常建偉

應(yīng)用題通常以實(shí)際生活為背景主要考查學(xué)生的建模能力以及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.三角是一個(gè)非常重要的解題工具，廣泛應(yīng)用于物理學(xué)、航海、建筑設(shè)計(jì)、測(cè)量、國(guó)防等社會(huì)生活實(shí)踐中.以三角為背景的應(yīng)用題多次出現(xiàn)在高考試題中.

解答三角背景應(yīng)用題一般分為以下四個(gè)步驟：（1）審題：讀懂題意，理順問(wèn)題中的條件和結(jié)論，找到關(guān)鍵量；（2）建模：將文字語(yǔ)言或者圖形語(yǔ)言“翻譯”轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言，結(jié)合關(guān)鍵量之間的數(shù)量關(guān)系構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；（3）解模：分析數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行求解（常利用基本初等函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)、基本不等式等知識(shí)進(jìn)行求解），并得到相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)論；（4）還原：將求出的數(shù)學(xué)解結(jié)合問(wèn)題的實(shí)際意義寫(xiě)結(jié)論，并作答.整個(gè)解題過(guò)程中審題是基礎(chǔ)，建模是關(guān)鍵.能否正確地建立數(shù)學(xué)模型將影響整個(gè)解題的過(guò)程，其中求解的過(guò)程是難點(diǎn).下面例析常見(jiàn)三角背景應(yīng)用題的三種題型，供大家參考.

一、解三角形模型

例1如圖1，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑.一種是從A沿直線(xiàn)步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車(chē)到B，然后從B沿直線(xiàn)步行到C.現(xiàn)有甲.乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50 m/min.在甲出發(fā)2 min后，乙從A乘纜車(chē)到B，在B處停留1 min后，再?gòu)腂勻速步行到C.假設(shè)纜車(chē)勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的速度為130 m/min，山路AC長(zhǎng)為1260 m，

點(diǎn)評(píng)主要考查了三角形中的正、余弦定理及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，兩角和的正弦等.另外也考查了二次函數(shù)的最值.此類(lèi)題型涉及高度、夾角、距離等問(wèn)題.其實(shí)質(zhì)是解三角形，其關(guān)鍵是要畫(huà)好示意圖，搞清已知量與未知量之間的關(guān)系，再利用解三角形相關(guān)知識(shí)求解.

二、借助基本不等式求最值模型

例2如圖2，兩座建筑物AB，CD的底部都在同一個(gè)水平面上，且均與水平面垂直，它們的高度分別是9 cm和15 cm，從建筑物AB的頂部A看建筑物CD的視角∠CAD=45°.

（1）求BC的長(zhǎng)度；

（2）在線(xiàn)段BC上取一點(diǎn)P（點(diǎn)P與點(diǎn)B，C不重合），從點(diǎn)P看這兩座建筑物的視角分別為∠APB=α，∠DPC=β，問(wèn)點(diǎn)P在何處時(shí)，α+β最??？

點(diǎn)評(píng)本題涉及兩角和的正切及不等式的應(yīng)用，關(guān)鍵是充分分析條件，建立合理的三角函數(shù)關(guān)系.不等式問(wèn)題在實(shí)際中應(yīng)用廣泛，主要涉及最優(yōu)化問(wèn)題、最值問(wèn)題等均可借助不等式模型采解決.

三角類(lèi)應(yīng)用題涉及知識(shí)廣泛，內(nèi)容豐富，能充分發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，具有很好的教育實(shí)踐價(jià)值.解答三角應(yīng)用題的方法通常是引入角作為參變量，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，利用正弦定理、余弦定理、勾股定理及函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式等知識(shí)綜合運(yùn)用解決問(wèn)題.