張大偉，翟婉明，朱勝陽，王開云，劉鵬飛

(西南交通大學 牽引動力國家重點實驗室，四川 成都 610031)

隨著軌道交通技術和橡膠工業(yè)的快速發(fā)展，橡膠彈性元件在鐵道車輛中的應用問題已得到較好解決，使得橡膠彈簧能夠在有限的空間內(nèi)實現(xiàn)良好的彈性，目前，橡膠彈簧在軌道交通車輛中得到了廣泛應用。圖1所示為幾種典型的一系橡膠彈簧的結(jié)構形式，包括V形橡膠彈簧、錐形疊層橡膠彈簧以及承載鞍八字形橡膠墊等。其中，V形橡膠彈簧、錐形橡膠彈簧多用于地鐵車輛一系懸掛系統(tǒng)中，我國研發(fā)的160 km/h快速貨車轉(zhuǎn)向架也采用了錐形疊層橡膠彈簧，該彈簧能提供垂向承載能力和較好的非線性剛度；而八字形軸箱橡膠彈簧主要應用于我國重載貨車一系懸掛系統(tǒng)中，該彈簧可以有效減輕簧下質(zhì)量，降低轉(zhuǎn)向架與線路之間的不良動力。

圖1 鐵道車輛中常用的橡膠彈簧

橡膠作為超彈性材料，其本構關系呈現(xiàn)出復雜的非線性。在地鐵車輛[1]、高速列車[2]以及貨車[3-4]懸掛系統(tǒng)橡膠元件的研究中，均發(fā)現(xiàn)橡膠彈性元件的彈性剛度有隨激振頻率不同而不斷變化的現(xiàn)象，而傳統(tǒng)的Kelvin-Voigt線性模型采用線性彈簧和阻尼并聯(lián)的形式，文獻[5]研究表明，該模型在反映激振頻率與剛度特性的關系上存在一定的不足。鐵道車輛在運行中往往會受到不同頻率的激擾，尤其是對于重載鐵路，由于軸重增加導致輪軌動力作用進一步加劇，準確描述橡膠元件剛度特性對研究重載車輛動態(tài)特性和重載車輛與軌道的耦合振動行為具有重要意義。因此，需要建立更為合理的橡膠彈性元件力學模型。

針對橡膠彈性元件的非線性物理模型，國內(nèi)外眾多學者展開了深入的研究。文獻[6-7]對鐵道車輛橡膠彈簧提出了一種與頻率相關的非線性黏彈性力學模型，并與試驗結(jié)果有良好的一致性。文獻[5]將五參數(shù)的分數(shù)階導數(shù)模型引入鐵道車輛橡膠彈性元件的研究中，并且應用到單自由度振動系統(tǒng)中，分析指出分數(shù)階導數(shù)模型在解決含橡膠元件振動系統(tǒng)的動力學問題中有更高的準確性。文獻[8-9]將包含分數(shù)導數(shù)黏彈性單元、非線性摩擦單元的扣件膠墊非線性動力學模型引入到輪軌動力分析中，研究了高速鐵路扣件膠墊的頻率與幅值依賴性的非線性力學行為。文獻[10]已證明介于0～2之間的任意階導數(shù)均可表示阻尼，整數(shù)僅為分數(shù)的子集，分數(shù)階可用于構建適用范圍更廣的阻尼模型。文獻[11]提出了分數(shù)階阻尼的三種形式，即分形導數(shù)、分數(shù)階導數(shù)及正定分數(shù)階導數(shù)，能準確描述黏彈性材料的記憶性和阻尼的分數(shù)次冪頻率依賴。文獻[12-14]利用分數(shù)階導數(shù)模型表征汽車中橡膠彈性元件的力學特性，并應用到汽車振動問題的研究中，仿真結(jié)果和試驗結(jié)果得到了較好的吻合。文獻[15]詳細介紹了鐵道車輛結(jié)構中常用的橡膠彈性元件并進行了相關測試，指出橡膠元件普遍存在剛度非線性的力學特性。

橡膠彈性元件的力學行為研究已經(jīng)取得了較多進展，而對于鐵道車輛橡膠彈性元件的分數(shù)階導數(shù)形式的黏彈性非線性模型的研究尚處于初始階段。目前，橡膠彈簧的傳統(tǒng)線性模型廣泛應用于重載車輛-軌道耦合動力學系統(tǒng)中[16-17]。為了探討橡膠元件力學非線性對輪軌動力作用的影響規(guī)律，本文針對重載車輛的一系懸掛橡膠彈簧，采用分數(shù)階導數(shù)理論建立橡膠彈簧的非線性力學模型，將其嵌入重載車輛-軌道耦合動力系統(tǒng)中進行輪軌動力計算，并與采用傳統(tǒng)線性模型的計算結(jié)果進行對比分析。

1 橡膠彈簧的非線性模型

橡膠彈性元件的傳統(tǒng)線性模型如圖2(a)所示，由線性彈簧和阻尼并聯(lián)組成，而橡膠彈性元件的非線性模型則與之明顯不同，其由線彈性恢復力、非線性摩擦力和采用分數(shù)階導數(shù)形式的黏性力三部分組成，具體模型如圖2(b)所示。因此，橡膠形變產(chǎn)生的作用力F即為彈性力Fe、橡膠材質(zhì)內(nèi)部摩擦產(chǎn)生的非線性摩擦力Ff、分數(shù)階導數(shù)形式的黏性力Fa三者之和。

F=Fe+Ff+Fa

(1)

圖2 橡膠彈性元件的線性和非線性模型

(1) 線彈性恢復力

彈性恢復力Fe為

Fe=Kez

(2)

式中：Ke為橡膠彈性元件彈性剛度；z為橡膠彈性元件的形變。

(2) 非線性摩擦力

摩擦力Ff可定義為[6-7]

(3)

式中：Ffmax為最大摩擦力；z2為摩擦力方向變化產(chǎn)生的過渡位移，F(xiàn)fmax、z2可由圖3確定；η=Ffs/Ffmax，且η∈[-1,1]。(zs，F(xiàn)fs)表示分支A、B的參考點，由該參考點利用式(3)可以計算當前時刻的摩擦力，計算過程中，由于摩擦力的方向不斷發(fā)生變化，因此，需要實時更新參考點。

圖3 橡膠元件典型的力-位移遲滯特性曲線

(3) 分數(shù)階導數(shù)形式的黏性力

黏性力與位移的關系可以表示為[5]

Fa=bDαz

(4)

常見的Reimann-Liouville型分數(shù)階微分[18]定義為

(5)

(6)

Grünwald-Letnikov進一步推廣，得到數(shù)值計算的分數(shù)階導數(shù)定義

(7)

對式(7)的離散表達式及截斷誤差進行分析，最終可得到

(8)

式中：Δt表示時間積分步長；下標n表示t=nΔt瞬時；zn表示tn瞬時彈性元件的形變；m∈[0,n-1]，表示第m個積分步長；z(n-m)表示t(n-mm)瞬時彈性元件的形變。式(8)即可應用到動力學問題的分析計算中，可以發(fā)現(xiàn)，tn時刻對應的作用力與之前所有時刻的位移均有一定關系，可體現(xiàn)出當前時刻作用力具有歷史依賴性。

圖3給出了由上述非線性模型得到的典型力-位移遲滯特性曲線。同時，由式(2)、式(3)和式(8)可知，在該非線性模型中，影響橡膠力-位移遲滯特性曲線的相關參數(shù)主要有Ke、Ffmax、z2、b、α等5個。為了得到該模型的參數(shù)，通常由兩種情況下分別確定。首先，試驗得到低頻激勵下的橡膠彈性元件的力-位移遲滯特性曲線，此時由于激振速度較低，相當于“靜態(tài)”加載，黏性力較小，可忽略不計，由此可以確定Ke、Ffmax和z2三個參數(shù)(如圖3所示)。然后，試驗獲得小位移中高頻激勵下的橡膠彈性元件的力-位移遲滯曲線，應用最小二乘法，確定b、α兩個參數(shù)。表1為由某橡膠元件的力-位移遲滯特性曲線測試結(jié)果擬合得到的非線性模型參數(shù)的相關數(shù)值。

表1 某橡膠彈簧非線性模型參數(shù)

圖4為橡膠彈性元件的非線性模型與測試結(jié)果的對比，由圖4可知，在低頻0.01 Hz和中頻10 Hz正弦諧波激勵下，兩者力-位移遲滯特性曲線吻合較好，表明非線性模型能夠較好地表征橡膠彈簧的力學特性。

(a)0.01 Hz，激勵位移1.5 mm

(b)10 Hz，激勵幅值1.5 mm圖4 橡膠彈簧的非線性模型與測試結(jié)果對比

2 考慮橡膠彈簧力學非線性的車輛-軌道垂向耦合模型

由前述可知，橡膠彈性元件已普遍應用于鐵道車輛一系懸掛系統(tǒng)中，因此，有必要利用非線性模型對一系橡膠彈性元件建模以分析其動力學特性?，F(xiàn)以國內(nèi)安裝有八字形軸箱橡膠彈簧的某型25 t軸重重載車輛為例，建立考慮橡膠力學非線性的重載車輛-軌道垂向耦合模型。

圖5為本文采用的以輪軌接觸關系為“紐帶”的車輛-軌道耦合動力學模型[16-17]。其中，重載車輛采用傳統(tǒng)的“三大件”式轉(zhuǎn)向架，輪對和側(cè)架之間的一系懸掛為八字形軸箱橡膠彈簧，車體(搖枕)和側(cè)架之間的二系懸掛由圓彈簧和楔塊組成。根據(jù)重載車輛的具體結(jié)構形式，車輛子系統(tǒng)可建立為包含有10個自由度的多剛體系統(tǒng)，具體地，車體和側(cè)架考慮沉浮和點頭運動，而輪對只考慮其沉浮運動。對于懸掛系統(tǒng)，一系懸掛采用上述橡膠元件非線性模型，而二系懸掛采用線性彈簧和摩擦副并聯(lián)的物理模型。同時，考慮到重載軌道結(jié)構形式為75 kg/m鋼軌、Ⅲ型混凝土軌枕和碎石道床，因此軌道子系統(tǒng)可采用三層點支承的梁模型，其中，鋼軌可視為有限長的Bernoulli-Euler梁模型，混凝土軌枕和道床塊視為剛體，只考慮其垂向振動。最后，車輛子系統(tǒng)和軌道子系統(tǒng)可利用Hertz非線性彈性接觸模型耦合在一起。

圖5 重載車輛-軌道耦合動力學模型

根據(jù)達朗貝爾原理，同時考慮橡膠彈性彈簧的非線性模型，輪對沉浮的運動方程為

(9)

側(cè)架的沉浮運動方程為

(10)

側(cè)架的點頭運動方程為

(11)

車體的沉浮運動方程為

(12)

車體的點頭運動方程為

(13)

式中：Zwi、Ztj、βtj、Zc、βc分別表示輪對沉浮、側(cè)架沉浮和點頭以及車體沉浮和點頭運動；Mc、Mt和Mw分別表示車體(含搖枕)質(zhì)量、側(cè)架(兩個)質(zhì)量和輪對質(zhì)量；Jc和Jt分別表示車體和側(cè)架的點頭慣量；Ksz和Fszj分別表示二系懸掛的剛度和摩擦力；Pi表示輪軌垂向力；lc為車輛定距之半；lt為轉(zhuǎn)向架軸距之半；i為車輛輪對的順序編號，i=1～4；j為側(cè)架的順序編號，當i=1，2時，j=1；當i=3，4時，j=2。

為了求解二系懸掛的摩擦力Fszj，分析貨車二系懸掛摩擦減振器非線性作用模型[16]，如圖6所示。其包括兩部分，分別為彈簧支撐和楔塊式摩擦減震器。由于與車輛重量相比，楔塊質(zhì)量非常小，因此，可以忽略楔塊的慣性力。圖6給出了減震器楔塊受力情況，Nj為楔塊彈簧的反力；Sj、Fj為楔塊兩摩擦面間的正壓力;α1為斜楔摩擦角。若主副摩擦面的摩擦系數(shù)相同，均取為μs，其摩擦力可以取以下的簡單形式進行計算。

圖6 二系懸掛摩擦減振器非線性作用模型

楔塊彈簧的反力為

Nj=Ksz1[Zc+(-1)jlcβc-Ztj]

(14)

式中：Ksz1為支撐斜楔的彈簧剛度。

忽略楔塊的慣性力后，由受力平衡可以得到

(15)

簡化得到

(16)

因此，二系懸掛摩擦力為

Fszj=2Nj±2μFj

(17)

式(14)～式(17)中，j=1～2。當搖枕和側(cè)架面向運動時，±和?取上面的符號；當搖枕和側(cè)架背向運動時，±和?取下面的符號。

重載車輛的相關參數(shù)詳見表2，表中，R表示滾動圓半徑；v表示行車速度。軌道子系統(tǒng)的振動方程參見文獻[16-17]，在此不再贅述，表3給出了軌道結(jié)構的具體參數(shù)。

表2 重載車輛垂向模型參數(shù)

表3 重載軌道結(jié)構參數(shù)

為了探討橡膠彈簧非線性對輪軌動力特性的影響，以表4給出的重載車輛軸箱橡膠彈簧非線性模型參數(shù)為例進行分析。需要指出的是，由于橡膠元件生產(chǎn)制造及使用狀態(tài)等條件的差異，上述橡膠元件的非線性模型參數(shù)可能會有所不同。圖7(a)為一系懸掛橡膠元件采用上述非線性模型參數(shù)構建時，在連續(xù)諧波激擾下重載車輛-軌道系統(tǒng)中橡膠元件動載荷-位移的變化特性。圖中給出了相同諧波幅值條件下，頻率分別為40 Hz、50 Hz和60 Hz時的動荷載-位移遲滯特性曲線，可見，三種激勵頻率對應的載荷-位移遲滯特性曲線明顯不同。遲滯曲線包絡的面積即一次循環(huán)加載卸載過程中損耗的能量，比較三種頻率下的包絡面積可知，40 Hz頻率下的包絡面積明顯比50 Hz和60 Hz頻率下的包絡面積要小很多。由此可知，激振頻率越高，橡膠彈簧能量消耗越大，阻尼效應也越明顯。

表4 軸箱橡膠彈簧非線性模型參數(shù)

(a)典型遲滯曲線

(b)不同頻率下的剛度和阻尼特性圖7 不同頻率下的橡膠彈簧動態(tài)特性

3 橡膠彈簧非線性特性下的輪軌動力特征

為了研究考慮橡膠彈簧非線性特性條件下的輪軌動力特征，應用上述建立的重載車輛-軌道垂向耦合動力學模型，計算車輪扁疤沖擊和軌道隨機不平順激擾下的車輛與軌道動態(tài)響應，并與考慮橡膠彈簧線性特性條件下的輪軌動態(tài)特征進行比較分析。

3.1 車輪扁疤沖擊輪軌動力作用分析

沖擊荷載選取為重載車輛中常見的車輪擦傷引起的扁疤沖擊，如圖8所示。同時，利用翟方法[19]對基于橡膠彈簧線性模型和非線性模型的車輛-軌道耦合動力系統(tǒng)分別進行求解，并比較兩種模型條件下輪軌動態(tài)響應的不同。

圖8 車輪扁疤模型

翟積分算法可以表示為

(18)

(19)

由車輪扁疤引起的沖擊速度[17]為

(20)

(21)

式中：L為車輪扁疤長度，L=50 mm；γ為車輪旋轉(zhuǎn)慣量轉(zhuǎn)換的往復慣量系數(shù)。

(2)由式(18)計算tn時刻的位移Xn。

(3)從Xn中取出Zwi、Ztj、βtj積分結(jié)果，由式(2)計算橡膠元件的彈性恢復力Fe，由式(8)計算橡膠元件的黏性力，由式(3)計算橡膠元件的摩擦力Ff；從Xn中取出Ztj、Zc，βtj積分結(jié)果，計算二系懸掛的線彈性力、阻尼力及摩擦力。

(4)由(3)可得到式(9)～式(13)等號右邊外力的合力矩陣Fn。

(7)由式(18)計算tn+1時刻的位移Xn+1。

(8)重復(3)～(7)，并判斷當tn=t1時，令1位輪對的沉浮振動速度Zw1=v0，仿真t1時刻車輪扁疤沖擊響應。

車輪扁疤激擾下輪軌垂向力計算結(jié)果如圖9所示。由圖9(a)可知，非線性模型和線性模型下的輪軌垂向力振動響應有所不同，但總體差異不大。兩種模型下輪軌垂向力P1無明顯差別，均為378.2 kN，而P2略有不同，非線性模型中輪軌力P2為202.6 kN，線性模型中輪軌力P2為209.8 kN，前者比后者略小，相差不大。文獻[20]研究也表明，在沖擊荷載條件下，一系懸掛(即橡膠彈簧)剛度和阻尼變化時，輪軌垂向力P1和P2變化并不明顯，這也就是線性模型和非線性模型相差不大的原因所在。

圖9(b)給出了頻域內(nèi)輪軌垂向力的變化情況?？梢钥吹?，兩種模型中輪軌垂向力的不同之處主要表現(xiàn)在200 Hz以下的中低頻區(qū)域。當頻率在10～80 Hz范圍內(nèi)時，非線性模型的輪軌垂向力譜密度值比傳統(tǒng)線性模型下的輪軌垂向力譜密度值略大，由圖7(b)可知，其原因為在80 Hz以下頻率范圍內(nèi)，線性模型的阻尼要比非線性模型要小，這表明傳統(tǒng)模型會低估10～80 Hz頻率范圍內(nèi)的輪軌垂向力，而在80～200 Hz頻率范圍內(nèi)，非線性模型中的輪軌垂向力譜密度值比傳統(tǒng)模型下的輪軌垂向力譜密度值要小，由圖7(b)可知，其原因為在80Hz以上頻率范圍內(nèi)，線性模型的阻尼要比非線性模型要大，表明傳統(tǒng)模型可能高估了該頻率范圍內(nèi)輪軌垂向力。

(a)輪軌垂向力振動響應

(b)功率譜密度曲線圖9 輪軌垂向力振動響應時程圖和功率譜密度曲線

3.2 軌道隨機不平順下的輪軌動力作用分析

為比較軌道隨機不平順作用下的輪軌動力響應，選取某重載鐵路實測軌道不平順(如圖10所示)作為激擾輸入車輛-軌道垂向耦合動態(tài)系統(tǒng)中，并對比橡膠彈簧的非線性模型和線性模型對輪軌垂向力以及車輛結(jié)構振動加速度等指標影響的差異。

圖10 實測軌道隨機不平順

圖11為隨機不平順作用下輪軌垂向力的動態(tài)響應時程圖，從圖11(a)可知，橡膠元件的兩種力學模型對應的輪軌垂向力有所不同。非線性模型中輪軌垂向力的最大值和最小值分別為184.5 kN和45.0 kN，而線性模型對應的輪軌垂向力的最大值和最小值則分別為173.2 kN和62.4 kN，最大值前者比后者有所增大，而最小值前者比后者略有減小，可見兩種模型下的輪軌垂向力有明顯的不同，尤其是最小輪軌垂向力。圖11(b)為輪軌垂向力概率密度分布曲線，可見兩種模型下輪軌垂向力的分布差異同樣明顯，非線性模型中輪軌垂向力在靜輪重120 kN附近的概率密度要比傳統(tǒng)線性模型對應的概率密度要低，而在輪軌垂向力較低區(qū)域和較高區(qū)域，前者要比后者概率密度要高。

(a)輪軌垂向力振動響應

(b)概率密度分布曲線圖11 輪軌垂向力振動響應時程圖和概率密度分布曲線

圖12為兩種模型下輪軌垂向力的功率譜密度曲線對比，可以看出，圖中存在兩個主頻區(qū)，第一個為2 Hz左右的低頻，主要為車體振動引起的，第二個為50 Hz左右的中頻，反應了車輪與軌道共同變形的耦合振動。從這兩個主頻區(qū)可以發(fā)現(xiàn)，非線性模型對應的譜密度值均比傳統(tǒng)線性模型稍大，與沖擊荷載作用下的結(jié)論一致，也解釋了非線性模型中輪軌垂向力最大值要比線性模型稍大的原因。

圖12 輪軌垂向力功率譜密度

(a)輪對

(b)側(cè)架

(c)車體

(d)鋼軌圖13 車輛結(jié)構和鋼軌加速度時程圖

圖13為車輛結(jié)構與鋼軌振動加速度時程曲線。圖13(a)和圖13(d)分別為輪對加速度和鋼軌加速度振動響應時程圖，可見兩種模型對應的輪對垂向加速度均在7.2g左右，鋼軌垂向加速度均在20g左右，即該兩種指標未發(fā)生明顯的變化。然而側(cè)架垂向加速度和車體垂向加速度卻有明顯的不同，如圖13(b)和圖13(c)所示。對于側(cè)架垂向加速度，非線性模型和線性模型對應的最大值分別為5.8g和12.0g，前者比后者降低了約一半，變化比較明顯；對于車體垂向加速度，非線性模型和線性模型對應的最大值分別為0.13g和0.17g，前者比后者降低了0.04g，變化較小?？梢?，非線性模型下，輪對加速度同傳統(tǒng)模型差異不大，而側(cè)架加速度和車體加速度卻比傳統(tǒng)模型小很多。

由圖12的輪軌垂向力功率譜密度曲線可知，輪軌垂向力主要頻率集中在80 Hz以下，從圖7(b)可知，此時對應的非線性模型的阻尼效應大于線性模型。因此從系統(tǒng)振動指標來看，線性模型對應的輪軌垂向力較非線性模型對應的輪軌垂向力略小。而對于側(cè)架和車體的振動，由于兩者位于一系橡膠懸掛的上部，振動向上傳遞到兩者時，已經(jīng)經(jīng)過橡膠彈簧的隔振作用，由上述分析可知非線性模型對應的等效阻尼比線性模型的阻尼要大，也就是說能量吸收效果更明顯，振動衰減作用更明顯，因此橡膠彈簧非線性模型下仿真得到的側(cè)架和車體振動加速度要比線性模型小。

4 結(jié)論

本文針對軌道交通常見的橡膠彈性彈簧建立了采用分數(shù)階導數(shù)理論的非線性模型，探討了該非線性模型在重載車輛-軌道耦合動態(tài)系統(tǒng)中的應用，并比較了非線性模型同傳統(tǒng)線性模型在輪軌動力響應計算中的差異。得到如下結(jié)論：

(1)由線彈性恢復力、非線性摩擦力和采用分數(shù)階導數(shù)形式的黏性力三部分組成的橡膠彈簧非線性模型可以較好地表征橡膠彈簧的力學特性。

(2)在重載車輛-軌道耦合系統(tǒng)模型中，一系懸掛橡膠彈簧分別用線性模型和非線性模型構建時，采用前者會低估10～80 Hz頻率范圍內(nèi)的輪軌垂向力，且高估了80～200 Hz頻率范圍內(nèi)的輪軌垂向力。

(3)在軌道隨機不平順條件下，橡膠彈簧非線性模型和線性模型中輪軌垂向力的概率密度分布差異明顯，非線性模型中輪軌垂向力最大值略有增加，而最小值略有下降。同時，非線性模型計算得到的輪對垂向加速度和鋼軌垂向加速度幅值與線性模型差異不大，而側(cè)架垂向加速度和車體垂向加速度比線性模型均有所降低。

綜上所述，橡膠彈性元件的歷史依賴特性對車輛-軌道耦合動態(tài)系統(tǒng)有明顯的影響，利用分數(shù)階導數(shù)理論構建橡膠元件非線性力學模型在車輛與軌道動態(tài)相互作用分析中可以得到有效地應用。

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