魏乙 鄧子辰李慶軍 文奮強(qiáng)

（西北工業(yè)大學(xué)工程力學(xué)系，西安 710072）

空間太陽(yáng)能電站的軌道、姿態(tài)和結(jié)構(gòu)振動(dòng)的耦合動(dòng)力學(xué)建模及辛求解*

魏乙 鄧子辰?李慶軍 文奮強(qiáng)

（西北工業(yè)大學(xué)工程力學(xué)系，西安 710072）

作為一種從太空獲得清潔能源的系統(tǒng)，空間太陽(yáng)能電站（SPS）吸引著許多國(guó)家和科研機(jī)構(gòu)的關(guān)注.由于其超大、超輕的柔性結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，研究其在軌動(dòng)力學(xué)行為時(shí)需要考慮軌道、姿態(tài)和結(jié)構(gòu)振動(dòng)的耦合作用.本文在考慮地球的非球形攝動(dòng)影響下，建立了集成對(duì)稱(chēng)聚光系統(tǒng)（ISC）的動(dòng)力學(xué)模型.通過(guò)Legendre變換引入廣義動(dòng)量，在Hamilton體系下建立了其軌道、姿態(tài)、軸向振動(dòng)耦合的動(dòng)力學(xué)方程.采用辛Runge-Kutta方法對(duì)耦合動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行數(shù)值求解.根據(jù)數(shù)值結(jié)果，分別研究了其在地球同步軌道下二階攝動(dòng)項(xiàng)對(duì)軌道、姿態(tài)和結(jié)構(gòu)振動(dòng)的影響，并分析了總能量的變化情況.

空間太陽(yáng)能電站， 軌道， 姿態(tài)， 結(jié)構(gòu)振動(dòng)， 辛

引言

隨著全球經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，能源與環(huán)境問(wèn)題已成為當(dāng)今最引人注目的兩大課題.自從1968年美國(guó)人Glaser首次提出建立空間太陽(yáng)能電站（SPS）的設(shè)想以來(lái)，SPS吸引著許多國(guó)家和科研機(jī)構(gòu)的關(guān)注.美、日、歐等相繼提出了20多種概念，并開(kāi)展了一系列探索性的研究工作［1-6］.但是這些工作基本上都是針對(duì)不同結(jié)構(gòu)形式SPS建造和運(yùn)行的可行性論證，對(duì)于這類(lèi)超大型航天器在軌正常運(yùn)行所需要研究和解決的軌道、姿態(tài)以及結(jié)構(gòu)的強(qiáng)非線性耦合動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，還缺乏針對(duì)性的、深入的研究.

在研究小型航天器的軌道運(yùn)動(dòng)、姿態(tài)變化、結(jié)構(gòu)振動(dòng)時(shí)，由于它們之間的相互影響很小，為了計(jì)算和討論的方便，往往把它們看作是獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)，分別進(jìn)行分析討論［7］.然而，對(duì)于像SPS這樣的超大的柔性航天器，必須考慮軌道、姿態(tài)、以及結(jié)構(gòu)振動(dòng)之間的耦合作用.Wie等［8］在考慮地球非球形攝動(dòng)以及太陽(yáng)光壓的影響下，研究了平板式SPS系統(tǒng)軌道和姿態(tài)的耦合動(dòng)力學(xué)及控制.McNally等［9，10］研究了平板式SPS系統(tǒng)在同步的Laplace平面軌道和地球同步軌道的軌道動(dòng)力學(xué)和姿態(tài)動(dòng)力學(xué)，并分別進(jìn)行了比較.然而，以上的工作都是把SPS看作是剛體，并沒(méi)有考慮系統(tǒng)的柔性.Malla等［11］將超大空間柔性結(jié)構(gòu)抽象成啞鈴模型，研究了軌道離心率的變化對(duì)其姿態(tài)角和軸向變形的影響；隨后，針對(duì)低空地球軌道和同步地球軌道平面運(yùn)動(dòng)的超大空間柔性結(jié)構(gòu)，Malla［12］研究了初始條件對(duì)軸向變形、姿態(tài)角和軌道高度的影響.Ishimura等［13］使用有限元建模，通過(guò)Lagrange方法建立了分布式繩系SPS結(jié)構(gòu)變形和姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程，研究了太陽(yáng)能電池板及繩的變形和姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的耦合問(wèn)題；隨后，Ishimura等［14］又把繩系SPS系統(tǒng)抽象成軸向可以伸縮的啞鈴模型，通過(guò)將微分方程線性化，研究了軌道運(yùn)動(dòng)、俯仰運(yùn)動(dòng)、軸向振動(dòng)之間的耦合現(xiàn)象.然而，對(duì)于超大柔性SPS的軌道、姿態(tài)、彈性振動(dòng)三者結(jié)合在一起的動(dòng)力學(xué)研究還很少.

對(duì)于軌道、姿態(tài)和結(jié)構(gòu)振動(dòng)得到的耦合動(dòng)力學(xué)方程，很難用分析方法進(jìn)行求解，只能用數(shù)值方法進(jìn)行求解.對(duì)于數(shù)值求解方法，馮康先生［15］認(rèn)為：“問(wèn)題原型的基本特征在離散后應(yīng)該盡可能的得到保持，而為了達(dá)到這一效果則離散化應(yīng)盡可能在問(wèn)題原型的同一形式框架中進(jìn)行.”然而傳統(tǒng)的數(shù)值方法，如非辛Runge-Kutta方法，Newmark方法，廣義α方法等，會(huì)產(chǎn)生人為的數(shù)值耗散，并且會(huì)破壞系統(tǒng)本身具有的特征，如辛性、能量、動(dòng)量等.所以國(guó)內(nèi)外有許多的數(shù)學(xué)和力學(xué)的專(zhuān)家學(xué)者從事保結(jié)構(gòu)算法的研究［16-19］.正是由于保結(jié)構(gòu)算法可以保持上述的某些性質(zhì)，已經(jīng)有很多學(xué)者將該算法應(yīng)用到航天領(lǐng)域.趙長(zhǎng)印等［20］用辛算法和非辛Runge-Kutta方法計(jì)算了軸對(duì)稱(chēng)星系模型中恒星的運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)比較，證明了辛算法有高效、系統(tǒng)的能量誤差沒(méi)有長(zhǎng)期積累、相空間幾何結(jié)構(gòu)不因長(zhǎng)時(shí)間計(jì)算而受歪曲等不可比擬的優(yōu)點(diǎn).

對(duì)于保守體系的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，選擇Hamilton體系近年來(lái)已經(jīng)被學(xué)術(shù)界廣泛認(rèn)同.本文通過(guò)Legendre變換引入廣義動(dòng)量，在Hamilton體系下建立了集成對(duì)稱(chēng)聚光系統(tǒng)（ISC）軌道、姿態(tài)、軸向振動(dòng)耦合的動(dòng)力學(xué)方程.采用辛Runge-Kutta方法對(duì)耦合動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行數(shù)值求解.數(shù)值結(jié)果表明：與經(jīng)典的Runge-Kutta方法相比，辛Runge-Kutta方法可以長(zhǎng)時(shí)間保持ISC系統(tǒng)的能量，并且相對(duì)能量誤差一直保持在同一數(shù)量級(jí).因此，采用辛算法研究ISC系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，可以為探索研究其長(zhǎng)期在軌運(yùn)行提供很好的參考依據(jù).

1 動(dòng)力學(xué)建模

圖1所示是20世紀(jì)90年代末NASA提出的ISC，該系統(tǒng)的優(yōu)點(diǎn)是將微波發(fā)射天線和太陽(yáng)電池陣布置在很近的位置，可以達(dá)到減少電力傳輸系統(tǒng)的質(zhì)量和體積，降低成本的目的［3-4］.根據(jù)Malla等人的工作，將ISC抽象成啞鈴模型.如圖2所示，建立坐標(biāo)原點(diǎn)為地心O的慣性坐標(biāo)系OXYZ，其中OX軸與赤道的長(zhǎng)半軸重合，OZ軸垂直于赤道平面，OY軸由右手法則得到.ISC的質(zhì)心O′的軌道半徑設(shè)為r，真近點(diǎn)角為θ，姿態(tài)角設(shè)為φ.模型的主要假設(shè)如下：

（1）將連接兩端薄膜反射鏡的桅桿抽象為可以伸縮但是不可以彎曲、不計(jì)質(zhì)量的細(xì)長(zhǎng)桿；

（2）假設(shè)ISC的全部質(zhì)量集中在細(xì)長(zhǎng)桿的兩端，分別為m1和m2；

（3）假設(shè)ISC在赤道平面運(yùn)行，只考慮地球帶諧項(xiàng)J2攝動(dòng)和田諧項(xiàng)J2，2攝動(dòng).

圖1 集成對(duì)稱(chēng)聚光系統(tǒng)示意圖Fig.1 Integrated symmetrical concentrator

圖2 集成對(duì)稱(chēng)聚光系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型Fig.2 Model of integrated symmetrical concentrator

設(shè)xi（i＝1，2）是質(zhì)量為mi（i＝1，2）的質(zhì)點(diǎn)到質(zhì)心O′的距離，則

其中，x是桿的長(zhǎng)度，m＝m1+m2.設(shè)ri（i＝1，2）是質(zhì)量為mi（i＝1，2）的質(zhì)點(diǎn)到地心O的距離，則

1.1 模型的勢(shì)能

由于地球并非是標(biāo)準(zhǔn)的球體，因此地球的非球形攝動(dòng)位函數(shù)在固坐標(biāo)系中可以展成球諧函數(shù)的形式.假設(shè)ISC在赤道平面半長(zhǎng)軸上方同步運(yùn)行，則要同時(shí)考慮帶諧項(xiàng)和田諧項(xiàng)攝動(dòng)的影響，取二階攝動(dòng)項(xiàng)J2和J2，2時(shí)，模型的勢(shì)能可以表示為［11，21］：

目前，三方共同創(chuàng)新研制了名為“智寶”的移動(dòng)式病蟲(chóng)害智能化感知設(shè)備，填補(bǔ)了國(guó)內(nèi)外移動(dòng)式病蟲(chóng)害智能測(cè)報(bào)技術(shù)與產(chǎn)品的空白。該設(shè)備集成了包括視覺(jué)、溫濕度傳感器、地理位置、移動(dòng)終端等多種信息獲取手段，有效提升了現(xiàn)有病蟲(chóng)害監(jiān)測(cè)能力。

其中，E、A、xs分別為桿的彈性模量、橫截面積、自然長(zhǎng)度，μ為地心引力常數(shù)，G為引力常數(shù)，Re為地球赤道半徑.

1.2 模型的動(dòng)能

ISC模型的動(dòng)能包括平動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能，可以表示為［11］

1.3 模型的Hamilton體系表示

建立動(dòng)力學(xué)問(wèn)題方程的方法大體上可以分為兩種：一是以Newton定律為基礎(chǔ)的矢量力學(xué)方法，二是以變分原理為基礎(chǔ)的分析力學(xué)方法.對(duì)于分析力學(xué)又可以分為L(zhǎng)agrange體系的表述和Hamilton體系的表述.雖然在這兩種體系下得到的動(dòng)力學(xué)方程是等價(jià)的，但是后者在數(shù)值方程的導(dǎo)入時(shí)更方便，在數(shù)值求解時(shí)計(jì)算效率更高，在系統(tǒng)本身性質(zhì)的保持上會(huì)更好［22-23］.對(duì)于保守體系，為了得到辛算法，就應(yīng)該在Hamilton體系的框架下建立動(dòng)力學(xué)方程.Hamilton體系的數(shù)學(xué)框架是辛幾何，因此應(yīng)該通過(guò)正則變換導(dǎo)入到辛幾何框架內(nèi)進(jìn)行計(jì)算.下面導(dǎo)出保守Hamilton體系的正則方程，首先通過(guò)Legendre變換引入廣義動(dòng)量，為了便于書(shū)寫(xiě)，引入廣義坐標(biāo)向量和廣義速度向量，分別表示為

對(duì)于只考慮保守力的ISC，則其總能量以及角動(dòng)量應(yīng)該得到保持，即Hamilton函數(shù)H（q，p）＝const.，角動(dòng)量pθ＝const..由方程（12）可以看到，ISC的角動(dòng)量的導(dǎo)數(shù)為零，說(shuō)明其角動(dòng)量是守恒的.

2 ISC軌道、姿態(tài)、軸向振動(dòng)的耦合動(dòng)力學(xué)分析

2.1 初始條件

設(shè)ISC在地球的同步軌道運(yùn)行，初始值為r0＝4.227433×107m，θ0＝0.0rad，φ0＝0rad，x0＝1.0416×104m，˙r0＝0.0m/s，˙θ0＝7.263631835029276 ×10-5rad/s，˙φ0＝0.0rad/s，˙x0＝0.0m/s.

2.2 地球的非球形攝動(dòng)的影響

由于地球的形狀和密度分布是不均勻的，而ISC要在軌運(yùn)行30～40年，所以地球的非球形攝動(dòng)是一種不可忽視的攝動(dòng)源.假設(shè)無(wú)攝動(dòng)、J2攝動(dòng)、J2，2攝動(dòng)下系統(tǒng)的能量分別為H、H2、H22，定義其相應(yīng)的相對(duì)能量誤差分別為，其中下標(biāo)0表示初始時(shí)刻的能量.為了表述方便，本節(jié)的一些標(biāo)記如表1所示.

表1 標(biāo)記Table 1 Nomenclature

下面給出10個(gè)軌道周期內(nèi)的分析結(jié)果.圖3給出了利用辛Runge-Kutta方法計(jì)算得到的ISC系統(tǒng)的相對(duì)能量誤差圖.從圖3中可以看出在Hamilton體系下，不管是否考慮地球的非球形攝動(dòng)，利用辛Runge-Kutta方法計(jì)算得到的該系統(tǒng)的相對(duì)能量誤差都是10-15量級(jí)，并且一直保持該數(shù)量級(jí).圖4給出的是利用經(jīng)典Runge-Kutta方法計(jì)算得到的相對(duì)能量誤差圖.從圖4中可以看出不管是否考慮地球的非球形攝動(dòng)，相對(duì)能量誤差精度都比辛Runge-Kutta方法低3個(gè)量級(jí)，并且相對(duì)能量誤差呈現(xiàn)線性增長(zhǎng)的趨勢(shì)，說(shuō)明辛算法在保能量方面有突出的優(yōu)勢(shì).圖5給出了地球的非球形攝動(dòng)的影響下，ISC質(zhì)心半徑的變化情況.由于地球的J2攝動(dòng)，ISC的質(zhì)心軌跡不再是嚴(yán)格的圓，變成了偏心率很小的橢圓，從而質(zhì)心半徑會(huì)有3122m的最大偏移；同樣，地球的J2，2攝動(dòng)也會(huì)引起ISC的質(zhì)心半徑的變化，質(zhì)心半徑的最大偏移量是31m.圖6給出了地球的非球形攝動(dòng)的影響下，ISC真近點(diǎn)角的變化情況.在地球的J2攝動(dòng)和J2，2攝動(dòng)下，真近點(diǎn)角比未考慮攝動(dòng)時(shí)都有所增大，雖然影響比較小，但這種趨勢(shì)是線性增長(zhǎng)的.圖7給出了地球的非球形攝動(dòng)的影響下，ISC姿態(tài)角的變化情況.即使無(wú)攝動(dòng)力時(shí)，姿態(tài)角也會(huì)發(fā)生周期性的振蕩，當(dāng)考慮J2攝動(dòng)和J2，2攝動(dòng)時(shí)，姿態(tài)角都會(huì)有小幅的影響.圖8給出了地球的非球形攝動(dòng)的影響下，ISC桿長(zhǎng)的變化情況.在不考慮攝動(dòng)力時(shí)，桿長(zhǎng)會(huì)周期性的伸長(zhǎng)和縮短，當(dāng)考慮攝動(dòng)時(shí)，雖然對(duì)于長(zhǎng)度變化的影響不是很大，但一直在增加，這對(duì)于長(zhǎng)時(shí)間在軌運(yùn)行的ISC是值得仔細(xì)考慮的.

圖3 相對(duì)能量誤差（辛Runge-Kutta方法）Fig.3 Error of relative energy through symplectic Runge-Kuttamethod

圖4 相對(duì)能量誤差（經(jīng)典Runge-Kutta方法）Fig.4 Error of relative energy through classical Runge-Kuttamethod

圖5 引力攝動(dòng)力對(duì)軌道半徑的影響Fig.5 Effect of the gravitational perturbation on orbit radius

圖6 引力攝動(dòng)力對(duì)真近點(diǎn)角的影響Fig.6 Effect of the gravitational perturbation on true anomaly

圖7 引力攝動(dòng)力對(duì)姿態(tài)角的影響Fig.7 Effect of the gravitational perturbation on attitude angle

圖8 引力攝動(dòng)力對(duì)軸向變形的影響Fig.8 Effect of the gravitational perturbation on axial deformation

3 結(jié)論

本文通過(guò)Legendre變換引入了廣義動(dòng)量，將方程導(dǎo)入了Hamilton體系，建立了軌道、姿態(tài)、軸

向振動(dòng)耦合的動(dòng)力學(xué)方程，并采用辛Runge-Kutta方法進(jìn)行了數(shù)值求解.通過(guò)數(shù)值結(jié)果分析了地球的J2和J2，2攝動(dòng)項(xiàng)對(duì)ISC的軌道、姿態(tài)、軸向振動(dòng)以及系統(tǒng)總能量的影響.

研究結(jié)果表明：在保守的Hamilton體系下ISC的角動(dòng)量守恒是自動(dòng)保持的.利用辛Runge-Kutta方法對(duì)耦合動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行數(shù)值求解，可以長(zhǎng)時(shí)間保持ISC系統(tǒng)的能量，能量相對(duì)誤差只有10-15量級(jí).然而經(jīng)典Runge-Kutta方法不能保持系統(tǒng)的能量，相對(duì)能量誤差精度會(huì)低3個(gè)量級(jí)，并且相對(duì)能量誤差會(huì)呈現(xiàn)線性的增長(zhǎng).說(shuō)明Hamilton體系下的辛算法在保結(jié)構(gòu)方面有突出的優(yōu)勢(shì).地球的非球形攝動(dòng)對(duì)軌道、姿態(tài)以及軸向變形都會(huì)產(chǎn)生影響，而對(duì)于軌道的影響最顯著.因此，對(duì)于ISC這樣一個(gè)軌道、姿態(tài)、彈性振動(dòng)耦合的復(fù)雜問(wèn)題，研究其在地球攝動(dòng)力的影響下的耦合效應(yīng)是十分必要的，為探索研究其長(zhǎng)期在軌運(yùn)行提供了很好的參考依據(jù).

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26劉林.航天器軌道理論.北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2000（Liu L.Spacecraftorbit theory.Beijing：National Defence Industry Press，2000（in Chinese） ）

COUPLING DYNAM IC MODELING AMONG ORBITAL MOTION，ATTITUDE MOTION AND STRUCTURAL VIBRATION AND SYMPLECTIC SOLUTION OF SPS*

Wei Yi Deng Zichen?Li Qingjun Wen Fenqiang
（Department of Engineering Mechanics，Northwestern Polytechnical University，Xi′an 710072，China）

As a system to collect clean energy from outer space，the solar power satellite（SPS）has attracted great concerns of various countries and scientific research institutions in theworld.As SPS is a very large flexible and lightweight structure in outer space，it is necessary to investigate the coupling effect of orbitalmotion，attitudemotion and structural vibration in the study of the global dynamics.In this paper，under the consideration of the effects of the non-gravitational perturbation forces，the coupled orbital，attitude and structural Hamiltonian equations of the integrated symmetrical concentrator（ISC）are constructed by using Legendre transformation and introducing generalized momenta.Subsequently，the dynamic equations of the system are solved by the symplectic Runge-Kuttamethod.According to the numerical results，the effects of non-gravitational perturbation of order 2 are well discussed，and the variation of total energy is analyzed.

solar power satellite， orbit， attitude， structure vibration， symplectic

10.6052/1672-6553-2016-021

2015-12-27收到第1稿，2016-03-12收到修改稿.

*國(guó)家自然科學(xué)基金（11432010，11572254，11502202），高校博士點(diǎn)基金（20126102110023），西北工業(yè)大學(xué)博士論文創(chuàng)新基金（CX201517）資助項(xiàng)目

?通訊作者E-mail：dweifan＠nwpu.edu.cn

Received 27 December 2015，revised 12 March 2016.

*The project supported by the National Natural Science Foundation of China（11432010，11572254，11502202），the Doctoral Program Foundation of Education Ministry of China（20126102110023），and the Innovation Foundation for Doctor Dissertation of Northwestern Polytechnical University（CX201517）

?Corresponding author E-mail：dweifan＠nwpu.edu.cn