張春偉，崔國民，陳上，陶佳男（上海理工大學新能源科學與工程研究所，上海 200093）

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采用結構進化策略的Lagrange乘子法優(yōu)化換熱網(wǎng)絡

張春偉，崔國民，陳上，陶佳男
（上海理工大學新能源科學與工程研究所，上海 200093）

摘要：針對罰函數(shù)法處理有約束問題時存在的不足，采用Lagrange乘子法優(yōu)化換熱網(wǎng)絡。為求解Lagrange函數(shù)方程組，根據(jù)確定性方法，提出最速下降法求解策略以及Powell法求解策略。通過極小值判斷機制，保證Lagrange函數(shù)方程組的解是原換熱網(wǎng)絡目標函數(shù)值的極小值。根據(jù)實際工況，提出結構進化策略，與Lagrange乘子法相結合，實現(xiàn)了換熱網(wǎng)絡全局最優(yōu)化。通過經(jīng)典算例驗證了兩種求解策略的有效性、準確性以及結構進化策略的通用性。與文獻結果進行對比，結果表明本算法具有較強的局部搜索能力以及全局搜索能力，能夠找到更優(yōu)的換熱網(wǎng)絡結構，有利于在工業(yè)生產(chǎn)中節(jié)約成本。

關鍵詞：換熱網(wǎng)絡；Lagrange乘子法；最速下降法；Powell法；結構進化策略

第一作者：張春偉（1992—），男，碩士研究生，從事過程系統(tǒng)優(yōu)化研究。聯(lián)系人：崔國民，教授，博士生導師。E-mail cgm1226@163.com。

換熱網(wǎng)絡綜合（heat exchanger network synthesis，HENS）是系統(tǒng)工程中的一個重要組成部分，其目的在于提升系統(tǒng)的回收能力和經(jīng)濟性。換熱網(wǎng)絡中存在表示換熱器有無的0-1整型變量以及表示熱負荷分布的連續(xù)變量，所以換熱網(wǎng)絡綜合屬于混合整數(shù)非線性規(guī)劃（mixed integer nonlinearprogramming，MINLP）范疇[1]。此外，F(xiàn)URMAN 等[2]證明其為NP-難問題，因此即使小規(guī)模的換熱網(wǎng)絡問題也不能證實找到全局最優(yōu)解[3]。

換熱網(wǎng)絡綜合方法主要可分為以Linnhoff為代表的夾點設計法[4]和以Grossmann為代表的數(shù)學規(guī)劃法[5]兩大類。夾點設計法將換熱網(wǎng)絡綜合問題分解為兩個子問題，分別對其優(yōu)化后，能夠得到一個較好的換熱網(wǎng)絡設計。數(shù)學規(guī)劃法首先將換熱網(wǎng)絡綜合問題轉化為有約束的多變量數(shù)學模型，然后采用優(yōu)化算法對該模型進行求解以得到最優(yōu)的換熱網(wǎng)絡結構。在換熱網(wǎng)絡研究中，為處理有約束問題，常借助罰函數(shù)法將其轉化為無約束問題，進而用無約束最優(yōu)化方法求解[6]。

罰函數(shù)法操作簡單，使用方便，并能求解導數(shù)不存在的問題。但其存在著一個固有的缺點，即當罰因子趨向極限時，罰函數(shù)的Hessian矩陣條件數(shù)無限增大，呈病態(tài)現(xiàn)象，直接影響算法的精度與收斂性，給罰函數(shù)的極小化增加困難；但當罰因子取值很小時，罰函數(shù)的極小點會遠離約束問題的最優(yōu)解，計算效率很差，所以罰因子的取值問題采用是罰函數(shù)法時存在的實質性困難[7]。

Lagrange乘子法通過求解一系列無約束優(yōu)化問題，間接得到原問題的最優(yōu)解，是另一種常用的處理有約束問題的方法[8-9]。Lagrange乘子將約束條件與原目標函數(shù)結合構造Lagrange函數(shù)，令其各個變量的一階偏導數(shù)為零，得到與變量個數(shù)相等的等式方程組。通過求解該方程組，得到原目標函數(shù)極值。由于不含罰因子，所以在處理有約束問題時，Lagrange乘子法能夠克服罰函數(shù)法的不足。且計算經(jīng)驗表明，相比罰函數(shù)法，Lagrange乘子法的性能更加優(yōu)越，收斂速度也相對較快[8]。所以Lagrange乘子法引起了人們廣泛的研究和關注，在系統(tǒng)優(yōu)化[10-11]、參數(shù)辨識[12]、實際工程[13-14]中均得到了應用。

鑒于此，本文采用Lagrange乘子法處理有約束的換熱網(wǎng)絡綜合問題。為求解方程組，提出最速下降法（steepest descent method，SD）求解策略以及Powell法（Powell method，Powell）求解策略，并通過極小值判斷機制剔除非函數(shù)極小值的解。對于換熱網(wǎng)絡MINLP問題，Lagrange乘子法只能收斂于局部極值，所以結合實際工況，提出結構進化策略（structure evolution，SE），使原有的結構不斷進化，獲得更優(yōu)的換熱網(wǎng)絡設計，跳出局部最優(yōu)解，進而實現(xiàn)換熱網(wǎng)絡的全局最優(yōu)化。最后通過經(jīng)典算例對兩種求解策略以及結構進化策略進行驗證。

1　換熱網(wǎng)絡數(shù)學模型及其Lagrange函數(shù)

1.1換熱網(wǎng)絡問題數(shù)學描述

換熱網(wǎng)絡綜合問題可表述如下：現(xiàn)有NH股熱流體、NC股冷流體，分別需要冷卻、加熱到目標溫度。在冷、熱流體之間設置多個換熱器，實現(xiàn)能量回收，進而形成換熱網(wǎng)絡。當某一股流體未達到目標溫度時，為其匹配冷或熱公用工程。過程流體和公用工程的熱容流率、進出口溫度以及換熱器換熱系數(shù)均已知。以年綜合費用為優(yōu)化目標，包括運行費用和投資費用兩部分，運行費用為消耗冷、熱公用工程時產(chǎn)生的費用，投資費用為設置換熱器時產(chǎn)生的費用，可分為面積費用和固定投資費用。本文采用GROSSMANN等[5]提出的無分流分級超結構模型，其中，換熱網(wǎng)絡的級數(shù)為換熱器的最大個數(shù)為?，F(xiàn)以2股熱流體和2股冷流體為例表述分級超結構模型，如圖1所示。

1.2優(yōu)化的目標函數(shù)

針對上述換熱網(wǎng)絡模型，以年最小年綜合費用為優(yōu)化目標，其數(shù)學函數(shù)為式(1)。

圖1　換熱網(wǎng)絡無分流的分級超結構

式中，B為0-1整型變量，表示換熱器有無，當換熱器存在時B=1，反之則B=0；CCU、CHU分別為冷、熱公用工程的費用系數(shù)；CF為設置換熱器時的固定投資費用；CE為面積費用系數(shù)；Z為面積費用指數(shù)；QHU,j、QCU,i分別為熱公用工程與冷流體之間的換熱量和冷公用工程與熱流體之間的換熱量；AHU,j、ACU,i分別為其相應換熱器的面積；Ai,j,k為冷熱流體之間換熱器面積。本文以單個換熱器的換熱量Qi,j,k為優(yōu)化變量，各換熱器均采用逆流傳熱方式，見式(2)～式(4)。

式中，Ki, j、KCU,i、KHU, j為熱流股與冷流股匹配的總傳熱系數(shù)，Ki, j計算公式如式(5)。

1.3主要約束條件

根據(jù)換熱網(wǎng)絡數(shù)學描述以及文獻[15]可知，目標函數(shù)的主要約束條件如式(8)～式(29)所示。

（1）流體目標溫度約束

（2）單股流體熱平衡

（3）冷熱公用工程熱平衡

（4）換熱器熱平衡

（5）可行溫度約束

（6）非負約束

（7）邏輯約束

1.4換熱網(wǎng)絡的Lagrange函數(shù)

由換熱網(wǎng)絡數(shù)學描述可知，模型中的主要約束條件為溫度約束，即當流體出口溫度等于目標溫度時，其他約束條件也能夠滿足。所以本文通過Lagrange乘子將溫度約束與原目標函數(shù)結合，構造Lagrange函數(shù)，函數(shù)無任何約束。其形式如式(30)。

對Lagrange函數(shù)的各個變量求導，令其為零，可以得到Lagrange函數(shù)方程組，其形式如式(31)。

式中，NK為當前換熱器個數(shù)，最大值為。Lagrange乘子將一個具有NK個變量與個約束的問題轉化為更容易求解的個方程組，而目標函數(shù)的極小值點也對應著此方程組的一組解。

2　兩種基于確定性方法的求解策略

采用Lagrange乘子法解決換熱網(wǎng)絡綜合問題，首先將有約束的目標函數(shù)轉化為無約束Lagrange函數(shù)，并通過求解方程組來獲得原函數(shù)的極小值[16]。但在數(shù)值計算過程中，Lagrange函數(shù)對某一變量的偏導數(shù)為具體的數(shù)值，而非方程組形式，所以在計算時不能直接采用數(shù)值解法求解方程組。鑒于此，本文結合確定性方法提出了兩種求解策略，達到間接求解方程組的目的，并通過極小值判斷機制對方程組的解進行驗證。

2.1極小值判斷機制

滿足極值點的一階必要條件的Lagrange乘子雖然必定存在，但考慮到目標函數(shù)嚴重的非線性和非凸特性，滿足方程組即一階必要條件的解可能為鞍點或拐點，而非極值點，所以引入極值點的二階必要條件作為函數(shù)收斂的判斷機制。

對方程組求解后，繼續(xù)計算此解所對應位置的Lagrange函數(shù)二階導數(shù)，判斷其Hessian矩陣是否正定。如果Hessian矩陣正定，則此解為Lagrange函數(shù)的極小值。反之，則不為Lagrange函數(shù)的極小值，此時隨機產(chǎn)生新的初始解，使算法繼續(xù)搜索，直到找到函數(shù)的極小值。

2.2最速下降法求解策略

根據(jù)公式(31)可知，每一個變量所對應的一階偏導數(shù)值為零時，方程組得解。據(jù)此，可根據(jù)最速下降法思想，在迭代計算中，以每次求得的偏導數(shù)值為基礎，沿其負梯度方向進行一維搜索，從而確定其搜索方向以及最佳搜索步長，直到各個變量的一階偏導數(shù)值近似為零。

算法的終止條件為變量的對應梯度Dk的范數(shù)小于等于設定的常數(shù)閾值，即。滿足此終止條件時，各個變量的一階偏導數(shù)值近似為零，方程組也得到了相應的解。算法求解步驟如下。

Step1設置初始參數(shù)，常數(shù)閾值e1。

Step2計算目標函數(shù)的一階導數(shù)，并確定Lagrange函數(shù)最速下降方向Step3計算最速下降方向Dk的范數(shù)，如果，轉Step 6，否則轉Step 4。

Step4沿最速下降方向Dk進行一維搜索，確定搜索步長αk。

Step5通過式(32)、式(33)更新?lián)Q熱量以及拉格朗日乘子。

變量更新后，轉Step 2。

Step6通過極小值判斷機制驗證當前解，如果為極小值，則迭代結束；否則隨機產(chǎn)生新初始解，轉Step 2。

2.3Powell法求解策略

Powell法是一種求解無約束最優(yōu)化問題的直接搜索法[17]，其本質是共軛方向法。由于對方程組求解的最終結果是各個變量的一階偏導數(shù)為零，所以可以構造新的目標函數(shù)間接求解方程組。函數(shù)形式如式(34)。

Step1確定變量維數(shù)N，設置初始點X0（包含換熱量Q以及Lagrange乘子），收斂精度，一組線性無關的方向，Di取N個坐標軸的方向，即N階單位矩陣，其中N的最大取值為

Step2從初始點X0依次沿方向進行一維搜索，確定每次迭代的步長，得到X1，X2，??，XN，即式(35)、式(36)。

Step3判斷迭代計算是否結束：若滿足下式，則得到解XN，轉Step 8，否則轉Step 4，如式(37)。

Step5引進第(N+ 1)個搜索方向和新的點Xt，如式(39)、式(40)。

方向替換判斷，如式(41)、式(42)。

①若滿足

則將XN作為新的初始點，沿原方向搜索，即轉Step 2。

②若滿足

則將XN作為新的初始點，沿原方向搜索，即轉Step 2。

③若以上兩條件均不滿足，則轉Step 7。

Step7以XN作為起始點，沿方向DN1+進行一維搜索，并得到此方向上的極小值點XN1+。將方向用新的方向DN1+替換，產(chǎn)生一組新的方向，以XN1+作為新的初始點，轉Step2。

Step8通過極小值判斷機制驗證解XN，如果為極小值，則迭代結束；否則隨機產(chǎn)生新的初始解，轉Step2。

3　結構進化策略

換熱網(wǎng)絡綜合問題嚴重的非凸、非線性，導致Lagrange乘子法只能收斂于求解域內的局部最優(yōu)解。所以為實現(xiàn)換熱網(wǎng)絡的全局最優(yōu)化，本文結合換熱網(wǎng)絡實際工況，提出了一種優(yōu)化整型變量的結構進化策略。考慮到換熱網(wǎng)絡問題均存在全局最優(yōu)解，其對應結構的換熱器個數(shù)也為定值，但對現(xiàn)在的研究成果而言，最優(yōu)結構和最優(yōu)換熱器個數(shù)均無法確定。此外，換熱器之間具有很強的關聯(lián)性，同一股流體中的上游換熱器的位置和換熱量直接影響下游換熱器。所以如果在原結構基礎上僅僅增加或減少一個換熱器，并以此新結構對應的目標函數(shù)值變化作為此操作是否成功的標準，則很有可能使換熱網(wǎng)絡結構的生成方向偏離最優(yōu)結構。本文以此為出發(fā)點，根據(jù)相關文獻中算例的優(yōu)化結構和實際工況設定換熱器個數(shù)范圍，減小換熱器相互組合的可能性，調控結構的進化方向，增強算法的局部最優(yōu)解跳出能力，提高搜索效率。結構進化策略主要包括結構進化、結構判斷、結構選擇等部分，各部分操作如下所示。

（2）結構進化 為增加隨機性，通過構造進化概率函數(shù)決定對當前結構采取何種操作。其具體形式如式（43）。

其中常數(shù)c用來調整當前結構換熱器生成或消去的概率。確定結構中的換熱器個數(shù)N后，調用隨機數(shù)rand，若，則對其執(zhí)行換熱器生成操作，否則執(zhí)行換熱器消去操作。

①換熱器生成操作。在整個分級超結構中隨機選擇Ng個位置作為換熱器生成位置，分別將其與原結構中的換熱器進行對比，如果發(fā)生位置重合，則在此位置保留原結構中的換熱器及其換熱量；反之，則在原結構該位置上添加換熱器，并賦值換熱量，令其，生成新的換熱網(wǎng)絡結構后。使用Lagrange乘子法對其優(yōu)化。其中

②換熱器消去操作。在整個分級超結構中隨機選擇Ne個位置作為換熱器消去位置，分別將其與原結構中的換熱器位置進行對比，如果發(fā)生位置重合，則將原結構中的此位置換熱器消去，否則保留原結構中的換熱器，生成新結構后，使用Lagrange乘子法對新結構優(yōu)化。其中

其中，Ng、Ne的定義方式可以保證進化后得到的新結構換熱器個數(shù)均在設定的范圍內。

（3）結構判斷 由于結構進化操作具有隨機性，所以為提高進化效率，排除不合理結構，本文提出兩條結構判斷公式，即對流體上的換熱器個數(shù)進行限制和判斷。執(zhí)行進化操作后，分別計算冷、熱流體上的換熱器個數(shù)，當滿足判斷公式時，使用Lagrange乘子法對新結構優(yōu)化；否則認為結構進化操作無效，重新執(zhí)行。結構判斷公式如式(44)、式(45)所示。

（4）結構選擇 新結構產(chǎn)生后，若其費用值較原結構下降，則將原結構更新，否則以一定的概率接受新結構。選擇概率函數(shù)形式如式(46)所示。

4　算例分析

引用文獻[18-19]的算例對算法進行驗證，構造Lagrange函數(shù)方程組后，分別采用兩種求解策略對其求解，并對結果進行分析。然后對兩結果對應的換熱網(wǎng)絡結構執(zhí)行結構進化策略，驗證其有效性及準確性。過程流體由4股熱流體和5股冷流體組成，相關參數(shù)如表1所示。換熱器費用計算公式，熱公用工程為熱油，費用為6$/(kW× a)，冷公用工程為冷水，費用為6$/(kW× a)。

在迭代步數(shù)等參數(shù)設置相同的情況下分別采用兩種求解策略對算例進行優(yōu)化，圖2為最速下降法求解策略優(yōu)化結果的流股匹配圖，其對應的年綜合費用為2941949$/ a。圖3為Powell法求解策略優(yōu)化結果的流股匹配圖，其對應的年綜合費用為2942153$/ a。

表1　算例流股參數(shù)

通過對比兩結構圖可以發(fā)現(xiàn)，圖2所示的換熱網(wǎng)絡結構較圖3在第二級多出一個換熱器，但此換熱器可與第一級相同位置的換熱器疊加，而且不會引起其他變量的變化。疊加后的換熱網(wǎng)絡結構與圖3相同，而連續(xù)變量的差別可認為由精度差異或極小值判斷機制造成?？梢宰C明Lagrange乘子法能夠有效處理多約束的換熱網(wǎng)絡綜合問題，并在初始條件相同的情況下，兩種求解策略能夠得到近似相同的結果。對比兩者的年綜合費用值可知，最速下降法求解策略的結果相對較優(yōu)，這是因為Powell法求解策略構造的函數(shù)光滑性要比Lagrange函數(shù)差，進而影響了優(yōu)化結果。

圖2　最速下降法求解策略優(yōu)化結果

由于換熱網(wǎng)絡綜合問題的嚴重非線性，Lagrange乘子法只能收斂于局部最優(yōu)解。所以本文分別對圖2、圖3所示的換熱網(wǎng)絡結構執(zhí)行結構進化策略。并在與原Lagrange乘子法參數(shù)設置相同的情況下，得到執(zhí)行結構進化策略前后的費用變化曲線。由于兩種求解策略的確定性方法本質，所以收斂較快，在前期每200步記錄一個費用值，而結構進化策略具有隨機性，得到更優(yōu)結果所需的計算步驟相對較多，后期每500步記錄一個費用值。

圖3　Powell法求解策略優(yōu)化結果

圖4　執(zhí)行結構進化后的最速下降法求解策略優(yōu)化結果

對圖2所示的換熱網(wǎng)絡結構執(zhí)行結構進化策略后，得到圖4所示結果，其所對應的年綜合費用為2927432$/a，相比原結構對應的費用值下降14517$/a。兩者的費用變化曲線如圖5所示，由其可知，執(zhí)行結構進化策略后，費用曲線出現(xiàn)了4次明顯的下降，而兩者對應的換熱網(wǎng)絡結構也有很大的差異，表明結構進化策略使算法多次跳出了局部最優(yōu)解，優(yōu)化后的換熱網(wǎng)絡結構趨近于最優(yōu)結構。

對圖3所示的換熱網(wǎng)絡結構執(zhí)行結構進化策略后，得到圖6所示結構，其所對應的年綜合費用為2930189$/a，相比原結構對應的費用值下降11964$/a。兩者的費用對比曲線如圖7所示，由其可知，執(zhí)行結構進化策略后，費用曲線出現(xiàn)明顯的下降，即對當前結構執(zhí)行結構進化策略后，擴大了Lagrange乘子法的搜索范圍，獲得了比以往更優(yōu)的換熱網(wǎng)絡設計。表明結構進化策略加強了算法的全局搜索能力，提高了搜索效率。

圖5　最速下降法求解策略執(zhí)行結構進化前后的年綜合費用對比曲線

優(yōu)化結果與文獻對比如表2所示，由其可知，本文采用的Lagrange乘子法得到了相對于文獻更優(yōu)的結果。對圖2、圖3所示結構執(zhí)行結構進化策略后，分別得到圖4、圖6所示結構，年綜合費用均再次出現(xiàn)明顯的下降，表明執(zhí)行結構進化策略后，當前換熱網(wǎng)絡結構不斷向最優(yōu)結構進化，在原有結果的基礎上，提升優(yōu)化質量。各圖所示結構的計算相關參數(shù)如表3所示。

圖6　執(zhí)行結構進化后的Powell法求解策略優(yōu)化結果

圖7　Powell法求解策略執(zhí)行結構進化前后的年綜合費用對比曲線

表2　算例結果比較

表3　計算相關參數(shù)

此外，雖然基于最速下降法求解策略的結果均好于基于Powell法，但Powell法求解策略仍具有了一個所有極小值均為0的新函數(shù)，通過優(yōu)化新函數(shù)可以求解方程組。其次，由前述可知，圖2、圖3的結構可認為近似相同，且費用差值為204$/ a，相對本算例的費用數(shù)量級可忽略，即對同一個Lagrange方程組而言，兩種求解策略能夠得到近似相同的解。圖4、圖6結構對應的費用值雖然相差2527$/ a，但造成此差異主要是因為兩者初始結構的換熱器個數(shù)不同，對結構進化策略而言，相當于從不同起點進行進化，最終導致結果存在差異。且兩費用值均明顯優(yōu)于原結構以及文獻結果，進一步表明了結構進化策略在解決換熱網(wǎng)絡綜合問題時的有效性及通用性。

5　結論

本文采用Lagrange乘子法優(yōu)化換熱網(wǎng)絡，克服了罰函數(shù)法處理有約束問題時存在的不足。結合確定性方法提出的兩種求解策略能有效求解Lagrange函數(shù)方程組，并使用極小值判斷機制對方程組的解進行了檢驗。根據(jù)實際工況提出的結構進化策略與Lagrange乘子法結合，擴大了搜索范圍，跳出局部最優(yōu)解，實現(xiàn)了換熱網(wǎng)絡的全局最優(yōu)化。通過經(jīng)典算例對算法的精度及收斂性等方面進行驗證，均取得了不錯的結果。

符 號 說 明

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Lagrange multiplier method combined with structure evolution strategy for heat exchanger network synthesis

ZHANG Chunwei，CUI Guomin，CHEN Shang，TAO Jianan
（Research Institute of New Energy Science and Technology，University of Shanghai for Science and Technology，Shanghai 200093，China）

Abstract：In allusion to the deficiency of penalty functions for constrained problems，a Lagrange multiplier method was adopted to optimize the heat exchanger network. To solve the Lagrange function equations，the steepest-descent method and the Powell method solving strategy according to the deterministic approach were proposed. The minimum value judgment mechanism ensures that the Lagrange function equation solution equals the minimum objective function value of the original network. According to the actual working conditions，a structure evolution strategy combined with a Lagrange multiplier method was proposed to reach the aim of global optimization. The validity and accuracy of these two methods，as well as the universality of the structure evolution strategy were verified by two benchmark problems. Compared with literature results，the proposed approaches have both strong local and global search abilities to find better heat exchanger network structures，which is conducive to cost saving in industrial production.

Key words：heat exchanger network；Lagrange multiplier method；steepest-descent method；Powell method；structure evolution strategy

中圖分類號：TK 124

文獻標志碼：A

文章編號：1000–6613（2016）04–1047–09

DOI：10.16085/j.issn.1000-6613.2016.04.013

收稿日期：2015-09-25；修改稿日期：2015-10-26。

基金項目：國家自然科學基金（51176125）及滬江基金研究基地專項（D14001）項目。