王　琦，叢　悅，高飛星

(河北科技大學(xué)理學(xué)院，河北石家莊　050018)

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直徑圖為11圈的7距離集研究

王琦，叢悅，高飛星

(河北科技大學(xué)理學(xué)院，河北石家莊050018)

摘要：如果平面點(diǎn)集X中的任意兩點(diǎn)確定的互異距離數(shù)為k，則稱X為k距離集。用d(x,y)表示平面上互異兩點(diǎn) x,y之間的距離，記X中的最大距離為直徑D=D(X)。直徑圖DG(XD)是由X中所有直徑構(gòu)成的圖，XD表示其頂點(diǎn)集。討論了當(dāng)X是一個(gè)7距離集時(shí)，直徑圖DG(XD)的構(gòu)型。利用DG(XD)中最多包含一個(gè)圈，且只能為奇圈的特性，以及直徑所具有的特殊性，證得當(dāng)直徑圖為11圈時(shí)，其頂點(diǎn)集XD恰好為某正十一邊形的頂點(diǎn)集。

關(guān)鍵詞：離散幾何；互異距離；直徑圖；奇圈; 7距離集

給定平面點(diǎn)集X，如果X中的任意兩點(diǎn)確定的互異距離數(shù)為k，則稱X為k距離集。d(x,y)表示平面上互異兩點(diǎn)x，y之間的距離，記X中的最大距離為直徑D=D(X)。設(shè)XD={x∈X:存在y∈X，使得d(x,y)=D},m=m(X)=|XD|表示XD中的元素個(gè)數(shù)。Rn表示正n邊形頂點(diǎn)所構(gòu)成的集合，Rn-i表示正n邊形中n-i個(gè)頂點(diǎn)組成的集合。文獻(xiàn)[1]中引入了直徑圖DG(XD)的概念，直徑圖DG(XD)是由X中所有直徑構(gòu)成的圖，顯然直徑圖中不含有孤立的點(diǎn)。Cn表示n個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的一個(gè)圈。當(dāng)有n個(gè)點(diǎn)時(shí)，加法運(yùn)算在模n的基礎(chǔ)上進(jìn)行。ERD?S等[2]討論了確定k距離的最大點(diǎn)集，記最大點(diǎn)集所含點(diǎn)數(shù)為g(k)，給出g(1)=3，g(2)=5，g(3)=7，g(4)=9，g(5)=12，對(duì)最多5距離集給出了詳細(xì)的討論，提出了兩大猜想：g(6)=13且這樣的13點(diǎn)集只有3個(gè)；確定g(k)(k≥7)的最大點(diǎn)集只能是正三角形格集的點(diǎn)構(gòu)成。文獻(xiàn)[3]論證了3距離集的構(gòu)造。SHINOHARA在文獻(xiàn)[1]論證了12點(diǎn)5距離集的構(gòu)造唯一性。文獻(xiàn)[4—7]中給出了11點(diǎn)5距離集的構(gòu)造，7點(diǎn)4距離集的構(gòu)造，證明了最大6距離集為13點(diǎn)集的猜想, 即g(6)=13。在文獻(xiàn)[7]中對(duì)直徑圖為圈C2k-3的k距離集進(jìn)行了分析。相關(guān)的研究見文獻(xiàn)[8—15]。本文對(duì)直徑圖進(jìn)行了研究， 設(shè)X是一個(gè)7距離集，如果DG(XD)=C11，那么必有XD=R11。

1相關(guān)引理

引理1[2]設(shè)D為平面n點(diǎn)集X的直徑，其中n≥3，m=|XD|，那么：

1)如果m≥3，那么XD的點(diǎn)是凸m邊形的頂點(diǎn)；

引理2[1]在X中，設(shè)直徑圖G=DG(X)。那么可以得到：

1)當(dāng)k≥2時(shí)，G中不包含C2k，即G中只能包含奇圈。

2)G中最多只能包含一個(gè)圈。

引理3[4]在平面點(diǎn)集X中，設(shè)XD={1,2,…,m}，m=|XD|，m個(gè)點(diǎn)逆時(shí)針順序連續(xù)排列，S?XD，S={k,k+1,k+2,…,k+l-1}。如果線段[k,k+l-1]是S中的最長線段，且d(k,k+i)

2主要結(jié)論

定理設(shè)X是7距離集，如果DG(XD)=C11，那么XD=R11。

證明設(shè)X是一個(gè)7距離集，且D=d1>d2>d3>d4>d5>d6>d7，DG(XD)=C11。通過引理1，可知XD是一個(gè)凸集。設(shè)XD={1,2,3,…,11}，點(diǎn)1,2,3,…,11按逆時(shí)針連續(xù)排列。定義線段[i,i+1]為XD的邊，其中i∈XD。已知g(4)=9，g(5)=12，因此XD至少是5距離集。如果XD是一個(gè)5距離集，那么XD=R11，見文獻(xiàn)[5]。如果XD是一個(gè)6距離集，DG(XD)≠C11，見文獻(xiàn)[5]的定理13。

下面討論XD是一個(gè)7距離集的情形。根據(jù)引理3，可以得到d7≤d(x,x+1)≤d5，其中x∈XD。可以斷定XD的邊長不全部相等。事實(shí)上，如果XD的所有邊長相同，那么XD中的所有點(diǎn)都共圓，于是XD=R11，和XD是一個(gè)7距離集不符。下面分3種情形來證明。

情形1XD的邊長均不為d5。

如果XD有10條邊長度相等，那么它的所有點(diǎn)都在一個(gè)圓上，矛盾。于是XD最多有9條邊相等。

情形1.1XD中有2條邊長度為d6或2條邊長度為d7(d6與d7討論類似，2條邊為d7的討論省略)。

設(shè)XD中有2條邊長度為d6。假設(shè)d(1,11)=d6，下面分5種類型討論。

如果d(10,11)=d6，顯然點(diǎn)1，2，3，4，5，6，7，8，9，10共圓。因?yàn)閐(5,6)=d(6,7)，那么點(diǎn)1，5，7，11共圓。于是點(diǎn)5，6，10，11共圓，即d7=d(5,6)=d(10,11)=d6，矛盾。

如果d(9,10)=d6，那么點(diǎn)1，2，3，4，7，8，9共圓，點(diǎn)1，2，6，8共圓。為了敘述方便，下文中出現(xiàn)的a,b分別表示點(diǎn)10，11。因?yàn)椤?1b=∠ab1，于是點(diǎn)1，2，10，11共圓。∠1ba=∠9ab，于是點(diǎn)1，9，10，11共圓。因此點(diǎn)3，4，9，10共圓，即d7=d(3,4)=d(9,10)=d6，矛盾。

如果d(8,9)=d6，那么點(diǎn)3，4，5，6，9，10，11共圓，點(diǎn)1，3，9，11共圓。于是得到點(diǎn)1，5，6，11共圓，即d6=d(1,11)=d(5,6)=d7，矛盾。

如果d(7,8)=d6，那么點(diǎn)2，3，4，5，6，8，9，10，11共圓。因?yàn)椤?78=∠987，所以點(diǎn)6，7，8，9共圓。于是得到點(diǎn)2，3，7，8共圓，即d6=d(7,8)=d(2,3)=d7，矛盾。

如果d(6,7)=d6，顯然XD中的所有點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，即d6=d(1,11)=d(5,6)=d7，矛盾。

情形1.2XD中有3條邊長度為d6或者3條邊長度為d7(d6與d7討論類似，3條邊為d7的討論省略)。

XD中有3條邊長度為d6。假設(shè)d(1,11)=d6。

情形1.2.1XD中至少有2條長度為d6的邊是相鄰的。下面分5種類型討論。

如果d(10,11)=d(9,10)=d6，那么點(diǎn)1，2，3，4，7，8，9共圓。由于∠345=∠456=∠567，得到點(diǎn)3，4，5，6，7共圓，且點(diǎn)3，5，9，10共圓。于是得到點(diǎn)4，5，9，10共圓，即d6=d(9,10)=d(4,5)=d7，矛盾。

如果d(10,11)=d(8,9)=d6，那么點(diǎn)1，2，3，6，7，8共圓。因?yàn)椤?35=∠653，所以點(diǎn)2，3，5，6共圓。于是可以得到點(diǎn)5，6，7，8共圓，即∠567=∠876，矛盾。

如果d(10,11)=d(7,8)=d6，那么點(diǎn)2，3，4，5，8，9，10共圓。由于∠125=∠652，點(diǎn)1，2，5，6共圓。于是得到點(diǎn)3，4，5，6共圓，即∠345=∠456，和已知∠345≠∠456矛盾。

如果d(10,11)=d(6,7)=d6，那么點(diǎn)1，2，3，4，5，7，8，9，10共圓，點(diǎn)4，6，10，11共圓?！?7a=∠ba7，所以點(diǎn)6，7，10，11共圓。于是可以得到點(diǎn)1，2，6，7共圓，即d6=d(6,7)=d(1,2)=d7，矛盾。

如果d(10,11)=d(5,6)=d6，顯然XD中的所有點(diǎn)共圓，這意味著d6=d(1,11)=d(6,7)=d7，矛盾。

情形1.2.2XD中任意2條長度為d6的邊是不相鄰的。下面分5種類型討論。

如果d(9,10)=d(7,8)=d6，那么點(diǎn)4，5，6，10，11共圓。由于∠67a=∠ba7，點(diǎn)6，7，10，11共圓。于是可以得到點(diǎn)4，5，6，7共圓，即d(4,6)=d(5,7)。然而已知∠456≠∠567，d(4,6)≠d(5,7)，因此矛盾。

如果d(9,10)=d(6,7)=d6，由于∠21b<∠678，d5≤d(2,11)

如果d(9,10)=d(5,6)=d6，那么∠21b<∠567，因此d5≤d(5,7)

如果d(8,9)=d(5,6)=d6，于是∠567<∠21b，得到d5≤d(5,7)

如果d(8,9)=d(4,5)=d6，∠9ab=∠567=∠234，也就是說d(5,7)=d(9,11)=d(2,4)，d(3,7)=d(2,9)。然而已知∠239≠∠327，即d(3,7)≠d(2,9)，矛盾。

情形1.3XD中有4條長度為d6或4條長度為d7的邊(d6與d7討論類似，4條邊為d7的討論省略)。

XD中有4條長度為d6的邊。假設(shè)d(1,11)=d6。

情形1.3.1XD中至少有3條長度為d6的邊是相鄰的。下面分4種類型討論。

如果d(10,11)=d(9,10)=d(8,9)=d6，那么點(diǎn)1，2，3，4，5，6，7，8共圓，且點(diǎn)2，4，8，9共圓。于是可得點(diǎn)2，3，8，9共圓，即d6=d(8,9)=d(2,3)=d7。

如果d(10,11)=d(9,10)=d(7,8)=d6，那么點(diǎn)2，3，4，8，9共圓。因?yàn)椤?19=∠891，所以點(diǎn)1，2，8，9共圓。且點(diǎn)1，3，7，8共圓。因此得到點(diǎn)1，2，7，8共圓，即d6=d(7,8)=d(1,2)=d7，矛盾。

如果d(10,11)=d(9,10)=d(6,7)=d6，∠21b<∠678，所以d5≤d(2,11)

如果d(10,11)=d(9,10)=d(5,6)=d6，∠567<∠21b,所以d5≤d(5,7)

情形1.3.2XD中有2條長度為d6的邊是相鄰的。下面分12種類型討論。

如果d(10,11)=d(8,9)=d(7,8)=d6，那么XD中所有點(diǎn)關(guān)于⊥9a對(duì)稱，這里⊥9a表示線段[9,a]的垂直平分線。且點(diǎn)4, 5, 6, 7共圓，于是d(4,6)=d(5,7)。同時(shí)點(diǎn)1，5，6，10共圓，即d(1,5)=d(6,10)?！?12=∠712-∠617-∠516=∠4a9-∠5a6-∠4a5=∠6a9，于是Δ125≌Δa96，也就是說d(2,5)=d(6,9)?！?52=∠45a-∠251-∠15b-∠b5a=∠761-∠96a-∠a6b-∠b6a=∠769，于是d(2,4)=d(7,9) ，點(diǎn)2，4，7，9共圓。且點(diǎn)2，3，7，9共圓，點(diǎn)2，4，8，9共圓?？梢缘玫近c(diǎn)2，3，8，9共圓，即d6=d(8,9)=d(2,3)=d7，矛盾。

如果d(10,11)=d(6,7)=d(7,8)=d6，那么點(diǎn)1，6，8，10共圓，點(diǎn)1，2，6，8共圓，點(diǎn)1，5，6，10共圓。于是點(diǎn)1，2，5，6，8，10共圓。并且點(diǎn)2，3，4，5，8，9，10共圓。因此可以得到點(diǎn)5，6，8，9共圓，這意味著∠568=∠985，然而∠568=∠56b+∠167-∠16b-∠768≠∠389+∠287-∠283-∠786=∠985，矛盾。

如果d(10,11)=d(6,7)=d(5,6)=d6，那么XD中的所有點(diǎn)共圓，矛盾。

如果d(10,11)=d(8,9)=d(6,7)=d6，∠21b<∠678，因此d5≤d(2,11)

如果d(10,11)=d(8,9)=d(5,6)=d6，由于∠567<∠21b，因此d5≤d(5,7)

如果d(10,11)=d(8,9)=d(4,5)=d6，∠456<∠1ba，因此d5≤d(4,6)

如果d(10,11)=d(8,9)=d(3,4)=d6，∠234<∠789，于是d5≤d(2,4)

如果d(10,11)=d(8,9)=d(2,3)=d6，∠789<∠123，于是d5≤d(7,9)

如果d(10,11)=d(7,8)=d(5,6)=d6，∠567<∠21b，于是d5≤d(5,7)

如果d(10,11)=d(7,8)=d(3,4)=d6，那么∠21b=∠234=∠678，因此d(2,4)=d(6,8)=d(2,11)，點(diǎn)2，6，8，11共圓，且點(diǎn)1，3，7，8共圓，點(diǎn)3，4，7，8共圓，點(diǎn)1，3，4，11共圓，點(diǎn)7，8，10，11共圓，點(diǎn)4，6，10，11共圓。于是可以得到點(diǎn)1, 6, 7, 11共圓，即d6=d(1,11)=d(6,7)=d7，矛盾。

如果d(10,11)=d(7,8)=d(4,5)=d6，∠456<∠21b，那么d5≤d(4,6)

如果d(10,11)=d(6,7)=d(4,5)=d6，∠21b<∠678，那么d5≤d(2,11)

情形1.3.3XD中任意2條長度為d6的邊均不相鄰。下面分4種類型討論。

如果d(9,10)=d(7,8)=d(5,6)=d6，∠1ba<∠678,那么d5≤d(1,10)

如果d(9,10)=d(7,8)=d(4,5)=d6，∠9ab<∠678，那么d5≤d(9,11)

如果d(9,10)=d(6,7)=d(4,5)=d6，∠21b<∠678，那么d5≤d(2,11)

如果d(9,10)=d(6,7)=d(3,4)=d6，∠21b<∠678，那么d5≤d(2,11)

情形1.4XD中有5條長度為d6或者5條長度為d7的邊(d6與d7討論類似，5條邊為d7的討論省略)。

XD中有5條長度為d6的邊。假設(shè)d(1,11)=d6。

情形1.4.1XD中至少有4條長度為d6的邊是相鄰的。下面分4種類型討論。

如果d(10,11)=d(9,10)=d(8,9)=d(7,8)=d6，那么點(diǎn)1，2，3，4，5，6，7共圓。且點(diǎn)1，3，7，8共圓?？梢缘玫近c(diǎn)1，2，7，8共圓，即d6=d(7,8)=d(1,2)=d7，矛盾。

如果d(10,11)=d(9,10)=d(8,9)=d(6,7)=d6，此時(shí)可以得到∠21b<∠789，那么d5≤d(2,11)

如果d(10,11)=d(9,10)=d(8,9)=d(5,6)=d6，此時(shí)可以得到∠567<∠789，那么d5≤d(5,7)

如果d(10,11)=d(9,10)=d(8,9)=d(4,5)=d6，此時(shí)可以得到∠456<∠789，那么d5≤d(4,6)

情形1.4.2XD中有3條長度為d6的邊是相鄰的。下面分9種類型討論。

如果d(10,11)=d(9,10)=d(7,8)=d(6,7)=d6，∠21b<∠1ba，那么d5≤d(2,11)

如果d(10,11)=d(9,10)=d(7,8)=d(5,6)=d6，此時(shí)可以得到∠1ba<∠9ab，那么d5≤d(1,10)

如果d(10,11)=d(9,10)=d(7,8)=d(4,5)=d6，此時(shí)可以得到∠9ab<∠21b，那么d5≤d(9,11)

如果d(10,11)=d(9,10)=d(7,8)=d(3,4)=d6，此時(shí)可以得到∠89a<∠1ba，那么d5≤d(8,10)

如果d(10,11)=d(9,10)=d(7,8)=d(2,3)=d6，此時(shí)可以得到∠123<∠678，那么d5≤d(1,3)

如果d(10,11)=d(9,10)=d(6,7)=d(5,6)=d6，此時(shí)可以得∠21b<∠678，那么d5≤d(2,11)

如果d(10,11)=d(9,10)=d(6,7)=d(4,5)=d6，此時(shí)可以得到∠21b<∠678，那么d5≤d(2,11)

如果d(10,11)=d(9,10)=d(6,7)=d(3,4)=d6，此時(shí)得到∠21b<∠678=∠234，那么d5≤d(2,11)

如果d(10,11)=d(9,10)=d(5,6)=d(4,5)=d6，那么XD中的所有點(diǎn)共圓，矛盾。

情形1.4.3XD中有2條長度為d6的邊是相鄰的。下面分12種類型討論。

如果d(10,11)=d(8,9)=d(7,8)=d(5,6)=d6，此時(shí)可以得到∠1ba<∠789，那么d5≤d(1,10)

如果d(10,11)=d(8,9)=d(7,8)=d(4,5)=d6，此時(shí)可以得到∠456<∠21b，那么d5≤d(4,6)

如果d(10,11)=d(7,8)=d(6,7)=d(4,5)=d6，此時(shí)可以得到∠456<∠789，那么d5≤d(4,6)

如果d(10,11)=d(7,8)=d(6,7)=d(3,4)=d6，∠21b<∠789=∠345，那么d5≤d(2,11)

如果d(10,11)=d(6,7)=d(5,6)=d(3,4)=d6，此時(shí)可以得到∠456<∠678，那么d5≤d(4,6)

如果d(10,11)=d(8,9)=d(6,7)=d(4,5)=d6，此時(shí)可以得到∠21b<∠89a，那么d5≤d(2,11)

如果d(10,11)=d(8,9)=d(6,7)=d(3,4)=d6，此時(shí)可以得到∠21b<∠678，那么d5≤d(2,11)

如果d(10,11)=d(8,9)=d(6,7)=d(2,3)=d6，此時(shí)可以得到∠21b<∠678，那么d5≤d(2,11)

如果d(10,11)=d(8,9)=d(5,6)=d(3,4)=d6，此時(shí)可以得到∠567<∠21b=∠345，那么d5≤d(5,7)

如果d(10,11)=d(7,8)=d(5,6)=d(3,4)=d6，此時(shí)可得到∠21b>∠456，那么d5≤d(4,6)

如果d(10,11)=d(8,9)=d(5,6)=d(2,3)=d6，此時(shí)可以得到∠567<∠123，那么d5≤d(5,7)

如果d(10,11)=d(8,9)=d(6,7)=d(5,6)=d6，此時(shí)可得到∠21b<∠789，那么d5≤d(2,11)

情形1.4.4XD中任意2條長度為d6的邊是不相鄰的。

假設(shè)d(9,10)=d(7,8)=d(5,6)=d(3,4)=d6，此時(shí)可以得到∠567<∠456，那么d5≤d(5,7)

情形2XD中僅存在一條長度為d5的邊。

假設(shè)d(1,2)=d5，那么根據(jù)引理3可以得到，d(1,3)=d(2,11)=d4，d(1,4)=d(3,11)=d(2,10)=d3，d(1,5)=d(4,11)=d(3,10)=d(2,9)=d2。

情形2.1d(2,3)=d(1,11)=x。

由于d(1,3)=d(2,11)，那么∠123=∠21b，因此d(6,7)=d(7,8)?！?14=∠31b-∠41b=∠32b-∠32a=∠a2b，于是d(3,4)=d(10,11)。同理，由于∠4b5=∠93a，d(4,5)=d(9,10)?！?b6=∠839，那么d(5,6)=d(8,9)。XD中的所有點(diǎn)關(guān)于⊥12對(duì)稱, 這里⊥12表示線段[1,2]的垂直平分線。

情形2.1.1假設(shè)d(2,3)=d(1,11)=d6。

假設(shè)d(3,4)=d6，d(6,7)=d7。如果d(4,5)=d6，d(5,6)=d7，那么可以得到∠34a<∠239，即d2=d(2,9)>d(3,10)=d2，矛盾。如果d(4,5)=d7，d(5,6)=d6，那么∠34a>∠239，可以得到d2=d(2,9)d(5,9)>d(4,11)=d2，矛盾。如果d(4,5)=d6，d(5,6)=d6，∠239<∠327，也就是說D>d(3,7)>d(2,9)=d2，不成立。

假設(shè)d(3,4)=d7，d(6,7)=d6。如果d(4,5)=d6，d(5,6)=d7，那么可以得到∠561<∠65a，即D>d(6,10)>d(1,5)=d2，矛盾。如果d(4,5)=d7，d(5,6)=d6，那么∠561<∠65a，可以得到D>d(6,10)>d(1,5)=d2，矛盾。如果d(4,5)=d7，d(5,6)=d7，可以得到∠561<∠65a，于是D>d(6,10)>d(1,5)=d2，矛盾。如果d(4,5)=d6，d(5,6)=d6，∠561<∠65a，也就是說D>d(6,10)>d(1,5)=d2，不成立。

假設(shè)d(3,4)=d7，d(6,7)=d7。已知d(1,2)=d2，d6=d(1,11)>d(10,11)=d7，因此得到∠561<∠65a。也就是說D>d(6,10)>d(1,5)=d2，矛盾，因此假設(shè)不成立。

綜上可得，當(dāng)d(2,3)=d(1,11)=d6時(shí)不成立。

情形 2.1.2假設(shè)d(2,3)=d(1,11)=d7。

假設(shè)d(3,4)=d6。如果d(4,5)=d7，那么∠5a9>∠39a，于是得到D>d(5,9)>d(3,10)=d2，矛盾，因此d(4,5)=d6。如果d(5,6)=d7，那么∠6ba>∠4ab，于是得到D>d(6,10)>d(4,11)=d2，矛盾，因此d(5,6)=d6。如果d(6,7)=d7，那么∠71b>∠5b1，于是得到D>d(7,11)>d(1,5)=d2，矛盾，因此d(6,7)=d6。然而此時(shí)可以得到∠678<∠89a<∠789，那么d5≤d(6,8)

假設(shè)d(4,5)=d6。如果d(5,6)=d7，那么∠438>∠34a，也就是說D>d(4,8)>d(3,10)=d2，矛盾，因此d(5,6)=d6。如果d(6,7)=d7，那么∠71b>∠5b1，也就是說D>d(7,11)>d(1,5)=d2，矛盾，因此d(6,7)=d6。此時(shí)可以得到∠678<∠789，即d5≤d(6,8)∠5a9,所以d2=d(4,11)>d(5,9)=d2，矛盾。因此d(4,5)=d7。

假設(shè)d(5,6)=d6。如果d(6,7)=d7，那么∠71b>∠1b5，也就是說D>d(7,11)>d(1,5)=d2。如果d(6,7)=d6，那么∠789>∠678，于是可以得到d5≤d(6,8)d(6,10)=d2，矛盾。因此d(5,6)=d7。

假設(shè)d(6,7)=d6。已知d(2,3)=d(3,4)=d(4,5)=d(5,6)=d7，那么點(diǎn)1，2，3，4，5，6，8，9，10，11在同一個(gè)圓上。且d(6,8)>d(1,2)，那么可以得到d(6,8)=d4。如果d(5,7)=d(7,9)=d4，那么d(1,3)=d(7,9)=d4，于是點(diǎn)1，3，7，9共圓。因此可以得到XD中的所有點(diǎn)共圓，即d5=d(1,2)=d(7,8)=d6，矛盾。因此d(5,7)=d(7,9)=d5。如果d(4,6)=d(8,10)=d5，∠456=∠234，于是d(4,6)=d(2,4)=d5，且d(7,9)=d5，點(diǎn)2，4，7，9共圓。因此可以得到XD中的所有點(diǎn)共圓，即d5=d(1,2)=d(7,8)=d6。因此d(4,6)=d(8,10)=d6。已知d(6,8)=d4，因?yàn)椤?27<∠239，所以d2=d(2,9)>d(3,7)≥d3。于是可以得到d(4,7)=d(6,8)=d4，d(4,6)=d(6,7)=d(7,8)=d6。所以點(diǎn)4, 6, 7, 8共圓。那么XD中的所有點(diǎn)共圓，即d5=d(1,2)=d(7,8)=d6，矛盾。因此d(6,7)=d7。

到此為止，推得d(3,4)=d(4,5)=d(5,6)=d(6,7)=d7，從而XD中的所有點(diǎn)共圓，即d5=d(1,2)=d(7,8)=d7，矛盾。

綜上可得，當(dāng)d(2,3)=d(1,11)=d7時(shí)不成立。

情形2.2d(2,3)≠d(1,11)。

此時(shí)假設(shè)d(2,3)=d6，d(1,11)=d7(如果d(2,3)=d7，d(1,11)=d6，證明類似)。

如果d(3,4)=d7，那么∠289<∠498，D>d(4,8)>d(2,9)=d2，矛盾，因此d(3,4)=d6。如果d(4,5)=d7，那么∠39a<∠5a9，D>d(5,9)>d(3,10)=d2，矛盾，因此d(4,5)=d6。如果d(5,6)=d7，那么∠4ab<∠6ba，D>d(6,10)>d(4,11)=d2，矛盾，因此d(5,6)=d6。如果d(6,7)=d7，那么∠5b1<∠71b，D>d(7,11)>d(5,1)=d2，矛盾。因此d(6,7)=d6。

如果d(10,11)=d6，那么∠567>∠456。由引理3可得d5≤d(4,6)

如果d(9,10)=d6，那么∠456>∠345。由引理3可得，d5≤d(3,5)∠34a，即d2=d(3,10)

如果d(8,9)=d6，那么∠234<∠345，于是d5≤d(2,4)∠239，也就是說d2=d(2,9)

如果d(7,8)=d6，那么∠678<∠456，于是d5≤d(6,8)∠239，即d2=d(3,7)

因此當(dāng)d(2,3)≠d(1,11)時(shí)不成立。

情形3XD中存在至少2條長度為d5的邊。

假設(shè)d(1,2)=d5，那么根據(jù)引理3可以得到，d(1,3)=d(2,11)=d4，d(1,4)=d(3,11)=d(2,10)=d3，d(1,5)=d(4,11)=d(3,10)=d(2,9)=d2。

情形3.1 假設(shè)d(6,7)=d5(如果d(7,8)=d5證明類似)。

通過引理3可得，d(5,7)=d(6,8)=d4，d(4,7)=d(5,8)=d(6,9)=d3，d(3,7)=d(4,8)=d(5,9)=d(6,10)=d2。由于∠567=∠176-∠175=∠712-∠713=∠213，得到Δ137≌Δ751，因此d(2,3)=d(5,6)。由于∠314=∠317-∠417=∠571-∠471=∠475，可以得到d(3,4)=d(4,5)。由于∠12b=∠126-∠b26=∠762-∠862=∠768，因此d(1,11)=d(7,8)。由于∠869=∠862-∠962=∠b26-∠a26=∠a2b，因此d(10,11)=d(8,9)。由于∠849=∠843-∠943=∠a34-∠934=∠93a，因此d(9,10)=d(8,9)。由于∠738=∠732-∠832=∠923-∠823=∠928，因此d(7,8)=d(8,9)。由于∠4b5=∠4ba-∠5ba=∠6ab-∠5ab=∠5a6，因此d(4,5)=d(5,6)。于是可以得到d(2,3)=d(3,4)=d(4,5)=d(5,6)，d(7,8)=d(8,9)=d(9,10)=d(1,11)。

情形3.2 假設(shè)d(5,6)=d5(如果d(8,9)=d5，證明類似)。

已知d(6,7)≠d5，因此d(5,6)>d(6,7)。然而∠1b5<∠b17，即d2=d(1,5)

情形3.3假設(shè)d(4,5)=d5(如果d(9,10)=d5，證明類似)。

已知d(5,6)≠d5，因此d(4,5)>d(5,6)。然而∠4ab<∠6ba，即d2=d(4,11)

情形3.4假設(shè)d(3,4)=d5(如果d(10,11)=d5，證明類似)。

已知d(4,5)≠d5，因此d(3,4)>d(4,5)。然而∠39a<∠5a9，即d2=d(3,10)

情形3.5假設(shè)d(2,3)=d5(如果d(1,11)=d5，證明類似)。

已知d(3,4)≠d5，因此d(2,3)>d(3,4)。然而∠289<∠498，即d2=d(2,9)

綜上可得，DG(XD)中不存在2條長度為d5的邊。

定理1的證明完成。

3結(jié)語

文獻(xiàn)[7]對(duì)直徑圖為圈的k距離集進(jìn)行了研究，由文獻(xiàn)[1]知這樣的圈只能為偶圈。文獻(xiàn)[7]中提出猜想：當(dāng)k距離集的直徑圖DG(XD)=C2k-3時(shí)，直徑圖的頂點(diǎn)集XD=R2k-3。當(dāng)3距離集的直徑圖DG(XD)=C3時(shí)，顯然有XD=R3；當(dāng)4距離集的直徑圖DG(XD)=C5時(shí)，由文獻(xiàn)[6]可得XD=R5以及引理6提出的2類構(gòu)型；文獻(xiàn)[7]中給出了k=5,6時(shí)猜想的正確證明。本文證明當(dāng)k=7時(shí)，猜想正確，但論文證明分類進(jìn)行，證明方法對(duì)k≥8的情形顯然不適宜，期望在后續(xù)對(duì)較大k的研究中，能夠發(fā)現(xiàn)更加行之有效的辦法。

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Research on 7-distance set withDG(XD)=C11

WANG Qi, CONG Yue, GAO Feixing

( School of Science, Hebei University of Science and Technology, Shijiazhuang, Hebei 050018, China)

Abstract:A planar point set X is called a k-distance set if there are exactly k distances between two distinct points in X. Let d(x,y) be the distance of any two distinct points x,y. Let diameter D=D(X) be the longest distance of X. The diameter graph DG(XD) is composed of all diameters in X, where XD is the set of its endpoints. In this paper, the configuration of the diameter graph DG(XD) is discussed when X is a 7-distantce set. It is proved that the endpoint set XD is the endpoint set of the regular 11-sided polygon when the diameter graph has 11 cycles based on the characteristics of DG(XD) containing at most one and only odd cycle and the diameter specialty.

Keywords:discrete geometry; distinct distance; diameter graph; odd cycle; 7-distance set

中圖分類號(hào)：O157.3MSC(2010)主題分類：52C15

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

作者簡介：王琦(1973—),女，河北承德人，講師，碩士，主要從事組合數(shù)學(xué)方面的研究。

基金項(xiàng)目：河北省自然科學(xué)基金(A2014208095)

收稿日期：2015-10-17；修回日期：2015-12-15；責(zé)任編輯：張軍

doi:10.7535/hbkd.2016yx02006

文章編號(hào)：1008-1542(2016)02-0146-08

E-mail:wqi73@163.com

王琦，叢悅，高飛星.直徑圖為11圈的7距離集研究[J].河北科技大學(xué)學(xué)報(bào),2016,37(2):146-153.

WANG Qi, CONG Yue, GAO Feixing.Research on 7-distance set withDG(XD)=C11[J].Journal of Hebei University of Science and Technology,2016,37(2):146-153.