王福建，孫凌濤，錢　偉

(1. 浙江大學　建筑工程學院，浙江　杭州 310058，2. 杭州華龍交通勘察設(shè)計有限公司，浙江　杭州 310058)

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基于改進后沖擊波剖面模型的宏觀基本圖特性研究

王福建1，孫凌濤1，錢偉2

(1. 浙江大學建筑工程學院，浙江杭州 310058，2. 杭州華龍交通勘察設(shè)計有限公司，浙江杭州 310058)

摘要：沖擊波剖面模型是動態(tài)追蹤交叉口排隊和隊列消散過程的一種模型，對其建模過程進行了改進，使其更符合實際交通流的運行情況。在此基礎(chǔ)上，對含有5個信號交叉口的干線進行了數(shù)值仿真，在不斷改變其交通需求的情況下，得到了干線輸出流量和干線內(nèi)累積車輛數(shù)的值。研究發(fā)現(xiàn)：干線輸出流量和干線內(nèi)累積車輛數(shù)存在一定的固定關(guān)系，從而驗證了宏觀基本圖的存在性，為后續(xù)宏觀基本圖的研究和應用提供了一種快速準確的方法和一定的理論基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：交通工程；宏觀基本圖；數(shù)值仿真；SPM；干線；數(shù)值仿真

0引言

隨著社會經(jīng)濟的發(fā)展和人民生活水平的提高，逐漸增加的汽車使用量使得交通狀態(tài)從交通擁擠不斷向交通擁堵演化，使其成為亟待解決的關(guān)鍵問題之一。交通堵塞現(xiàn)象往往在某些敏感交叉口或路段反映出來，其原因就是在某一時段的大多數(shù)周期內(nèi)，交通需求大于交通供給，導致車輛在綠燈時間內(nèi)未能完全釋放且不斷累積，最終排隊上溯導致上游交叉口發(fā)生堵塞，從而形成連鎖反應，以致斷面和基本路段的交通流特性無法適用。因此需要建立合適的能準確快速描述車輛排隊現(xiàn)象的排隊模型，并以此來研究路網(wǎng)的宏觀交通流特性(即宏觀基本圖)。

1研究現(xiàn)狀

1.1排隊模型研究現(xiàn)狀

排隊模型大致可分為3類：概率論方法[1-2]、累積曲線法[3-4]和沖擊波法[5-9]。其中概率方法因為其無法滿足任何一種概率分布的假設(shè)，無法適用于交通狀態(tài)變化復雜的情況。當?shù)竭_率和離開率變化復雜時，累積曲線法較難構(gòu)建累計曲線，且存在一定的累計誤差。因此本文選擇在宏觀上可以看做穩(wěn)定流情形的、有較好描述效果的沖擊波法進行研究。

在沖擊波法應用于信號交叉口分析的研究中，Michalopoulos 等[5]將沖擊波分析應用于信號交叉口，針對單個交叉口和交叉口群分別研究了具有排隊長度約束的過飽和信號系統(tǒng)，特別關(guān)注了排隊的動態(tài)變化和信號控制效果。Stephanopoulos 等[6]進一步運用沖擊波方法探討了信號交叉口交通排隊動力學的建模和分析。雋志才等[7]以交通流流體力學理論為基礎(chǔ)，采用準沖擊波的方法對沖擊波在交叉口的傳遞情況以及排隊過程進行了模擬，并利用仿真結(jié)果計算得到了交叉口最大排隊長度、最遠排隊點、交叉口平均受阻距離、停車率等指標。但以上方法都不適用于過飽和的情形。Wu等[8]基于沖擊波理論，提出了一種基于段落的干線交通流動態(tài)性的建模方法，稱為沖擊波剖面模型，以擁有不變飽和流率的相同類型路段作為一個段落，追蹤一個段落內(nèi)或相鄰兩個段落內(nèi)的主要沖擊波，以此來描述交叉口動態(tài)排隊過程，并用實際數(shù)據(jù)進行了驗證。付鳳杰等[9]應用沖擊波法對信號交叉口排隊長度最遠點進行了分析研究，并建立了最大周期的優(yōu)化模型。

1.2宏觀基本圖研究現(xiàn)狀

Smeed[10]于1966年提出了能夠進入城市中心區(qū)的車輛數(shù)是城市區(qū)域面積的函數(shù)，并與該城市的路網(wǎng)面積與道路可利用率相關(guān)。Herman[11]提出了二流模型，將路網(wǎng)上的車輛假設(shè)為自由流行駛和停止兩種狀態(tài)，得到單位距離車輛平均停車時間與平均行程時間的函數(shù)關(guān)系。在以上研究的基礎(chǔ)上，Daganzo和Geroliminis[12-13]得到了路網(wǎng)空間流量、密度等基本交通參數(shù)的固定關(guān)系，并將此定義為宏觀基本圖。此后，圍繞宏觀基本圖的研究不斷展開[14-17]，研究內(nèi)容主要集中在其存在性、形狀、影響因素及運用方向，且大多數(shù)研究都是基于Vissim仿真或以往的歷史數(shù)據(jù)，Vissim仿真中參數(shù)標定的準確性直接影響結(jié)果的可靠性，而歷史數(shù)據(jù)又存在一定的滯后性，因此本文旨在研究一種能快速準確得到宏觀基本圖的方法，為后續(xù)研究提供一定的理論基礎(chǔ)[18-19]。

2沖擊波剖面模型介紹及改進

沖擊波剖面模型(Shockwave Profile Model，SPM)[8]是沖擊波法在交叉口的具體應用，模型基于以下假設(shè)：(1)車輛在到達排隊隊尾前都以自由流速度行駛；(2)排隊車輛以飽和流率釋放；(3)消散沖擊波波速已知。如圖1所示，該模型合理地將沖擊波簡化為紅燈起亮初期形成排隊的排隊沖擊波w1、綠燈起亮后形成的由停車線向后傳播的消散沖擊波w2、排隊波和消散波相遇時形成的離去波w3和周期內(nèi)有剩余排隊形成的壓縮波w4這4種主要的波，可方便地追蹤信號交叉口間排隊形成與消散的過程。

圖1　信號交叉口沖擊波剖面圖Fig.1　Profile of shockwave at signalized intersection

2.1路段建模

SPM模型依據(jù)流量守恒定律和LWR模型中的波速公式，推導出4種沖擊波的波速公式：

(1)

(2)

(3)

(4)

考慮在綠燈開始初期，車輛的釋放流率會小于在自由流情況下最大的到達率，稱之為通行能力下降，因此離去波波速w3(t)并非等于自由流速度，修正為如下公式：

(5)

(6)

(7)

當沖擊波位置得到更新后，就能構(gòu)建沖擊波模型，從而計算得到離開交叉口的流量，其結(jié)果如下：

(8)

但對于無保護相位的信號交叉口來說，左轉(zhuǎn)車流利用可接受間隙通過交叉口，因此其輸出流量還受到?jīng)_突流可接受間隙的影響，引入?yún)?shù)γ(γ=0表示無可接受間隙來放行沖突車流；γ=1則相反)對式(8)進行如下修正：

(9)

對于未保護相位交叉口，由于沖突流的存在，其實際飽和流率會小于理論飽和流率，因此需要修正，修正公式如下：

(10)

在得到上游交叉口的輸出流率后，只要給出一個轉(zhuǎn)彎比例就能知道下游交叉口直行的交通量，計算公如下：

(11)

以上討論的都是下游交叉口未溢出的情形，但現(xiàn)實中常常出現(xiàn)下游排隊上溯的情形，因此還需對此情形進行討論。由于溢出的不確定性和隨機性(溢出何時發(fā)生、溢出狀態(tài)持續(xù)的時間等)使情況變得相當復雜，但SPM模型能將其簡單歸納成兩種情況：

情況1：增加一個紅燈相位，該情況適用于下游交叉口在上游交叉口是紅燈時下游交叉口溢出且溢出狀態(tài)持續(xù)到信號燈變綠；

情況2：創(chuàng)建一個新周期，其適用于上游交叉口是綠燈時下游交叉口溢出的情況。

由于排隊溢出的情形能簡單地被上述兩種情況表示，因此對于排隊溢出情形的處理就可以簡化為在以下時段更新交叉口信號的時間：(1)下游交叉口排隊上溯至上游交叉口；(2)下游交叉口的消散波傳到上游交叉口。然而，SPM模型在每個時刻t內(nèi)更新交通狀態(tài)，當溢出發(fā)生時，無法知道溢出持續(xù)的時間。為了建模簡便，將溢出發(fā)生時周期內(nèi)剩余的時間作為紅燈時間，將溢出消散時周期內(nèi)剩余的時間作為綠燈時間，更新時間公式如下：

(12)

2.2路網(wǎng)建模

SPM模型采用基于段落的路網(wǎng)建模方法，把擁有不變飽和流率的相同類型路段歸為一個段落，一個段落或兩個相鄰段落產(chǎn)生的主要沖擊波會被明確地追蹤。如圖2所示，以節(jié)點表示段落，以箭頭表示方向，其中節(jié)點包括段落長度、阻塞密度、飽和流率、信號配時等大部分數(shù)據(jù)。

-路段未渠化段長度; -左轉(zhuǎn)渠化段長度; -直行渠化段長度; -堵塞的車道長度-未堵塞的車道長度；-虛擬節(jié)點。圖2　含有渠化區(qū)的交叉口建模Fig.2　Modeling of an intersection with channelized area

(13)

式中βn為n路段的左轉(zhuǎn)比例。

從式(13)可以看出，原模型將最內(nèi)側(cè)車道完全作為左轉(zhuǎn)車輛的專用車道，這不僅大大降低了交叉口的通行能力，還與實際完全不符，因此需要對其進行改進。

2.3模型的改進

按實際情況常規(guī)設(shè)置，將最內(nèi)側(cè)車道作為直行車輛和左轉(zhuǎn)車輛的共用車道，外側(cè)車道作為直行車輛和右轉(zhuǎn)車輛的共用車道，故其流量分配按下式進行改進：

(14)

式中αn為n路段的左轉(zhuǎn)比例和右轉(zhuǎn)比例。

3仿真應用及分析

3.1仿真試驗環(huán)境

根據(jù)上一章的介紹和改進后的SPM算法，對其進行編程實現(xiàn)。以單車道干線5個交叉口為研究對象，路段長度均為300 m，研究對象如圖3所示。

圖3　試驗對象的仿真設(shè)置Fig.3　Experimental object configuration for simulation

路段的自由流速度為36 km/h，飽和流率均為1 800 veh/h，飽和密度(臨界密度)為65 veh/km，阻塞密度為130 veh/km，交叉口內(nèi)的車輛初始排隊數(shù)為0，在交叉口邊界輸入雙峰流量，其中主路最大流量為1 000 veh/h,支路最大流量為600 veh/h，其雙峰變化如圖4所示。

圖4　日交通量變化圖Fig.4　Changes of daily traffic volume

各交叉口均為兩相位放行，周期為100 s,綠信比為0.55，交叉口3的相位差為10 s,交叉口4的相位差為20 s，其余交叉口無相位差。

3.2仿真結(jié)果及分析

對1天24 h進行數(shù)值仿真，得到主干道各交叉口1天由左向右直行的沖擊波圖，結(jié)果如圖5所示。

圖5　主干道直行方向24 h沖擊波剖面圖 Fig.5　Profiles of shockwave on arterial road in straight direction(24 hours)

從圖5可以看出，在7:30以后各交叉口均出現(xiàn)擁擠現(xiàn)象。以交叉口5為例，8:00以后交叉口5出現(xiàn)排隊上溯現(xiàn)象，影響交叉口4的車流運行，從而使整個交叉口都出現(xiàn)上溯，若為路網(wǎng)，則會出現(xiàn)鎖死現(xiàn)象。

對路網(wǎng)進行1天24 h仿真，得到仿真時間段內(nèi)每個仿真時刻進出各交叉口的車輛數(shù)，然后以5 min為時間間隔進行統(tǒng)計(部分數(shù)據(jù)如表1所示)，得到每個統(tǒng)計時間間隔內(nèi)路段上的累計車輛數(shù)。為了防止無邊界交叉口對結(jié)果造成影響，只取路段L2,L3,L4進行分析，計算每個時間段內(nèi)的平均路網(wǎng)累積車輛數(shù)，然后根據(jù)各路段平均長度，得到路網(wǎng)加權(quán)平均密度。

從圖6可以得出邊界輸出流量隨時間的變化趨勢：在低峰時輸出流量隨著交通需求的增加而變大，到早高峰8:00以后，路網(wǎng)達到臨界飽和狀態(tài)，輸出流量達到最大值，狀態(tài)一直持續(xù)到晚高峰結(jié)束，符合實際情況。

從圖7可以發(fā)現(xiàn)，干線輸出流量與干線內(nèi)累計車輛數(shù)(即密度)存在一定的關(guān)系，在密度小于65 veh/h 時，輸出流量與密度呈線性相關(guān)，交通流達到臨界飽和狀態(tài)，個別或多個交叉口出現(xiàn)排隊上溯現(xiàn)象。當密度大于65 veh/h時，交通流達到飽和狀態(tài)，表現(xiàn)為輸出流量最大。

表1部分仿真數(shù)據(jù)示例[單位：veh/(5 min)]

Tab.1Part of simulation data[unit:veh/(5 min)]

時刻5分鐘序列交叉口1輸入流量交叉口2輸出流量交叉口2輸入流量交叉口3輸出流量交叉口3輸入流量交叉口4輸出流量交叉口4輸入流量交叉口5輸出流量6:00—7:007845.7950.7153.2144.6048.3558.9061.6548.406:00—7:007945.7942.2045.9550.9154.4151.9755.4765.986:00—7:008045.7950.7153.2148.6051.6054.1556.9053.156:00—7:008145.7942.2045.9553.4056.9047.7051.2056.956:00—7:008245.7950.7153.2139.8543.6057.4760.2246.976:00—7:008345.7942.2045.9556.7660.0152.9256.4265.986:00—7:008445.7950.7153.2152.5955.5954.6257.3754.107:00—8:008563.3552.2357.8654.1959.8158.1463.3964.367:00—8:008667.4472.2375.9859.2864.9078.8182.9469.457:00—8:008767.4462.7968.4290.0094.5067.0572.3074.087:00—8:008867.4472.2375.9870.6675.5480.0083.0875.007:00—8:008967.4462.7968.4263.4968.5971.0074.7575.007:00—8:009067.4472.0075.7551.0052.5871.5074.4375.007:00—8:009167.4455.0058.9859.0063.0571.0074.7575.007:00—8:009223.1920.0021.5848.5053.7571.5074.4375.007:00—8:009331.2947.0051.9172.0077.4471.0074.7575.007:00—8:009457.0860.5062.3850.5052.8371.5074.4375.007:00—8:009564.0654.0059.5959.0061.7471.0074.7575.007:00—8:009615.0014.0014.8348.0053.6371.5074.4375.008:00—9:009730.5539.5044.9073.0079.0570.0075.0075.00??????????

圖6　邊界輸出流量隨時間變化圖Fig.6　Boundary output traffic volume varying with time

圖7　輸出流量和密度關(guān)系圖Fig.7　Relationship between output traffic volume and density

由上述分析可見，宏觀基本圖能清楚地描述干線從通暢到擁擠直至擁堵的全過程。由此可見，可以利用宏觀基本圖來確定路網(wǎng)車輛總數(shù)，使其不會導致網(wǎng)絡(luò)交通到達鎖死狀態(tài)，同時，確保網(wǎng)絡(luò)車輛總數(shù)達到最大值附近。

4結(jié)論

本文利用改進后的SPM模型快速準確地追蹤了過飽和交叉口的動態(tài)排隊過程，并以此得到了交通需求不斷變化情況下的路網(wǎng)輸出流量和累積車輛數(shù)。利用該數(shù)據(jù)，得出輸出流量和累積車輛數(shù)之間存在確定的關(guān)系，驗證了宏觀基本圖的存在性，為后續(xù)宏觀基本圖的應用提供了一定的理論基礎(chǔ)。

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Characteristics of Macroscopic Fundamental Diagram Based on SPM

WANG Fu-jian1, SUN Ling-tao1, QIAN Wei2

(1. College of Civil Engineering and Architecture, Zhejiang University, Hangzhou Zhejiang 310058, China;2. Hangzhou Hualong Traffic Survey and Design Co., Ltd., Hangzhou Zhejiang 310058, China)

Abstract：Shockwave profile model is a model that can dynamically track the process of queue build-up and dissipation at intersection. The modeling process is improved to make it more consistent with the actual operation of traffic flow. On this basis, a numerical simulation to an arterial road which contains 5 signal intersections is conducted, the output traffic volume and the cumulative number of vehicles in the arterial road when changing the traffic demand are obtained. It is found that there is existence of certain relationship between the abovementioned 2 parameters, which verified the existence of macroscopic fundamental diagram. It provided a fast accurate method and a certain theoretical basis for further study and application of MFD.

Key words：traffic engineering; macroscopic fundamental diagram (MFD); numerical simulation; shockwave profile model (SPM); arterial; numerical simulation

中圖分類號：U491

文獻標識碼：A

文章編號：1002-0268(2016)04-0127-07

doi:10.3969/j.issn.1002-0268.2016.04.020

作者簡介：王福建(1969-)，男，安徽阜陽人，副教授.(ciewfj@zju.edu.cn)

基金項目：國家自然科學基金項目(51278455)

收稿日期：2015-05-14