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        關(guān)于近獨立子統(tǒng)計分布導(dǎo)出的探討

        2016-05-16 05:31:58李建英
        長春師范大學(xué)學(xué)報 2016年4期
        關(guān)鍵詞:玻色麥克斯韋費米

        李建英

        (忻州師范學(xué)院,山西忻州 034000)

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        關(guān)于近獨立子統(tǒng)計分布導(dǎo)出的探討

        李建英

        (忻州師范學(xué)院,山西忻州 034000)

        [摘要]本文采用Darwin-Fowler平均法和Gibbs統(tǒng)計系綜理論,由熵和巨正則分布分別導(dǎo)出近獨立子的三種統(tǒng)計分布,克服了Boltzmann概率法在數(shù)學(xué)上人為假設(shè)的缺點,為三種統(tǒng)計分布的正確性提供了堅實的理論基礎(chǔ)。

        [關(guān)鍵詞]玻色-愛因斯坦分布;費米-狄拉克分布;麥克斯韋-玻耳茲曼分布

        任一宏觀量都是在一定宏觀條件下所有可能達到的微觀運動狀態(tài)的相應(yīng)微觀量的統(tǒng)計平均值,在這一觀點的前提下,有不同的求統(tǒng)計平均值的方法,如Boltzmann的概率法、Darwin-Fowler的平均法、Gibbs的統(tǒng)計系綜理論.對于近獨立子的三種統(tǒng)計分布律導(dǎo)出,絕大部分教材采用Boltzmann的概率法,在導(dǎo)出過程中都假設(shè)ωi>>1,ni>>1,并使用了Stirling近似公式,實際上所作的假設(shè)未必能滿足,因此這是嚴重的缺陷,采用Darwin-Fowler的平均法和Gibbs的統(tǒng)計系綜理論導(dǎo)出所述的分布律則不存在數(shù)學(xué)上人為假設(shè)的缺點,為它們的正確性提供了堅實的理論基礎(chǔ).

        1用Gibbs的統(tǒng)計系綜理論,由巨正則分布導(dǎo)出近獨立子的三種統(tǒng)計分布

        考慮全同近獨立子體系的巨正則系綜,其布函數(shù)為

        配分函數(shù)為

        1.1Boss-Einstein分布律

        玻色子的能級分布{ni}的總量子狀態(tài)數(shù)為

        配分函數(shù)為

        能級εi上的平均粒子數(shù)為

        1.2Fermi-Dirac分布律

        費米子遵守Pauli原理,ωi≥ni,能級分布{ni}的總量子狀態(tài)數(shù)為

        巨正則配分函數(shù)為

        能級εi上的平均粒子數(shù)為

        1.3Maxwell-Boltzmann分布律

        離域獨立子經(jīng)典體系,能級分布{ni}的總量子狀態(tài)數(shù)為

        巨正則配分函數(shù)為

        2用Darwin-Fowler的平均法,由熵引出三種統(tǒng)計分布

        考慮一個具有恒定能量E0與恒定粒子數(shù)N0的很大的孤立系統(tǒng),它由系統(tǒng)與其余很大的稱為媒質(zhì)的部分構(gòu)成,系統(tǒng)與媒質(zhì)可以交換能量與粒子.當系統(tǒng)的能量為E,粒子數(shù)為N時,媒質(zhì)的能量則為E0-E,粒子數(shù)為N0-N.當系統(tǒng)與媒質(zhì)處于熱平衡時,兩者的溫度T與化學(xué)勢μ相等.

        設(shè)系統(tǒng)對應(yīng)于能量E的狀態(tài)數(shù)為WE,為一小量,因此系統(tǒng)與媒質(zhì)所擁有的狀態(tài)數(shù)近似為媒質(zhì)所擁有的狀態(tài)數(shù),W(N0-N,E0-E),系統(tǒng)有N個粒子,能量為E的概率也就是媒質(zhì)有N0-N個粒子,能量為E0-E的概率,這個概率和狀態(tài)數(shù)W(N0-N,E0-E)成正比,即P(N,E)∝W(N0-N,E0-E).

        現(xiàn)用媒質(zhì)的熵表示,則有

        S(N0-N,E0-E)=kBlnW(N0-N,E0-E).

        設(shè)N<

        所以

        若系統(tǒng)的能級E對應(yīng)的狀態(tài)數(shù)WE≠1,則有

        2.1Fermi-Dirac分布

        現(xiàn)考慮由N個費米子構(gòu)成的孤立系統(tǒng),總能量為E,它由一個小系統(tǒng)與大媒質(zhì)組成,取1個或0個費米子占據(jù)的單個量子態(tài)作為系統(tǒng),取N個或N-1個費米子占據(jù)的其它量子態(tài)作為媒質(zhì).系統(tǒng)與媒質(zhì)可以交換一個粒子和能量ε.由于費米子服從泡利原理,所以,對應(yīng)的媒質(zhì)所擁有的狀態(tài)數(shù)為W(N,E)或W(N-1,E-ε).熵為S(N,E)=kBlnW(N,E)或kBlnW(N-1,E-ε).

        設(shè)系統(tǒng)的能量ε對應(yīng)的狀態(tài)數(shù)WE=1,則系統(tǒng)有n個費米子,能量為nε的概率為

        P(n,nε)∝W(N-n,E-nε).

        2.2Boss-Einstein分布

        現(xiàn)考慮玻色子系統(tǒng),方法與費米子系統(tǒng)相同,差別在于對于費米子系統(tǒng),n=0,1,而對玻色子系統(tǒng),由于不受泡利原理制約,能量為ε的單個量子態(tài)允許有任意個玻色子占據(jù),n=0,1,2,….

        設(shè)系統(tǒng)的能量ε對應(yīng)的狀態(tài)數(shù)WE=1,則系統(tǒng)有n個玻色子,能量為nε的概率為

        P(n,nε)∝W(N-n,E-nε).

        2.3Maxwell-Boltzmann分布—經(jīng)典情況

        這是費米分布與玻色分布的共同極限情況,這就是經(jīng)典的玻耳茲曼分布.

        3討論

        (1)用Darwin-Fowler的平均法,在數(shù)學(xué)方法上比概率法嚴格;另外,由熵引出三種統(tǒng)計分布,更突出了熵概念在統(tǒng)計物理中的重要地位,是對熵概念的進一步深化.

        (2)Gibbs的統(tǒng)計系綜理論,由巨正則分布導(dǎo)出近獨立子的三種統(tǒng)計分布,數(shù)學(xué)嚴謹,物理概念清晰,對獨立子體系與相依子體系都適用,是平衡態(tài)統(tǒng)計理論最完美的方法.

        [參考文獻]

        [1]高執(zhí)棣,郭國霖.統(tǒng)計熱力學(xué)導(dǎo)論[M].北京:北京大學(xué)出版社,2004.

        [2]汪志誠.熱力學(xué)·統(tǒng)計物理[M].北京:高等教育出版社,2003.

        [3]嚴燕來,葉慶好.大學(xué)物理拓展與應(yīng)用[M].北京:高等教育出版社,2002.

        [4]梁希俠,班士良.統(tǒng)計熱力學(xué)[M].呼和浩特:內(nèi)蒙古大學(xué)出版社,2000.

        A Study on Derivating the Statistical Dstribution of Approximately Independent Partical

        LI Jian-ying

        (Xinzhou Teachers University, Xinzhou Shanxi 034000, China)

        Abstract:In the artical,statistical distributions of the appximately independent partical are derivated from entropy and grand canonical distribution through Darwin-Fowler statistical average and Gibbs statistical ensemble theory. It overcomes the shortcomings of Boltzmann probability statistics that gives the man-made assumption in mathematics and provids the solid theoretical basis for the correctness of three statistical distributions.

        Key words:Boss-Einstein distributions; Fermi-Dirac distributions; Maxwell-Boltzmann distributions

        [中圖分類號]O21

        [文獻標識碼]A

        [文章編號]2095-7602(2016)04-0008-04

        [作者簡介]李建英(1967- ),女,副教授,碩士,從事熱力學(xué)、統(tǒng)計物理和基礎(chǔ)物理實驗教學(xué)研究。

        [基金項目]忻州師范學(xué)院基金項目“地方師范院校物理學(xué)專業(yè)實驗教學(xué)體系構(gòu)建和創(chuàng)新人才培養(yǎng)模式研究”(JGZD201511)。

        [收稿日期]2015-12-30

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