趙 斌， 張友鵬

(蘭州交通大學(xué) 自動化與電氣學(xué)院， 甘肅 蘭州 730070)

軌道電路通過其受電端電量值來區(qū)分工作狀態(tài)，多數(shù)研究針對軌道電路受電端電量值在空間域的變化。在道床比較惡劣時，例如長大隧道內(nèi)，用空間域的電量值就難以區(qū)分軌道電路工作狀態(tài)[1-3]。軌道電路工作狀態(tài)發(fā)生變化時，其實質(zhì)為軌道電路受電端電流(電壓)由暫態(tài)響應(yīng)過渡為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。因此，能否通過軌道電路受電端電量的暫態(tài)響應(yīng)反應(yīng)軌道電路的工作狀態(tài)就成為研究的問題。求解軌道電路傳輸線方程暫態(tài)響應(yīng)是解決問題的關(guān)鍵。

傳輸線方程求解主要分為解析法和數(shù)值法。解析法研究相對較少，大部分文獻(xiàn)用數(shù)值法對傳輸線方程求解[4]。數(shù)值法主要分為時域法和頻域法。時域法直接離散空間和時間，得到傳輸線偏微分方程的差分方程或常微分方程，迭代求解[5-7]。時域法求解過程與輸入信號相關(guān)聯(lián)，輸入信號改變時，推導(dǎo)過程要再次進(jìn)行，使得計算相對復(fù)雜。頻域法根據(jù)傳輸線復(fù)頻域模型，得到復(fù)頻域通解，再用快速傅里葉反變換或數(shù)值拉式反變換求解[8-11]。在進(jìn)行快速傅里葉反變換或數(shù)值拉式反變換過程中，一個重要的問題為求解傳輸函數(shù)極點，不同的輸入信號，極點不同，當(dāng)傳輸函數(shù)階數(shù)較高時(大于3階)，計算難度大[12]。文獻(xiàn)[13]根據(jù)傳輸線上電流波和電壓波的折射和反射列出了BLT方程，再將特征阻抗用泰勒級數(shù)近似等效，最后以卷積的形式給出了傳輸線方程的時域解。該方法計算簡單，但問題化簡過程比較繁瑣。文獻(xiàn)[14]對軌道電路時域進(jìn)行了分析，得出了鋼軌對地電壓和鋼軌中電流的復(fù)頻域通解，在軌道電路送電端阻抗匹配、受電端短路的條件下得出了時域解析解，相當(dāng)于電流行波在受電端發(fā)生全反射，在送電端發(fā)生全入射。未對送受電端接有任意負(fù)載時時域解進(jìn)行討論，使得結(jié)論不具有一般性?；诟道锶~變換結(jié)合Q-D算法的數(shù)值拉氏反變換法直接對復(fù)頻域傳輸函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，不涉及傳輸函數(shù)極點和激勵信號源，計算簡單且精度較高[15-16]。

軌道電路屬于畸變傳輸線，因?qū)Φ芈┬闺娏鞯拇嬖冢谛问缴虾碗娏鬏斁€有一定的差別，不能直接采用電力傳輸線時域通解。因此，本文采用基于傅里葉變換結(jié)合Q-D算法的數(shù)值拉氏反變換法求得其時域解。因文獻(xiàn)[14]為解析解，在相同的參數(shù)下，通過與文獻(xiàn)[14]結(jié)果對比，驗證該方法具有較高的計算精度。最后，采用EMTP暫態(tài)仿真軟件搭建了軌道電路仿真模型，在送受電端接有任意負(fù)載時，通過與EMTP暫態(tài)仿真軟件結(jié)果對比，驗證方法計算結(jié)果的準(zhǔn)確性。

1 軌道電路傳輸線方程求解

1.1 軌道電路傳輸線方程復(fù)頻域解

一段鋼軌線路Δx等效電路見圖1。

圖1中，R0為單根鋼軌有效電阻，Ω/km；L0為單根鋼軌內(nèi)電感，H/km；M0為鋼軌1和鋼軌2之間的互感，H/km；g1為鋼軌1和大地之間的電導(dǎo)，(Ω·km)-1；g2為鋼軌2和大地之間的電導(dǎo)，(Ω·km)-1；g12為鋼軌1和鋼軌2經(jīng)由道床電導(dǎo)，(Ω·km)-1；x為到鋼軌線路終端距離，km；i1x,t、i2x,t分別表示2根鋼軌中的電流，單位A；u1x,t、u2x,t分別表示2根鋼軌對地的電壓，V。

根據(jù)基爾霍夫電壓定律，圖1對應(yīng)的一組常系數(shù)偏微分方程組為[14]

( 1 )

( 2 )

g1u1(x,t)+g12u1(x,t)-u2(x,t)

( 3 )

g2u2(x,t)+g12u2(x,t)-u1(x,t)

( 4 )

式( 1 )～式( 4 )對應(yīng)的復(fù)頻域方程分別為

( 5 )

( 6 )

( 7 )

( 8 )

在給定的初始條件和邊界條件下，可以確定唯一的u1x,t、u2x,t、i1x,t和i2x,t。式(5)～(8)的通解為

u1x,s=F1seγ1sx+F2se-γ1sx+

F3seγ3sx+F4se-γ3sx

( 9 )

u2x,s=F1seγ1sx+F2se-γ1sx-

F3seγ3sx-F4se-γ3sx

(10)

i1x,s=

(11)

i2x,s=

(12)

式( 9 )～式(12)為鋼軌線路每根鋼軌對地電壓和鋼軌中電流在復(fù)頻域的通解，根據(jù)軌道電路工作狀態(tài)的邊界條件，可確定F1s、F2s、F3s和F4s。

1.2 調(diào)整態(tài)軌道電路傳輸線方程復(fù)頻域解

圖2為軌道電路調(diào)整態(tài)受電端加有負(fù)載、送電端加有信號源時復(fù)頻域電路等效模型。

圖2中，軌道電路送電端接有電壓源uss,其內(nèi)阻為Z1s，Ω；受電端接有任意負(fù)載ZLs，Ω；軌道電路長度為l，km；i11x,s和i22x,s為鋼軌和地之間回路電流；i12x,s鋼軌之間經(jīng)由道床形成的回路電流；us為鋼軌間電壓，V；is為鋼軌間電流，A；根據(jù)送受電端邊界條件，軌道電路調(diào)整態(tài)任意點鋼軌之間電壓和鋼軌中電流復(fù)頻域解為[14]

(13)

在式(13)中n1s為送電端反射系數(shù)，n2s為受電端反射系數(shù)，且

2 基于傅里葉變換結(jié)合 Q-D算法的數(shù)值拉氏反變換法

函數(shù)ft拉氏變換定義為

假設(shè)ftα，M為正實數(shù)，α為函數(shù)ft的指數(shù)階數(shù)。

Fs的反變換可以定義為

(14)

令：t=kT，s=c+jω，對式(14)離散，可得

(15)

(16)

假設(shè)N=2m,m為整數(shù)。設(shè)tmax為計算最大時間，tmax=M-1T,M=N/2，則T=2tmax/N-2。當(dāng)τ=NT時，Ω=2π/NT為采樣角頻率。

根據(jù)誤差分析結(jié)果，系數(shù)c的近似式為[17]

c≈α-Ω/2π·lnEr

(17)

式中：Er為設(shè)定的相對誤差。

式(16)中第1項和第3項求和項可以由FFT和IFFT算法計算求得。第2項和第4項求和項可以用連分式近似冪級數(shù)[18]。

(18)

式(18)中連分式各項系dnn=0,…,2P可以用Q-D算法求得，其算法見圖3。

圖3中，前兩列各有元素計算式為

(19)

(20)

其余列個元素計算式為

r=1,…,Pi=0,…,2P-2r

(21)

r=2,…,Pi=0,…,2P-2r-1

(22)

系數(shù)dn計算式為

(23)

為了便于計算，對于式(18)所示的連分式又可以表示為

(24)

式中：

Anz±k=An-1z±k+dnz±kAn-2z±k

(25)

Bnz±k=Bn-1z±k+dnz±kBn-2z±k

(26)

式中：n=1,…2P,A-1=0,B-1=1，A0=d0，B0=1。

在實際計算中， Q-D算法采用2P+1階就能達(dá)到較高的精度。

3 軌道電路暫態(tài)響應(yīng)仿真分析

3.1 基于傅里葉變換結(jié)合 Q-D算法與文獻(xiàn)[14]對比分析

算例1鋼軌類型為P60，Z1s=2ZB2s，ZLs=0。軌道電路長度為1 km，始端信號源us=10sinωt。信號源頻率為1 kHz時，道床電阻不同時，采用基于傅里葉變換結(jié)合Q-D算法和文獻(xiàn)[14]方法接受端軌面電流暫態(tài)響應(yīng)見圖4。道床電阻rd=2 Ω·km時，在不同的信號源頻率下，接受端軌面電流暫態(tài)響應(yīng)見圖5。表1～表3為其峰值和峰值對應(yīng)時間誤差分析，表中1*為基于傅里葉變換結(jié)合Q-D算法，2*為文獻(xiàn)[14]算法。

表1 道床電阻為rd=0.5 Ω·km時，電流波形波峰值及峰值對應(yīng)時間誤差分析

波峰12345678910峰值時間/s1?7．44×10-40．001760．002760．003760．004760．005750．006770．007770．008770．009772?7．05×10-40．001740．002720．003730．004740．005730．006730．007730．008750．00975峰值/A1?0．57420．38310．31130．28730．27910．27620．27520．27510．27510．27522?0．57390．38320．31120．28690．27920．27660．27560．27500．27490．2751峰值時間差/ms0．040．020．040．030．020．020．040．040．020．02峰值相對誤差/%0．050．030．030．140．040．140．150．040．070．04

表2 道床電阻為rd=1 Ω·km時，電流波形波峰值及峰值對應(yīng)時間誤差分析

表3 道床電阻為rd=5 Ω·km時，電流波形波峰值及峰值對應(yīng)時間誤差分析

從圖4可知，當(dāng)軌道電路送電端阻抗匹配，受電端短路，基于傅里葉變換結(jié)合Q-D算法計算結(jié)果與文獻(xiàn)[14]計算結(jié)果基本一致。因文獻(xiàn)[14]為解析解，因此可以作為其實際值。根據(jù)表1～表3可知，基于傅里葉變換結(jié)合Q-D算法得到的波形峰值相對誤差小于0.2%，時間滯后小于0.05 ms。因此基于傅里葉變換結(jié)合Q-D算法具有較高計算精度。

傳輸線衰耗常數(shù)α和相位常數(shù)β為

(27)

信號源頻率增大時，由式(27)可知衰耗常數(shù)α增大，當(dāng)然波速也增大，圖5也符合這一規(guī)律。從圖5還可知，頻率越高，波形畸變越小，由暫態(tài)達(dá)到穩(wěn)態(tài)的周期個數(shù)越多。

3.2 基于傅里葉變換結(jié)合 Q-D算法與EMTP軌道電路仿真模型對比分析

算例2鋼軌類型為P60, 信號源內(nèi)阻為Z1s=R1+L1s=1+10-5s，即R1=1 Ω,L1=10-5H。軌道電路接受端負(fù)載阻抗為ZLs=RL+LLs+CLs-1=1+10-3s+103s-1，即RL=1 Ω,LL=10-3H,CL=10-3F。軌道電路長度為1 km，道床電阻rd=1 Ω·km，信號源us=10sin2 000πt。采用EMTP中5段CP模型加漏泄電阻rdf的形式，搭建軌道電路EMTP仿真模型見圖6，SW為控制開關(guān)，rdf=2.5 Ω，A為電流測量模塊，m1為測得電流值存儲變量。其仿真結(jié)果見圖7(a)。在相同的參數(shù)下，基于傅里葉變換結(jié)合 Q-D算法仿真結(jié)果見圖7(b)。

對比圖7(a)和7(b)可知，在任意負(fù)載阻抗下，基于傅里葉變換結(jié)合 Q-D算法計算結(jié)果和EMTP仿真結(jié)果基本一致。其峰值出現(xiàn)誤差的原因為EMTP中將軌道電路用5段CP模型代替，若CP模型數(shù)增加，計算精度會提高。通過與仿真結(jié)果對比，驗證在任意負(fù)載阻抗下，基于傅里葉變換結(jié)合 Q-D算法計算結(jié)果正確。

4 結(jié)束語

與文獻(xiàn)[14]和EMTP暫態(tài)仿真對比可知，采用基于傅里葉變換結(jié)合Q-D算法的軌道電路暫態(tài)分析法具有較高的求解精度，且適合不同條件下的軌道電路暫態(tài)分析，是一種較好的軌道電路暫態(tài)分析方法。

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