-structure interaction enhances structure vibration level the modal frequencies and damping radios of structure reach the minimum and the maximum, respectively when human walking passes the peak of each structural modal shape.

Key words:vibration; bipedal model; human-structure interaction; dynamic characteristics

中圖分類號(hào):TU311.3

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.07.005

通信作者楊娜 女，博士，教授，博士生導(dǎo)師，1974年生

收稿日期：2015-04-27修改稿收到日期：2015-10-08

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51422801;50938008;51278049)；新世紀(jì)優(yōu)秀人才獎(jiǎng)勵(lì)計(jì)劃(NCET-11-0571)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助(2012JBM007;2012YJS078)

第一作者 王益鶴 男，博士生，1984年生