朱福勝

摘要：數(shù)學對象往往具有兩重性，既是現(xiàn)實內(nèi)容的反映，又具有充分的構(gòu)造性。自從有了數(shù)學，就有對數(shù)學對象性質(zhì)的不同認識。無窮集合的客觀性、連續(xù)統(tǒng)假設的獨立性、數(shù)學思維的自由性等問題對傳統(tǒng)的數(shù)學實在論提出了嚴峻挑戰(zhàn)。數(shù)學實在論的發(fā)展遵循不同的方式途徑，表現(xiàn)在淡化本體論、注重實用主義，強調(diào)概念構(gòu)造等不同思維立場上。

關鍵詞：數(shù)學哲學；實在論；數(shù)學對象

doi：10.16083/j.cnki.1671——1580.2016.07.021

中圖分類號：O1-0 文獻標識碼：A 文章編號：1671—1580（2016）07—0085—04

對數(shù)學本體論的討論，通常是一個數(shù)學哲學理論的起點，也是其整個理論的焦點。關于數(shù)學的本質(zhì)，每個數(shù)學家、哲學家由于其研究經(jīng)歷及視角的不同，都可能對數(shù)學給出不同的解釋。隨著時代的進步和數(shù)學的發(fā)展，我們不宜固守在某種關于數(shù)學的觀點，而應實事求是地去分析和評價各種不同的理論觀點，并隨著數(shù)學自身的發(fā)展以及內(nèi)涵的日益豐富去我們拓展的認識。

一、數(shù)學對象實在論問題的由來

數(shù)學對象的存在性問題可以具體地表述為：數(shù)學概念是否反映客觀的真實存在？數(shù)學概念與客觀實體的關系如何？數(shù)學概念是否獨立于客觀實體之外？數(shù)學對象具有怎樣的性質(zhì)？如何來正確理解數(shù)學對象的存在？

在數(shù)學萌芽時期的原始社會，數(shù)學的研究對象是名數(shù)。數(shù)學的研究對象往往是源于客觀實體的，數(shù)總是與某種實在的東西（如手指、貝殼）相聯(lián)系，而不是僅僅被抽象地想象。正如布留爾所言：“在古代原始人的視角中，數(shù)的應用總是或多或少與被計數(shù)的實體聯(lián)系著。在群體的思維表象中，數(shù)學以及數(shù)的名稱與其說它們是算術(shù)的單位，還不如說數(shù)是一種神秘的實體存在?！?/p>

人類經(jīng)過漫長的認識發(fā)展，才使數(shù)脫離具體事物，成為純粹抽象的概念。在相當長的時期內(nèi)，人們總是把數(shù)學對象看作像真實的東西那樣。例如，畢達哥拉斯學派強調(diào)，宇宙的本質(zhì)是數(shù)學對象，一是數(shù)學的源泉，一生二，再由一、二生出各種數(shù)字，各種數(shù)字結(jié)合空間圖形再衍生出點、線、面、體等。由此可以得出可感事物是由數(shù)構(gòu)成的，數(shù)成為萬物的基礎，數(shù)學對象獨立存在于可感知的事物之中。

古希臘哲學家柏拉圖相信數(shù)學對象存在于“理念世界”，它是一種獨立于人類思維的存在。亞里士多德批判了畢達哥拉斯學派和柏拉圖關于數(shù)學對象獨立存在的觀點。他認為，一不是普遍的事物存在形式，它僅僅是一種計量單位，一與二，一與其它數(shù)字之間僅是一種關系、一種屬性；數(shù)學對象只是一種抽象的可能性。數(shù)學對象并不表示真實的存在，數(shù)學對象抽象地存在于具體事物之中，它們恰恰僅僅是數(shù)學家抽象思維的產(chǎn)物，即是一種思維抽象的可能性，一個定義僅僅是讓我們明白對象的外延和內(nèi)涵，但這不能成為它存在的證據(jù)。例如，三等分的任意角、正十面體，這些概念都可以有明確的定義，但它們都是不存在的，所以定義了的東西是否存在有待于證明。亞里士多德的觀點“使人們開始認識到抽象和具體的關系，使人類思想史前進了一步”。

其實，亞里士多德和柏拉圖在數(shù)學本體論上的爭論主要是圍繞“數(shù)學對象如何存在的問題”，即數(shù)學對象存在于實體中，還是一種與客觀事物分離、在客觀事物以外的獨立存在？這個問題涉及到“一般”或“共相”的實在性問題，這也引起了中世紀歐洲實在論與唯名論的長期斗爭。實在論者斷言，共相是一種真實的存在，而且只有在共相存在的基礎上，才有個體的存在；唯名論者則認為只有個別的、具體的事物才是客觀存在的。

盡管數(shù)學的本體論問題早就引起了哲學家們的興趣，但是，在16世紀以前，數(shù)學家對此并沒有給予真正的關注，“在當時的數(shù)學家們看來，他們無須為數(shù)學的本體論問題‘操心，因為，數(shù)學命題所具有的明顯的客觀意義及其絕對真理性已經(jīng)充分保證了他們的工作的意義?！彪S著數(shù)學自身的發(fā)展，情況逐漸發(fā)生了變化，許多數(shù)學概念和對象仿佛只是思維“自由想象”的產(chǎn)物，與客觀現(xiàn)實并無直接的聯(lián)系。對于這種發(fā)展M·克萊因曾這樣予以描述：“數(shù)學家們無意中逐漸引進了一些沒有或很少有直接物理意義的概念，其中負數(shù)和復數(shù)是最令人費解的，因為這兩種數(shù)在自然界中沒有‘實在性……則迫使人們認識到數(shù)學的人為性?！边@種對于新的數(shù)學對象的合理性和客觀實在性的懷疑導致了關于數(shù)學對象的本體論問題的進一步研究。

二、現(xiàn)代數(shù)學實在論的困境

數(shù)學實在論相信數(shù)學對象獨立于人類的思維，它是一種獨立的存在。這種觀念在一定意義上可以看成柏拉圖的哲學思想及中世紀的實在論觀念的延續(xù)。確信數(shù)學概念、數(shù)學世界獨立于思維而存在是數(shù)學實在論觀念的核心。實在論由于其本身的不徹底性，無法充分解釋數(shù)學對象的存在形式、存在性質(zhì)，因此也就無法正確分析數(shù)學對象的客觀意義。19世紀末，數(shù)學在超窮數(shù)理論的進展促使康托爾站在實無窮的立場上，遠離數(shù)學和哲學上關于數(shù)學對象的傳統(tǒng)觀點，從而引起了數(shù)學家、哲學家的廣泛關注，康托爾的數(shù)學工作對哲學視角的影響恐怕遠超越其對數(shù)學領域的影響。圍繞著如何認識超窮數(shù)及其方法的問題，數(shù)學實在論遇到了前所未有的挑戰(zhàn)。

從無窮集合的認識角度看，實在論者往往對無窮集合的客觀存在性持肯定的態(tài)度，在他們看來，假設我們確信數(shù)學對象具有客觀實在性，那么我們借助數(shù)學概念、數(shù)學對象進行思維就是理所當然的事情，于是我們就有理由相信數(shù)學是早已客觀存在著，數(shù)學的存在等待著數(shù)學家去還原、去發(fā)現(xiàn)。相反的，形式主義者對實無窮概念的實在性問題持完全否定的態(tài)度。他們認為，無論何處，無論何時，無限都是不可能實現(xiàn)的，我們無法想象自然界中存在無限，無限也無法成為人類進行合理思維的可靠基礎。柯亨說：“我相信任何實在論者都會承認的一個弱點是，他沒有能力說明象更高的無窮公理這樣無窮無盡的序列的根源。當考慮一個充分不可達的基數(shù)時，甚至連最堅定的實在論者也一定會退卻的。”事實上，數(shù)學對象、數(shù)學概念本身就具有兩重性，一方面它是人類抽象思維的結(jié)果，具有相對的獨立性，另一方面，它又包含一定的客觀內(nèi)容，體現(xiàn)人類思維對外部客觀世界的間接能動反映。“數(shù)學概念是理想的、抽象的完美事物，在現(xiàn)實中不存在那樣的客觀事物，同樣的，實無限包含有無限多元素，這在現(xiàn)實經(jīng)驗中也是無法理解的，它恰恰是一種構(gòu)造的理想物，反映了某種客觀實在關系而已?！?/p>

同時，從無窮基數(shù)的認識性質(zhì)上看，連續(xù)統(tǒng)假設的獨立性證明是對實在論的有力駁斥。因為，按照實在論的觀點，實數(shù)系那樣的對象是一種獨立于我們認識的客觀存在，因此它們的基數(shù)是有客觀標準的，即是多大就是多大，而不能是任意的，從而連續(xù)統(tǒng)假設也就必然或者為真、或者為假。然而，由于連續(xù)統(tǒng)假設的不可判定性，這就允許有各種體系的集合論，在不同體系中連續(xù)統(tǒng)的基數(shù)是各不相同的。顯然，基于這樣的理解，連續(xù)統(tǒng)問題就不具有任何客觀意義。相反地，實在論者指出，連續(xù)統(tǒng)假設獨立性的結(jié)論并不能成為實在論錯誤的依據(jù)。例如，哥德爾認為，這一結(jié)果“決不意味著問題的解決，……而只是意味著這些公理系統(tǒng)沒有包括那個實在的完備的描述”。因此，哥德爾認為我們就應進一步去發(fā)展集合理論，而在足夠發(fā)展了的集合論理論中，連續(xù)統(tǒng)問題就是可以判定的了。

在另一理論立場上，反實在論也給現(xiàn)代實在論帶來了較大的沖擊。反實在論觀點的主要優(yōu)越性就在于它能容納各種“自由”的創(chuàng)造。按照反實在論的觀點，數(shù)學的研究對象就是形式理論，它既與客觀實際無關，也不必具有直覺上的“可信性”，因此，數(shù)學家們就可任意地去研究各種可能的形式理論；而如果接受了實在論的觀點，那么我們只能認識，而不能創(chuàng)造數(shù)學對象，因為數(shù)學對象是先于數(shù)學活動而存在的，數(shù)學家的工作僅僅是發(fā)現(xiàn)數(shù)學對象，而不是去創(chuàng)造數(shù)學結(jié)構(gòu)、數(shù)學對象，但這勢必造成對創(chuàng)造性思想的壓制。“數(shù)學在它自身的發(fā)展中完全是自由的，對它的概念的限制只在于：必須是無矛盾的并且和先前由確切定義引進的概念相協(xié)調(diào)……數(shù)學的本質(zhì)就在于它的自由?！睌?shù)學思維的自由性表現(xiàn)在數(shù)學的對象是由數(shù)學家按“明確的定義”得到“形式的建構(gòu)”，如虛數(shù)的引入、四元數(shù)的創(chuàng)立等。數(shù)學史表明：由于解方程過程中出現(xiàn)了負數(shù)開平方的問題，由于在實數(shù)領域內(nèi)負數(shù)沒有平方根，于是就形式定義虛數(shù)單位i。更有甚者，即使對同一數(shù)學對象，不同的數(shù)學家則完全有可能采取不同的建構(gòu)形式，如集合論的公理系統(tǒng)，就有ZF系統(tǒng)、BG系統(tǒng)、NF系統(tǒng)和ML系統(tǒng)。從數(shù)學史的角度，概念的自由性表現(xiàn)在不斷地從根本上擴展它的對象，上升到更高的抽象層次。例如，《幾何原本》的幾何對象點、線、面具有較明顯的直觀意義，而在《幾何基礎》里，雖然沿用歐幾里得的術(shù)語，但這三個基本概念既沒有定義，也沒有作直觀的解釋，是“任意的對象”，它們只與所選擇的公理有關，在希爾伯特看來，歐幾里得關于點、線、面的定義，在數(shù)學上并不重要，這種觀點充分體現(xiàn)了數(shù)學思維和數(shù)學構(gòu)造的自由性。

三、數(shù)學實在論的嬗變與超越

由上分析可以看出，隨著數(shù)學研究的不斷深入和抽象程度的提高，許多數(shù)學對象并不具有直觀背景，數(shù)學不僅研究現(xiàn)實的數(shù)量以及數(shù)學關系，而且研究“構(gòu)造的”、“可能的”數(shù)量及其數(shù)學關系。由于實在論本身的局限性，數(shù)學實在論受到相當?shù)奶魬?zhàn)，這就迫使人們摒棄傳統(tǒng)的視野，去尋求新的理解和突破，研究者從不同了思路提出了各自的思維策略和解決方案。

（一）淡化本體論的立場

20世紀初，數(shù)學哲學理論出現(xiàn)了不重視本體論問題研究的傾向，如以數(shù)學基礎研究為中心的數(shù)學哲學理論，不論是邏輯主義、形式主義還是直覺主義，其出發(fā)點都是要為已有的數(shù)學理論奠定一個基本的、統(tǒng)一的、可靠的基礎，其著眼點在于對數(shù)學知識的邏輯結(jié)構(gòu)分析。由于數(shù)學基礎研究各個學派的研究規(guī)劃均未能獲得成功，況且，哥德爾不完備性定理的出現(xiàn)更是徹底擊潰邏輯主義、形式主義的構(gòu)想，這也意味著數(shù)學基礎研究黃金時代的褪去。

淡化本體論研究的更為極端的表現(xiàn)是在數(shù)學對象的實在性問題上采取反本體論的立場。反本體論，簡單地說，就是認為本體論問題是毫無意義的，或者說很難形成關于本體論的科學認識。例如，卡爾納普應用語義學觀點闡述了抽象數(shù)學對象的存在性問題并表明其反本體論的觀點。“對我個人來說，維特根斯坦可能是除羅素和弗雷格以外對我的哲學思考影響最大的哲學家。我從他的著作中所獲得的最重要的觀點是：邏輯陳述的真理性僅僅依據(jù)其邏輯的結(jié)構(gòu)和詞語本身的意義。”他強調(diào)，當我們認為數(shù)學對象是存在的，這只有當它相對于其所歸屬的數(shù)學系統(tǒng)才有其存在的意義。如果我們考慮更為根本的、先于數(shù)學系統(tǒng)的存在依據(jù)，那么由于這類問題不具有認識的指向性及認識的內(nèi)容，因此這類問題是一種假問題，也是沒有任何意義的。為了進一步說明他的觀點，卡爾納普區(qū)分了兩種不同的存在性問題。他認為，當人們談到一種新的數(shù)學對象時，他自然地借助一種新的話語系統(tǒng)，引入一種新的說話邏輯，這也同時給新的數(shù)學研究對象提供了討論范疇及其語言框架?；谶@個語言框架，我們可以很好地區(qū)分兩種不同的存在：一方面，在這個范疇體系及語言框架內(nèi)對象存在性的問題，我們暫且稱之為內(nèi)部問題；又一方面，作為一個整體的范疇體系、語言框架的存在性問題，我們把它看作是外部問題。內(nèi)部存在性只是表明對象相對于語言結(jié)構(gòu)的存在性，因此它就不是一種真正意義上的本體論問題。外部存在性問題，它是不可能解決的，因為它主要取決于是否接受一種新的語言形式的問題，而無法被判定為真或假，而只能判定它的便利和有用的程度。

（二）實用主義的立場

實用主義作為現(xiàn)當代西方的一種重要哲學流派，對數(shù)學哲學也有很大的影響。在本體論的選擇問題上，數(shù)學哲學家奎因的判別標準則顯然站在實用主義的立場上。在奎因看來，數(shù)學本體論問題其出發(fā)點在于為數(shù)學提供一種簡便的、可能的語言系統(tǒng)和概念框架，如果依此原則，數(shù)學在本體論問題上就不適宜將數(shù)學對象是否與客觀事物相符合作為數(shù)學對象取舍的標準，而應探討是否方便可行，并將它作為標準。存在并不是完全無條件的，存在總是在一定的時空及語境中，況且不是所有的抽象對象都是合理的，也不見得都是存在的，例如當我們考慮數(shù)、函數(shù)與集合、關系的相互作用時，我們可以看到，具體對象依附于集合，當數(shù)、函數(shù)只有被解釋為集合中的關系或?qū)傩詴r，它們才具有關系意義，這樣的抽象存在也才具有意義。

普特南在奎因工作的基礎上，發(fā)展了“不可或缺性論證”理論。概括地說，“不可或缺性論證”假設數(shù)學概念、數(shù)學世界對于科學而言是必須的，科學在現(xiàn)實世界的成功實踐也同樣確證了數(shù)學對象的假設?！安豢苫蛉毙哉撟C”的推理邏輯為：首先，實分析訴諸于抽象實體“實數(shù)”，如果我們接受了實分析公理的真理性，承認這些抽象實體的存在性就是不言而喻的，由于實分析系統(tǒng)對于物理學而言是不可或缺的，換句話說，沒有借助實分析的語言系統(tǒng)，現(xiàn)代物理學的創(chuàng)立就只是一種空中樓閣。那么，我們基于物理學的真理性確信實數(shù)系統(tǒng)的真理性，從而實數(shù)是存在的。

（三）概念構(gòu)造的立場

概念論在數(shù)學對象的客觀性問題上，是與直覺主義一脈相承的，只不過是更精制罷了。直覺主義認為數(shù)學是一種個體的創(chuàng)造性活動，是人類心智的固有特性，它僅僅是個體的主觀心智活動，并不是尋求對外部客觀實在的描述。在直覺主義者看來，只有建立在“數(shù)學直覺”之上的數(shù)學才是可靠的，“存在必須等于被構(gòu)造”。

概念論者認為：數(shù)學對象作為抽象實體是存在的。但是，這種存在是有條件的，它只存在于思想之中，而不存在于客觀世界，正如薩普所說：“我們并不否定實在的或?qū)嶋H的抽象對象的存在……但是，我們關于這些實際的抽象對象采取一種有限論的或心靈主義的觀點”。雖然概念論也承認數(shù)學中的少數(shù)概念具有完全實體性的存在，不過，在概念論看來，“數(shù)學對象”沒有獨立的或超出概念之外的存在，參照它們只是談論概念的一種方式。概念論的這種態(tài)度表明它的重心在于厘清數(shù)學自身的本質(zhì)，并不試圖尋求回答更大范圍內(nèi)的哲學問題，這與直覺主義的觀點是一脈相承的，他們的任務就是理解數(shù)學，不需要作過多哲學的解釋。當然，概念論的有些看法也是比較極端的，如認為概念是純粹心靈的，構(gòu)造不需要語言，這是不合理的，也不符合數(shù)學概念自身的創(chuàng)造過程。

[責任編輯：韓璐]