陳漢武　朱建鋒　阮　越，2　劉志昊　趙生妹

(1東南大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院，南京　210096)(2安徽工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，馬鞍山　243005) (3南京郵電大學(xué)通信與信息工程學(xué)院，南京　210003)

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帶交叉算子的量子粒子群優(yōu)化算法

陳漢武1朱建鋒1阮越1，2劉志昊1趙生妹3

(1東南大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院，南京210096)
(2安徽工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，馬鞍山243005) (3南京郵電大學(xué)通信與信息工程學(xué)院，南京210003)

摘要:為了改善量子粒子群優(yōu)化(QPSO)算法、提高其求解多峰優(yōu)化問(wèn)題的能力，采用新的粒子吸引點(diǎn)和勢(shì)阱特征長(zhǎng)度計(jì)算方法，引入遺傳算法中的交叉算子并融入交叉概率自適應(yīng)的參數(shù)控制技術(shù)，設(shè)計(jì)了一種帶交叉算子的量子粒子群優(yōu)化(CQPSO)算法．CQPSO算法既可確保QPSO粒子群體的多樣性、維護(hù)粒子整體的活力性，又能克服特殊情況下QPSO算法收斂的不穩(wěn)定性和陷入局部最優(yōu)的偶發(fā)性．實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在21個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)中，無(wú)論對(duì)應(yīng)單峰函數(shù)、多峰函數(shù)或是偏移、旋轉(zhuǎn)函數(shù)，在相同的物理仿真平臺(tái)上，CQPSO算法的性能在絕大多數(shù)情況下都優(yōu)于其他改進(jìn)的量子粒子群算法，從而驗(yàn)證了CQPSO算法的有效性和魯棒性．

關(guān)鍵詞:量子粒子群優(yōu)化;交叉算子;局部?jī)?yōu)化;多峰函數(shù);收斂

引用本文:陳漢武，朱建鋒，阮越，等．帶交叉算子的量子粒子群優(yōu)化算法［J］．東南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2016，46(1) : 23－29．DOI: 10．3969/j．issn．1001－0505．2016．01．005．

粒子群優(yōu)化(PSO)算法是一種重要的群體智能隨機(jī)搜索算法［1－2］，因其概念簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)而備受關(guān)注［3－5］．但PSO算法存在易早熟的問(wèn)題，不能完全保證全局收斂［6］．文獻(xiàn)［7］針對(duì)研究多維空間中粒子群運(yùn)動(dòng)軌跡時(shí)PSO算法的穩(wěn)定性和收斂性進(jìn)行了討論．受量子力學(xué)研究對(duì)象具有隨機(jī)行為特征的啟示，Sun等［8－9］提出了一種基于量子力學(xué)的量子粒子群優(yōu)化(QPSO)算法，并證明了該算法的全局收斂性［10］優(yōu)于PSO算法．在QPSO算法中，基于量子計(jì)算的內(nèi)稟性，每一個(gè)粒子都可以通過(guò)學(xué)習(xí)種群全體的歷史最優(yōu)位置(gBest)來(lái)修正自己的搜索方向，故算法具有快速收斂的特征．但對(duì)于求解復(fù)雜多極值問(wèn)題時(shí)，受極值的物理分布以及初始種群選擇等因素的影響，特定情況下搜索過(guò)程中若出現(xiàn)的種群全體歷史最優(yōu)位置是一個(gè)不實(shí)的gBest，則該算法同樣也會(huì)導(dǎo)致群體多樣性降低，引發(fā)整個(gè)群體易于陷入局部最優(yōu)，最終導(dǎo)致算法早熟收斂．

為了改善QPSO算法的整體性能，研究者們提出了多種改良方法．文獻(xiàn)［11］提出了2種參數(shù)調(diào)節(jié)方法，使收縮－擴(kuò)張系數(shù)隨迭代次數(shù)增加而線性減小或依據(jù)個(gè)體的適應(yīng)值動(dòng)態(tài)調(diào)整收縮－擴(kuò)張系數(shù);文獻(xiàn)［10，12］分別采用隨機(jī)選取的個(gè)體歷史最優(yōu)位置和加權(quán)平均最優(yōu)位置替代QPSO算法中的平均最優(yōu)位置;文獻(xiàn)［13］提出了一種隨機(jī)選擇學(xué)習(xí)粒子的方法，如果隨機(jī)選取的粒子的適應(yīng)值優(yōu)于當(dāng)前個(gè)體，則將該粒子作為學(xué)習(xí)粒子，否則仍然以群體中適應(yīng)值最好的粒子作為學(xué)習(xí)粒子;文獻(xiàn)［14］使用高斯分布生成個(gè)體吸引點(diǎn);文獻(xiàn)［15－17］采用多種群協(xié)同進(jìn)化的方法，利用多個(gè)協(xié)作的粒子群分別優(yōu)化解向量的不同部分，從而增強(qiáng)算法的搜索多樣性;文獻(xiàn)［18］提出了一種多粒子協(xié)作的方法，將多個(gè)經(jīng)過(guò)多次測(cè)量得到的粒子進(jìn)行協(xié)作，以便更好地獲取每個(gè)粒子中包含的有用信息．此外，學(xué)者們還將OPSO算法與模擬退火算法［19］、免疫算法［20－21］、差分演化［22］、單純形法［23］等其他方法進(jìn)行融合或結(jié)合變異算子［24－25］、局部搜索算子［26］、混沌搜索［27］、公共歷史搜索［28］等技術(shù)，以達(dá)到改進(jìn)算法的目的．

本文將遺傳算法中的交叉算子引入QPSO算法中，提出了一種帶交叉算子的量子粒子群優(yōu)化(CQPSO)算法．

1　量子粒子群優(yōu)化算法

在PSO算法中，群體內(nèi)每個(gè)個(gè)體被稱為一個(gè)粒子，表示待求解問(wèn)題的一個(gè)潛在解．粒子i(i =1，2，…，N)可由2個(gè)向量表示，即速度向量Vi，t=和位置向量，其中D為待求解問(wèn)題的維數(shù)，t為當(dāng)前的迭代次數(shù)．在每一次迭代中，令為粒子i到目前位置搜索到的最優(yōu)位置，Pg，t=為整個(gè)群體迄今為止搜索到的最優(yōu)位置，可根據(jù)下式更新粒子i的速度與位置:

式中，ω為慣性權(quán)重［29］; c1，c2為加速系數(shù);為［0，1］之間滿足均勻分布的隨機(jī)數(shù)．

文獻(xiàn)［7］表明，群體中粒子i在演化過(guò)程中會(huì)以自身歷史最優(yōu)位置Pi，t和群體歷史最優(yōu)位置Pg，t的加權(quán)平均位置為吸引點(diǎn)，并逐漸趨向于該點(diǎn)．Si，t的計(jì)算公式如下:

PSO算法中，一般取c1= c2，故式(3)可改寫為

基于以上對(duì)PSO算法中粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的分析，QPSO算法假定粒子群系統(tǒng)是一個(gè)滿足量子力學(xué)基本假設(shè)的粒子系統(tǒng)，粒子i在第j維上是在以點(diǎn)為中心的δ勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)，具有量子基本行為特征，則其狀態(tài)可由波函數(shù)Ψ描述，即

為了得到粒子的位置，需要將粒子的狀態(tài)由量子態(tài)塌縮到經(jīng)典態(tài)，采用Monte Carlo隨機(jī)模擬的方法來(lái)測(cè)量粒子的位置，從而得到粒子的位置更新方程為

粒子i在第j維的概率密度函數(shù)為

2　帶交叉算子的量子粒子群算法

2. 1粒子吸引點(diǎn)

在QPSO算法中，每個(gè)粒子將個(gè)體歷史最優(yōu)位置Pi，t與群體歷史最優(yōu)位置Pg，t的加權(quán)平均位置Si，t作為自身的吸引點(diǎn)．這種計(jì)算方法以粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的分析結(jié)果［7］為指導(dǎo)，具有計(jì)算簡(jiǎn)單的優(yōu)點(diǎn)，但也存在2個(gè)明顯的問(wèn)題:①每個(gè)粒子除了學(xué)習(xí)自身的經(jīng)驗(yàn)外，只以群體的歷史最優(yōu)位置為引導(dǎo)，導(dǎo)致大群體的多樣性下降速度過(guò)快，降低了算法求解復(fù)雜多峰優(yōu)化問(wèn)題的性能;②根據(jù)式(4)得到的吸引點(diǎn)將限定在以個(gè)體歷史最優(yōu)位置Pi，t和群體歷史最優(yōu)位置Pg，t為對(duì)頂點(diǎn)的D維超矩形內(nèi)，隨著算法演化過(guò)程的進(jìn)行，每個(gè)粒子吸引點(diǎn)的可能分布空間逐漸減小，使粒子吸引點(diǎn)逐漸趨向于群體歷史最優(yōu)位置，最終導(dǎo)致算法在后期跳出局部最優(yōu)的能力不足．

為了避免吸引點(diǎn)只能限定在特定區(qū)域的問(wèn)題，可將吸引點(diǎn)的計(jì)算公式改寫為

式中，βi，t為區(qū)間［0，1］上均勻分布的隨機(jī)數(shù);下標(biāo)a 為隨機(jī)選取且適應(yīng)值最好的個(gè)粒子中的一個(gè)粒子，選取粒子的比率q∈(0，1］;為擾動(dòng)向量，且

式中，下標(biāo)b，c為群體中隨機(jī)選取的2個(gè)粒子，且a≠b≠c≠i．

利用這種關(guān)于粒子吸引點(diǎn)的計(jì)算方法，可以提高算法求解多峰優(yōu)化問(wèn)題的性能．這是因?yàn)楫?dāng)某個(gè)粒子陷入局部最優(yōu)時(shí)，分布在其他搜索空間中的粒子有機(jī)會(huì)幫助該停滯粒子逃離局部最優(yōu)．

為了克服上述缺點(diǎn)，參考2. 1節(jié)中的粒子吸引點(diǎn)計(jì)算方法，參數(shù)可按照下式進(jìn)行計(jì)算:

根據(jù)式(12)，即使在多數(shù)粒子都陷入局部最優(yōu)時(shí)，由于依然存在部分分散在其他區(qū)域中的粒子，使得每個(gè)粒子仍然具有適度的概率逃離局部最優(yōu)，從而提高了算法的全局搜索能力．

2. 3交叉算子

交叉算子源于遺傳算法［30］．通過(guò)交叉操作可以進(jìn)行群體中個(gè)體的信息交換，并隨著演化過(guò)程的延續(xù)逐漸保留那些優(yōu)秀的基因，使群體能夠往好的方向進(jìn)化．為了增加群體的多樣性，提高算法求解復(fù)雜多峰優(yōu)化問(wèn)題的性能，本文將交叉算子引入到QPSO算法中．

首先，根據(jù)式(7)、(10)、(11)與(12)，生成粒子i對(duì)應(yīng)的測(cè)量位置Xi，t +1;然后，將測(cè)量位置Xi，t +1與個(gè)體歷史最優(yōu)位置Pi，t進(jìn)行離散交叉，生成測(cè)試位置．交叉公式為

式中，randj(0，1)為［0，1］之間滿足均勻分布的隨機(jī)數(shù); jrand為［1，D］上隨機(jī)均勻產(chǎn)生的整數(shù); p為交叉概率．這種交叉方式與差分演化［31－32］中的二項(xiàng)交叉操作相同．

最后，按照下式更新粒子的個(gè)體歷史最優(yōu)位置:

式中，f(·)為適應(yīng)值函數(shù)．不失一般性，本文僅考慮最小優(yōu)化問(wèn)題．

交叉概率p的取值對(duì)算法的搜索能力和收斂速度具有重要影響．較小的交叉概率可以使群體中個(gè)體更多地保留自身的信息，維持較高的群體多樣性，有利于算法進(jìn)行全局探索;相反，較大的交叉概率促使個(gè)體更多地學(xué)習(xí)群體中經(jīng)驗(yàn)知識(shí)，從而加快算法的收斂速度．

2. 4參數(shù)控制

不同優(yōu)化問(wèn)題以及同一優(yōu)化問(wèn)題在進(jìn)化的不同階段需要設(shè)置不同的最優(yōu)參數(shù)．因此，難以選定適合所有問(wèn)題的p值．參照文獻(xiàn)［31］中的參數(shù)自適應(yīng)方法，本文將參數(shù)p直接編碼到每個(gè)粒子中，以實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)控制．?dāng)U展編碼后群體中粒子i可描述為

對(duì)于群體中的每個(gè)粒子，采用如下規(guī)則更新交叉概率:

式中，τ為參數(shù)pc的更新概率．

參照文獻(xiàn)［32］，本文提出了一種改進(jìn)的交叉概率修復(fù)方法．為便于描述，將粒子i關(guān)聯(lián)一個(gè)額外的二進(jìn)制向量

式中，wi，t為［0. 9，1］之間滿足均勻分布的隨機(jī)數(shù)．

收縮－擴(kuò)展系數(shù)α采用的更新方法為:隨著迭代次數(shù)的增加，α線性減小，即

2. 5 CQPSO算法

結(jié)合以上給出的粒子位置更新方法和參數(shù)控制方法，設(shè)計(jì)了一種帶交叉算子的量子粒子群算法．該算法中，每個(gè)粒子的吸引點(diǎn)都不會(huì)局限在特定的搜索空間中，從而增強(qiáng)了每個(gè)粒子的探索能力．同時(shí)，該算法采用了參數(shù)自適應(yīng)的控制方法，使

式中，T為設(shè)定的最大迭代次數(shù)．

選取粒子的比率q取值較大時(shí)，算法的全局探索能力較強(qiáng);相反，q取值較小時(shí)，則有利于算法快速收斂．為了平衡算法在搜索前期的全局搜索能力與后期的局部搜索能力，q的取值隨迭代次數(shù)的增加而線性減小，即得每個(gè)粒子通過(guò)學(xué)習(xí)先前的經(jīng)驗(yàn)逐步自適應(yīng)調(diào)整參數(shù)的取值．CQPSO算法的偽代碼描述如下:

3　實(shí)驗(yàn)結(jié)果與比較

為了驗(yàn)證CQPSO算法的有效性，選取了21個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)用于實(shí)驗(yàn)測(cè)試(見表1)．表中的測(cè)試函數(shù)可以分為3類:①單峰函數(shù)f1～f7;②多峰函數(shù)f8～f13;③偏移、旋轉(zhuǎn)函數(shù)f14～f21．在21個(gè)維數(shù)D = 30的標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)上，比較了QPSO［9］，MQPSO［13］，QPSO-RM［10］，WQPSO［12］，CQPSO等5種算法．

實(shí)驗(yàn)中CQPSO算法的參數(shù)設(shè)置如下:群體規(guī)模N = 50;收縮－擴(kuò)展系數(shù)α從0. 7線性減小到0. 1;每個(gè)粒子的初始交叉概率均為0. 9;交叉概率的更新概率τ=0. 2．

為了進(jìn)行公平比較，QPSO，MQPSO，QPSORM，WQPSO算法的群體規(guī)模也都設(shè)置為50，其他參數(shù)則按照原文獻(xiàn)設(shè)置，即QPSO算法與WQPSO算法的收縮－擴(kuò)展系數(shù)從1線性減小到0. 5，MQPSO算法的收縮－擴(kuò)展系數(shù)從1線性減小到0. 4，QPSO-RM算法的收縮－擴(kuò)展系數(shù)從0. 6線性減小到0. 5．此外，在每個(gè)測(cè)試函數(shù)上，每種算法都進(jìn)行2×105次函數(shù)評(píng)價(jià)(FEs)．為了減小統(tǒng)計(jì)誤差，5種算法在每個(gè)測(cè)試函數(shù)上獨(dú)立運(yùn)行50次，取50次運(yùn)行的平均結(jié)果進(jìn)行分析與比較．實(shí)驗(yàn)的測(cè)試環(huán)境設(shè)置如下:操作系統(tǒng)為Windows 7，處理器為AMD PhenomTM8450 Triple-Core，內(nèi)存為2 GB，編程語(yǔ)言為C + +，編譯器為VS C + +2008．

表1　21個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)

表2給出了所有算法在各個(gè)測(cè)試函數(shù)上50次運(yùn)行的平均結(jié)果和標(biāo)準(zhǔn)方差．由表可知，CQPSO算法在單峰函數(shù)f1，f2，f3，f5上獲得了最高精度的解; QPSO-RM算法在大多數(shù)單峰函數(shù)上具有較好的性能，并且在函數(shù)f4上獲得了最好的解;雖然MQPSO算法在單峰函數(shù)上的收斂速度較慢，但其在噪聲函數(shù)f7上獲得了最好的解．

表2　5種獨(dú)立運(yùn)行50次的均值與標(biāo)準(zhǔn)方差

其次，CQPSO算法在復(fù)雜多峰函數(shù)f8～f13上也獲得了最好的結(jié)果．尤其是對(duì)于函數(shù)f8，f9和f11，其他4種算法都陷入了局部最優(yōu)，僅CQPSO算法獲得了最好的解．由此表明，CQPSO算法能夠維持較好的群體多樣性，增強(qiáng)了算法跳出局部最優(yōu)的能力，在復(fù)雜多峰函數(shù)上具有較高的搜索精度．在CQPSO算法中，每個(gè)粒子都向群體中適應(yīng)值最好的粒子學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，故算法仍然具有較快的收斂速度．

函數(shù)f14～f17為單峰函數(shù)，函數(shù)f18～f21為多峰函數(shù)．經(jīng)過(guò)偏移、旋轉(zhuǎn)變換后，這些函數(shù)變得難以求解．從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，CQPSO算法在測(cè)試函數(shù)f14，f15，f17，f18，f20，f21上獲得的解的質(zhì)量?jī)?yōu)于其他4種算法．

綜上所述，CQPSO算法在大多數(shù)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)上的性能要優(yōu)于其他4種算法．CQPSO算法在保持快速收斂的同時(shí)，較傳統(tǒng)QPSO算法以及其他幾種改進(jìn)的QPSO算法具有更好的全局搜索能力．

4　結(jié)語(yǔ)

本文提出了新的吸引點(diǎn)和勢(shì)阱特征長(zhǎng)度評(píng)價(jià)方法，并在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了一種帶交叉算子的量子粒子群優(yōu)化算法．通過(guò)在量子粒子群優(yōu)化算法中引入交叉算子，使得群體中個(gè)體的優(yōu)秀特征得以保留，提高了群體的多樣性，增強(qiáng)了算法的全局搜索能力．同時(shí)，新的吸引點(diǎn)和勢(shì)阱特征長(zhǎng)度計(jì)算方法增強(qiáng)了算法跳出局部最優(yōu)的能力．21個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)上的實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明了所提算法的有效性和優(yōu)良性．下一步的研究方向是如何更好地自適應(yīng)調(diào)節(jié)算法參數(shù)以及改進(jìn)算法的迭代策略以提高算法性能．

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Quantum particle swarm optimization algorithm with crossover operator

Chen Hanwu1Zhu Jianfeng1Ruan Yue1，2Liu Zhihao1Zhao Shengmei3
(1School of Computer Science and Engineering，Southeast University，Nanjing 210096，China)
(2School of Computer Science and Technology，Anhui University of Technology，Maanshan 243005，China)
(3College of Telecommunications and Information Engineering，Nanjing University of Posts and Telecommunications，Nanjing 210003，China)

Abstract:In order to improve the performance of the quantum particle swarm optimization (QPSO) algorithm and its ability to solve multimodal optimization problems，by using a new calculation method for the point of interest and the characteristic length of the potential well，an improved QPSO algorithm with crossover operator，named as CQPSO algorithm，is proposed by introducing the crossover operator in the genetic algorithm and incorporating the adaptive parameter control technology of crossover probability．The CQPSO algorithm can not only ensure the diversity of the particle group and the vigor of the particles，but also overcome the instability of convergence and accidental fall into local optimum in some special scenarios．The experimental results show that in 21 standard test functions，on the same physical simulation platform，as for whether unimodal functions，multimodal functions，offset or rotating functions，the CQPSO algorithm is superior to other improved QPSO algorithms in performance in most cases，and its effectiveness and robustness are proved．

Key words:quantum particle swarm optimization; crossover operator; local optimization; multimodal function;convergence

基金項(xiàng)目:國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61170321，61502101)、高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金資助項(xiàng)目(20110092110024)、江蘇省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(BK20140651)．

收稿日期:2015-06-11．

作者簡(jiǎn)介:陳漢武(1955—)，男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，hw_chen@ seu．edu．cn．

DOI:10．3969/j．issn．1001－0505．2016．01．005

中圖分類號(hào):TP387

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號(hào):1001－0505(2016) 01-0023-07