孫艷君

長(zhǎng)期以來，計(jì)算規(guī)則圖形的面積已經(jīng)達(dá)成共識(shí). 但是現(xiàn)實(shí)生活中存在很多圖形，分割后仍難以找到基本的圖形，需要學(xué)生有較強(qiáng)的估計(jì)能力，會(huì)用各種方法相對(duì)準(zhǔn)確地得到它的面積. 在以前的教材中，并沒有安排不規(guī)則圖形的面積問題. 因此北師版教材把這一內(nèi)容編入教材，要求學(xué)生掌握估計(jì)、計(jì)算不規(guī)則圖形的面積，這不僅有助于培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，同時(shí)也有助于提高學(xué)生解決問題的能力. 《成長(zhǎng)的腳印》就是這一領(lǐng)域的一個(gè)內(nèi)容.

一、對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容的分析

（一）學(xué)科本質(zhì)分析

關(guān)于不規(guī)則圖形的面積怎么求？吳正憲老師是這樣說的：首先要確定單位，也就是把圖形放到格子里去數(shù)去估. 其次就是要想清楚怎么去估？既然是去估測(cè)，就不是去找一個(gè)點(diǎn)，應(yīng)該找上限、下限，確定取值范圍. 關(guān)于估計(jì)，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》是這樣要求的：學(xué)段一：會(huì)選擇合適的單位去估計(jì)；學(xué)段二：會(huì)選擇合適的方法去估計(jì). 估就是換一個(gè)思想解決問題，在生活中估比精更重要.

（二）教材分析

本節(jié)課教材原有的設(shè)計(jì)大部分是值得借鑒的，但經(jīng)過對(duì)課標(biāo)的解讀，專家的講座的分析和對(duì)多個(gè)不同版本教材的對(duì)比之后，我們對(duì)教材進(jìn)行了個(gè)性化處理.

首先，教材直接給出格子圖中的腳印，沒有讓學(xué)生體會(huì)到格子圖也就是確定測(cè)量單位的必要性. 而確定單位是求不規(guī)則圖形面積的重要一步，教材這樣直接給出是不合理的. 鑒于此，我們首先給出的腳印是不帶格子的，在引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)規(guī)則圖形面積的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生知道求一個(gè)圖形的面積其實(shí)就是求這個(gè)圖形所包含的面積單位的個(gè)數(shù)，從而讓學(xué)生深刻地體會(huì)到要知道不規(guī)則圖形的面積也是求它所包含的面積單位的個(gè)數(shù)，也就是格子的數(shù)量.

其次，教材給出的兩個(gè)不同腳印面積的測(cè)量，用的格子都是1平方厘米，這樣不利于學(xué)生體會(huì)測(cè)量單位越小測(cè)量的結(jié)果越精準(zhǔn). 在讓學(xué)生用數(shù)格子的方法，估計(jì)不規(guī)則圖形的面積的同時(shí)，向?qū)W生提供大小不同的格子，這不僅可以豐富學(xué)生估計(jì)的策略和方法，更為關(guān)鍵的是可以讓學(xué)生體會(huì)到格子越小得到的面積越接近實(shí)際面積.

二、對(duì)學(xué)生認(rèn)知的分析

在上課之前，為了確定學(xué)生對(duì)本節(jié)課的學(xué)習(xí)是否已經(jīng)有了良好的認(rèn)知基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，是否已經(jīng)部分或全部掌握了本節(jié)課的知識(shí)內(nèi)容，我進(jìn)行了問卷調(diào)查.

前測(cè)試題共包括兩個(gè)部分：第一部分是本節(jié)課的知識(shí)基礎(chǔ)，即規(guī)則圖形的面積及面積計(jì)算方法，即問卷的第一題. 如果學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)或數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)比較薄弱，那么在課初我就應(yīng)該想辦法幫助學(xué)生補(bǔ)救經(jīng)驗(yàn)，理清思路. 如果學(xué)生的認(rèn)知方式非常成熟，已有的知識(shí)基礎(chǔ)扎實(shí)，那么在課初就可以一語帶過. 第二部分是本節(jié)課的新知，即不規(guī)則圖形的面積的定義及如何得到不規(guī)則圖形的面積，即問卷的第二題和第三題. 如果學(xué)生對(duì)本節(jié)課的新知覺得困難無以應(yīng)對(duì)，那么這節(jié)課應(yīng)該降低難度，減緩坡度，分解目標(biāo)，讓學(xué)生可以拾級(jí)而上. 如果學(xué)生對(duì)新知已經(jīng)基本了解，并有一定的想法，那么這節(jié)課就可以提高難度，整合目標(biāo)，讓學(xué)生獲得更大的發(fā)展和提升.

全班共40人，全部參與前測(cè)，獲有效問卷40份，現(xiàn)分析如下：

1. 學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)分析

第一題：“你會(huì)計(jì)算哪些規(guī)則圖形的面積？請(qǐng)分別寫出它們的算法. ”這是本節(jié)課的知識(shí)基礎(chǔ)部分，調(diào)查結(jié)果顯示40人全部做答并完全正確，個(gè)別同學(xué)沒有把學(xué)過的所有規(guī)則圖形的面積進(jìn)行做答，但是只要做答的都完全正確. 這表明全班學(xué)生對(duì)于規(guī)則圖形的面積及面積計(jì)算方法都掌握的很扎實(shí).

2. 學(xué)生對(duì)新知的理解情況分析

第二題：“你知道什么是不規(guī)則圖形嗎？請(qǐng)說明你的想法，可以寫一寫，畫一畫. ”該題主要是通過對(duì)學(xué)生的表征方式的分析與考察，來了解學(xué)生對(duì)新知的理解程度.

調(diào)查結(jié)果顯示：很多學(xué)生對(duì)能夠利用不同的表征方式去理解不規(guī)則圖形. 這說明學(xué)生對(duì)不規(guī)則圖形的內(nèi)涵或外延有了很好的理解.

調(diào)查結(jié)果顯示：大多數(shù)學(xué)生對(duì)不規(guī)則圖形有一定的認(rèn)識(shí)，也有少部分同學(xué)出現(xiàn)了概念混淆，產(chǎn)生了錯(cuò)誤的理解. 接下來的教學(xué)有必要對(duì)不規(guī)則圖形的定義進(jìn)行界定.

3. 學(xué)生對(duì)新知的掌握情況分析

第三題：“請(qǐng)你想辦法得到下面不規(guī)則圖形的面積. ”該題主要是通過對(duì)學(xué)生的已經(jīng)掌握的方法的分析與考察，來了解學(xué)生對(duì)新知的掌握程度.

調(diào)查結(jié)果顯示：大多數(shù)學(xué)生對(duì)于一一拼湊數(shù)格子和轉(zhuǎn)化的方法有了很好的經(jīng)驗(yàn)，而半格法和大于半格記為1格，小于半格記為0格，是絕大多數(shù)學(xué)生所不知道的，這就應(yīng)該是本節(jié)課在數(shù)格的方法策略研究的重點(diǎn).

大多數(shù)學(xué)生對(duì)于得到答案本身沒有問題，因此通過不同方法策略的對(duì)比，引導(dǎo)學(xué)生得到一個(gè)相對(duì)合理的范圍，才是這節(jié)課的關(guān)鍵.

三、教學(xué)設(shè)計(jì)與意圖

本節(jié)課在前面的分析和思考的基礎(chǔ)上，形成以下設(shè)計(jì)：

（一）以求規(guī)則圖形的面積為基礎(chǔ)，認(rèn)識(shí)不規(guī)則圖形及其面積的求法

師：同學(xué)們，這節(jié)課我們一起來學(xué)習(xí)有關(guān)面積的知識(shí). 這些都是我們學(xué)過的由直線段圍成的什么圖形？它們的面積都是怎么算的？長(zhǎng)方形的面積公式是什么？那長(zhǎng)乘寬其實(shí)求的是什么？對(duì)了，是它所包含的面積單位的個(gè)數(shù).

師：其實(shí)所有這節(jié)規(guī)則圖形都是用公式很快地得到它多包含的面積單位的個(gè)數(shù)，也就是它的面積. 誰還記得面積單位都是怎么規(guī)定的了？都是以一定邊長(zhǎng)的正方形的面積為標(biāo)準(zhǔn). 師：其實(shí)生活中很多事物的形狀并不都是這樣規(guī)則的，它是由曲線圍成的不規(guī)則圖形. 什么??？猜猜看！野人的腳印. 有什么好辦法能得到這個(gè)腳印的面積呢？那你能直接計(jì)算出它們的面積嗎？我們要想知道它的面積究竟有多大，其實(shí)只需要知道它到底包含幾個(gè)面積單位？要數(shù)的這些格子其實(shí)就是一個(gè)一個(gè)的面積單位，通過數(shù)格子我們就可以知道這個(gè)不規(guī)則的圖形所包含的面積單位的個(gè)數(shù).

通過復(fù)習(xí)規(guī)則圖形的面積，讓學(xué)生知道所有規(guī)則圖形的面積其實(shí)都是用公式很快地得到它多包含的面積單位的個(gè)數(shù). 通過復(fù)習(xí)對(duì)面積單位的規(guī)定，讓學(xué)生知道不同的面積單位其實(shí)都是以一定邊長(zhǎng)的正方形的面積的大小為標(biāo)準(zhǔn). 在引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)規(guī)則圖形面積的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生知道求一個(gè)圖形的面積其實(shí)就是求這個(gè)圖形所包含的面積單位的個(gè)數(shù)，從而讓學(xué)生深刻地體會(huì)到要知道不規(guī)則圖形的面積也是求它所包含的面積單位的個(gè)數(shù)，也就是格子的數(shù)量.

（二）通過不同方法的比較，掌握拼湊和轉(zhuǎn)化兩種策略

1. 數(shù)估大格

（1）拼湊

師：他是怎么數(shù)的？也就是說他在數(shù)之前先對(duì)格子進(jìn)行了分類，整格和不足一格. 老師想問問你在數(shù)的時(shí)候，什么樣的格子不好數(shù)？這不好數(shù)的你是用什么方法數(shù)的？

（2）轉(zhuǎn)化

割補(bǔ)畫長(zhǎng)方形

師：他這是什么方法？把不規(guī)則的腳印轉(zhuǎn)化為規(guī)則的長(zhǎng)方形. （板書：不規(guī)則 規(guī)則）我們都一個(gè)一個(gè)再數(shù)，你能算出來. 他把外面多的部分移給里面少的，其實(shí)也是在拼湊. 只不過剛才湊的是整格，現(xiàn)在湊的是長(zhǎng)方形.

在外面畫長(zhǎng)方形

師：你真厲害！我們都一直瞪著腳印在數(shù)，你沒數(shù)也沒湊，直接在腳印外面圈了一個(gè)長(zhǎng)方形. 行不行？為什么不行？他得到的面積比腳印的面積大了. 有沒有優(yōu)點(diǎn)？可以很快地算出來，不用一個(gè)格一個(gè)格去數(shù)了. 如果我們對(duì)結(jié)果的精準(zhǔn)度沒有那么高要求的時(shí)候，他這個(gè)是完全可以的.

2. 數(shù)估小格

師：看來，要想相對(duì)準(zhǔn)確地得到腳印的面積，無論大格小格把不足一格拼湊成整格確實(shí)是一個(gè)好辦法！但是這個(gè)不足一格的和大格子比起來多多了，一個(gè)一個(gè)拼湊起來你們覺得怎么樣？有沒有不是一一拼湊，但也數(shù)出來的？

（1）拼湊

方法一：（板書：大于半格：1，小于半格：0）

師：少半格的都沒數(shù)，還準(zhǔn)嗎？

方法二：（板書：÷2）

師：他把所有不足一格都加起來再除以2，相當(dāng)于他把所有不足一格的都看成多大了？對(duì)了，半格. 然后再兩兩拼湊成整格. 數(shù)小格的有沒有用不一樣的方法了？

（2）轉(zhuǎn)化

方法一：大長(zhǎng)方形、不足一格都看成一格

師：這回我們可以確定腳印的實(shí)際面積一定小于多少了？剛才我們確定腳印面積一定比那個(gè)小，現(xiàn)在又有這個(gè)小了？怎么回事？剛才大格子圈的旁邊空的地方大，現(xiàn)在小格子圈的空的地方小了，所以就更接近了，范圍也就小了.

方法二：小長(zhǎng)方形、不足一格都不看

師：通過他的方法我們知道了腳印的面積一定比這個(gè)小，那腳印的面積一定比多大大呢？有沒有同學(xué)得到結(jié)論的？你看老師這樣畫行不行？（師用彩筆畫長(zhǎng)方形）腳印的面積是不是一定比它大呢？

師：雖然我們沒有得到腳印的實(shí)際面積到底有多大，經(jīng)過大家的努力，我們確定了一個(gè)范圍，如果你數(shù)得的結(jié)果在這個(gè)范圍內(nèi)就更合理了.

根據(jù)學(xué)生的知識(shí)水平教給學(xué)生一些基本的估計(jì)方法，通過估數(shù)大格、小格不同方法的比較，使學(xué)生掌握拼湊和轉(zhuǎn)化兩種策略.

（三）通過大格和小格的對(duì)比，體會(huì)單位越小測(cè)量的結(jié)果越準(zhǔn)

師：看看左邊的答案是我們數(shù)大格得到的，右邊的答案是數(shù)小格得到的. 你想說點(diǎn)什么？老師現(xiàn)在想問一下你們都誰數(shù)的大格？誰數(shù)的小格？都說說你為什么選它？

師：你們的直覺是小格子準(zhǔn)，觀察這些數(shù)據(jù)的結(jié)果也是小格子的答案比較集中，好像挺準(zhǔn)的，那小格子準(zhǔn)的道理是什么呢？有道理，看來確實(shí)是格子越小數(shù)得的面積就越接近腳印的實(shí)際面積. 那如果格子再小呢？再小呢？那我還想再接近實(shí)際面積，怎么辦？

所有的格子平均分成4份，分成更小的格子，再平均分成4份，分成更小的格子，我們還以重新設(shè)定更小的格子為單位，這樣不斷地去逼近，這個(gè)時(shí)候探索出更逼近實(shí)際的那個(gè)準(zhǔn)確值. 通過調(diào)查學(xué)生剛開始選卡的原因，知道學(xué)生的直覺是格子越小越準(zhǔn). 經(jīng)過后來討論和大小格子的數(shù)據(jù)的對(duì)比，讓學(xué)生明白格子越小越準(zhǔn)的道理.

（四）積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，溝通知識(shí)聯(lián)系，突出面積及測(cè)量本質(zhì)

1. 溝通不規(guī)則圖形與規(guī)則圖形的聯(lián)系，理解求面積的通法通則

師總結(jié)：同學(xué)們，我們一起學(xué)習(xí)了不規(guī)則圖形的面積，其實(shí)無論是規(guī)則的圖形還是不規(guī)則的圖形，我們知道要想知道它的面積究竟有多大，其實(shí)就是要測(cè)量或計(jì)算出它所包含的面積單位的個(gè)數(shù).

數(shù)方格測(cè)量所有圖形面積的通性通法. 無論是規(guī)則的圖形還是不規(guī)則的圖形，我們知道要想知道它的面積究竟有多大，其實(shí)就是要測(cè)量或計(jì)算出它所包含的面積單位的個(gè)數(shù).

2. 溝通測(cè)量面積與長(zhǎng)度、體積的相通之處，突出測(cè)量的本質(zhì)

師：提到測(cè)量，大家一定不陌生. 從一年級(jí)到現(xiàn)在，其實(shí)我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了很多測(cè)量的知識(shí)，比如測(cè)量長(zhǎng)度，測(cè)量面積，還有即將學(xué)習(xí)的立體圖形的測(cè)量. 其實(shí)它們的道理都是一樣的，就根據(jù)實(shí)際的需要選擇合適的單位去量，要想保證測(cè)量結(jié)果的精準(zhǔn)，就要選擇足夠小的單位.

由對(duì)二維面積的測(cè)量，溝通學(xué)生學(xué)過的一維長(zhǎng)度的測(cè)量，后面即將學(xué)習(xí)三維體積的測(cè)量的聯(lián)系，突出測(cè)量的本質(zhì)就是測(cè)量長(zhǎng)度、面積、體積所包含的單位的個(gè)數(shù). 根據(jù)實(shí)際的需要選擇合適的單位去量，要想保證測(cè)量結(jié)果的精準(zhǔn)，就要選擇足夠小的單位.

四、教學(xué)效果與反思

（一）積累經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展

本節(jié)課學(xué)生完整經(jīng)歷了這樣一個(gè)發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，勇敢地去嘗試解決問題的過程. 這才是積極意義上的探索者，而不是亦步亦趨地跟著老師的偽探索，充其量是個(gè)操作工. 學(xué)生可能不懂什么是逼近，但是在這個(gè)過程中它體會(huì)著極限思想，在活動(dòng)中積累著活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). 它今后遇到問題還能去等嗎？他一定是積極地去思考，去解決.

（二）尊重差異，促進(jìn)個(gè)性發(fā)展

本節(jié)課我設(shè)計(jì)了兩種不同的獨(dú)立學(xué)習(xí)卡供學(xué)生選擇，分別是4平方厘米的大格和1平方厘米的小格. 性子急的學(xué)生追求速度，會(huì)選擇大格子的，思維嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)生追求精準(zhǔn)，會(huì)選擇小格子的. 尊重差異，開發(fā)不同的學(xué)習(xí)資源，更有利于促進(jìn)學(xué)生的個(gè)性發(fā)展.

（三）保護(hù)天性，促進(jìn)自主發(fā)展

本節(jié)課我試圖充分保護(hù)學(xué)生的天性. 具體表現(xiàn)在：1.創(chuàng)設(shè)有價(jià)值的情境，保護(hù)學(xué)生愛探究的天性. 2.保護(hù)學(xué)生愛問的天性. 3.保護(hù)學(xué)生愛表達(dá)的天性. 教師不用擔(dān)心講不完，不要擔(dān)心學(xué)生說不明白，要相信學(xué)生，下一名學(xué)生要表達(dá)的很可能正是你著急要說的. 長(zhǎng)此以往，學(xué)生會(huì)越來越愛探究，越來越愛表達(dá)，結(jié)果是越來越喜歡數(shù)學(xué)課.