陳靜

二項(xiàng)式定理研究的是一種特殊的多項(xiàng)式——二項(xiàng)式乘方的展開式，是培養(yǎng)觀察、歸納能力的好題材. 二項(xiàng)式定理是以公式形式表現(xiàn)二項(xiàng)式的正整數(shù)冪的展開式在指數(shù)、項(xiàng)數(shù)、系數(shù)等方面內(nèi)在聯(lián)系的重要定理，集中體現(xiàn)了二項(xiàng)式展開式中的指數(shù)、項(xiàng)數(shù)、系數(shù)的變化. 它是求展開式的某些項(xiàng)（如含指定冪的項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)、中間項(xiàng)、有理項(xiàng)、系數(shù)最大的項(xiàng)等）以及系數(shù)的重要公式.

二項(xiàng)式定理在高考中每年一道題，試題難度不大，與教材習(xí)題相當(dāng). 因此，學(xué)習(xí)時(shí)要重視基礎(chǔ)，熟練掌握二項(xiàng)式定理的展開式、通項(xiàng)公式、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)等原理，不必追求難解題.

系數(shù)問題

例1 [（xy-yx）4]的展開式中的[x3y3]的系數(shù)為________.

解析 方法1：[（xy-yx）4=xy（x-y）4]

[=x2y2（x-y）4，]

故只需求出[x-y4]的展開式中含[xy]的項(xiàng)的系數(shù).

易知所求為[C24?（-1）2=6].

方法2：[Tr+1=Cr4?（xy）4-r?（-yx）r]

[=（-1）r?x4-r?y4-r2?yr?xr2=（-1）r?Cr4?x4-r2?y2+r2.]

依題意得，令[4-r2=3]且[2+r2=3]，解得，[r=2].

所以展開式中的[x3y3]的系數(shù)為[C24?（-1）2=6].

點(diǎn)撥 先化簡(jiǎn)后計(jì)算是解答某些數(shù)學(xué)問題的基本策略，方法1通過對(duì)底式進(jìn)行因式分解化簡(jiǎn)使得問題簡(jiǎn)單化，方法2則是直接套用展開式的通項(xiàng)公式. 若對(duì)二項(xiàng)式展開式的性質(zhì)有更深入的理解，結(jié)合有關(guān)字母次數(shù)的對(duì)稱性也可直接得出展開式中[x3y3]的系數(shù)為[C24（-1）2=6].

例2 二項(xiàng)式[（3x3+1x）n]的展開式的各項(xiàng)系數(shù)的和為[p]，所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為[s]，若[p+s=272]，則[n]等于多少？

解析 若[（3x3+1x）n=a0+a1x+a2x2+???+anxn]，

則[p=a0+a1+???+an]，[s=C0n+…+Cnn=2n].

令[x=1]得，[p=4n].

又[p+s=272]，

即[4n+2n=272?（2n+17）（2n-16）=0]，

解得，[2n=16或2n=-17（舍去）].

[∴n=4].

點(diǎn)撥 要正確區(qū)分各項(xiàng)系數(shù)與各二項(xiàng)式系數(shù)的概念，并知道如何求解. 二項(xiàng)式系數(shù)的和為[C0n+C1n+C2n][+…+Crn+…+Cnn=2n]，各項(xiàng)系數(shù)和只需令各個(gè)字母的值為1即可.

例3 對(duì)于任意實(shí)數(shù)[x]有[x3=a0+a1（x-2）][+a2（x-2）2][+a3（x-2）3]，則[a2=____].

解析 方法1：換元法.

設(shè)[x-2=t]，則[x=t+2].

代入已知等式得，[（t+2）3=a0+a1t+a2t2+a3t3].

所以[a2]為[（t+2）3]的展開式中含[t2]的項(xiàng)的系數(shù)，即[a2=C13?2=6].

方法2：左右兩邊[x2，x3]項(xiàng)的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等得，

[0=a2+a3?C13?（-2）1，a3=1]，故[a2]=6.

方法3：[x3=2+（x-2）3]. 由二項(xiàng)式定理知，展開式中[（x-2）2]的系數(shù)為[C23?2=6].

點(diǎn)撥 兩多項(xiàng)式恒等，就是同次冪項(xiàng)系數(shù)對(duì)應(yīng)相等，據(jù)此有多種渠道求解. 方法1、方法3就思路而言本質(zhì)相同，兩種方法均體現(xiàn)了整體思想.

常數(shù)項(xiàng)問題

例4 如果[（3x2-2x3）n]的展開式中含有非零常數(shù)項(xiàng)，則正整數(shù)[n]的最小值為 .

解析 [Tr+1=Crn（3x2）n-r（-2x3）r=Crn3n-r（-2）rx2n-5r]，

依題意知，[2n-5r=0]有解.

因?yàn)閇n]為正整數(shù)，[r]為小于[n]的自然數(shù)，且[r=25n]，

所以[n]的最小值為5.

點(diǎn)撥 對(duì)展開式中項(xiàng)的特征進(jìn)行考查是常考題型. 本題涉及整除問題，要使[n]與[r]滿足范圍，[n]一定是5的倍數(shù)，所以[n]的最小值為5.

例5 求[（1+x3）6?（1+1x4）10]展開式中的常數(shù)項(xiàng).

解析 [（1+x3）6?（1+1x4）10]的展開式的通項(xiàng)為[Cm6?xm3?Cn10?x-n4][=Cm6?Cn10?x4m-3n12]，其中[m]=0，1，2，…，6，[n]=0，1，2，…，10，

當(dāng)且僅當(dāng)[4m=3n]，即[m=0，n=0，]或[m=3，n=4，]或[m=6，n=8，]時(shí)，

故展開式中的常數(shù)項(xiàng)為[C06?C010+C36?C410][+C66?C810][=4246].

例6 [（1+x+x2）（x+1x3）n]的展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)，[n∈N*]，[2≤n≤8]，則[n]= .

解析 [（x+1x3）n]的展開式的通項(xiàng)為

[Tr+1=Crn?xn-r?1x3r=Crn?xn-4r].

要使[（1+x+x2）（x+1x3）n]的展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)，只需[（x+1x3）n]展開式中沒有[x0，x-1，x-2]項(xiàng)即可.

故[n-4r≠0，-1，-2]，

所以[n≠4r，n≠4r-1，n≠4r-2， 2≤n≤8].

由數(shù)的分類知，[n=4r-3]，所以[2≤4r-3≤8]且[r]為整數(shù)，解得[r=2，n=5].

點(diǎn)撥 在處理這類題目的時(shí)候，要用到一些整數(shù)的知識(shí)，如互質(zhì)概念、整除問題、整數(shù)分解成質(zhì)因數(shù)、余數(shù)問題等.

賦值求值問題

例7 若[（1-2x）2016=a0+a1x+…+a2016x2016][（x∈R）]，

則[a12+a222+…+a201622016]=______.

解析 取[x=12]得，

[a12+a222+…+a201622016=][（1-2×12）2016-a0].

取[x=0]得，[a0=1].

故所求式子的值為[-1].

點(diǎn)撥 本題涉及展開式中的系數(shù)問題，除了通項(xiàng)公式外，可以從系數(shù)的特征出發(fā)采用行之有效的手段. 本題看上去很復(fù)雜，但將已知式的右端和所求式進(jìn)行比對(duì)，容易想到對(duì)[x]進(jìn)行賦值求解.

[練習(xí)]

1. [（1+x）n=a0+a1x+…+anxn]，若[a1+a2+…+an]=63，則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是 .

2. 在[（x3+1x）20]的展開式中，[x]的冪指數(shù)是整數(shù)的項(xiàng)共有 項(xiàng).

3.若[（x-1）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4]，則[a0]+[a2][+a4]的值為 .

[參考答案]

1. 令[x=1]得，[2n=a0+a1+a2+…+an].

∵[a0=C0n=1]，且[a1+a2+…+an=63]，

∴[2n=64]，即[n=6].

則[（1+x）n]的展開式有7項(xiàng)，展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)，[T4=C46x3=20x3].

2. 展開式的通項(xiàng)是[Tr+1=Cr20?x20-r3?x-r2=Cr20?x40-5r6.]

因?yàn)閇x]的冪指數(shù)是整數(shù)，則[40-5r]必須是6的倍數(shù).

所以[r]=2，8，14，20，即[x]的冪指數(shù)是整數(shù)的項(xiàng)共4項(xiàng).

3. 令[x=1]，則[a0+a1+a2+a3+a4=0]；

令[x=-1]，則[a0-a1+a2-a3+a4=16].

則[a0+a2+a4=8].