柳軼彬，田銘興，趙茜茹，尹健寧

(蘭州交通大學(xué) 自動化與電氣工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

電氣化鐵道供電方式特殊，負荷運行條件復(fù)雜，鐵道無功負荷變化范圍寬，波動大，沖擊性與隨機性強[1-2]。近年來，我國高速電氣化鐵路的建設(shè)規(guī)模不斷擴大，需要性能更高的無功補償裝置對牽引供電系統(tǒng)進行無功補償以提高其功率因數(shù)[3-4]。傳統(tǒng)的固定電容器FC(Fixed Capacitor)、晶閘管投切電容器TSC (Thyristor Switched Capacitor)不能平滑調(diào)節(jié)輸出無功[5-6]；靜止同步補償器STATCOM(Static Synchronous Compensator)雖然調(diào)節(jié)性能良好，但維護困難、造價高[7]。相比之下，可控電抗器配合固定電容器[8]能平滑調(diào)節(jié)無功、響應(yīng)速度快、投資少、見效快、可靠性高，是電氣化鐵道中比較理想的無功補償方案；而選用性能良好的可控電抗器則是實施該方案的關(guān)鍵。目前電氣化鐵道無功補償中的可控電抗器主要采用晶閘管控制電抗器TCR(Thyristor Controlled Reactor)和磁飽和式可控電抗器MSCR(Magnetically Saturated Controllable Reactor)[9-10]，但二者的共同缺點是均會產(chǎn)生較大的諧波電流。

變壓器式可控電抗器CRT(Controllable Reactor of Transformer Type)是一種能大范圍快速平滑調(diào)節(jié)輸出功率的無功補償設(shè)備[11]，特別適用于電氣化鐵道電力機車運行方式多變、負荷變化快的特點；與MSCR相比，其響應(yīng)速度快且運行時噪聲??；相比TCR，其諧波含量較小；與STATCOM相比，其制造成本低而且運行可靠，將其與固定電容器配合將是解決目前電氣化鐵道動態(tài)無功補償問題的一個理想方案。

文獻[11-13]對CRT的基本理論問題進行了詳細研究，文獻[14]對包括CRT在內(nèi)的多種可控電抗器進行了系統(tǒng)地總結(jié)分析。但文獻[11-14]的分析均只限于一個控制繞組處于調(diào)節(jié)狀態(tài)。僅讓一個控制繞組處于調(diào)節(jié)狀態(tài)，控制策略簡單，但其諧波含量不可控，而且在某些工況下仍然較大；事實上，CRT各控制繞組均可處于調(diào)節(jié)之中，滿足同一個輸出容量的觸發(fā)角組合遠不止一種，而工作繞組的諧波電流在不同的組合下卻差異很大。因此，有必要研究CRT工作繞組電流的各次諧波有效值與各控制繞組的晶閘管觸發(fā)角之間的定量關(guān)系，這對于優(yōu)化CRT的諧波含量，提高其補償性能具有重要意義。

基于以上目的，本文定義觸發(fā)角向量，規(guī)定標準/非標準觸發(fā)次序，引出多繞組調(diào)節(jié)模式的概念。采用分段線性化的辦法求得CRT工作繞組電流在各時間段上的瞬時表達式。求出工作繞組電流各次諧波分量傅里葉系數(shù)與觸發(fā)角向量的多元非線性函數(shù)的矩陣表達通式，進而給出基波與諧波電流有效值的計算公式。設(shè)計算例，驗證了本文所給計算公式的正確性。

1 多繞組調(diào)節(jié)模式

CRT是一種對外等效電抗能在大范圍內(nèi)快速平滑調(diào)節(jié)的可控電抗器，將其與FC并聯(lián)于牽引變壓器的二次側(cè)便可對牽引供電系統(tǒng)進行動態(tài)無功補償，其基本原理如圖1所示。

圖1 CRT與FC的綜合無功補償示意圖

圖1中FC由若干個電容支路并聯(lián)而成，且每條支路還串聯(lián)一特定取值的電感，通過諧振可濾除特定次諧波電流(以抑制奇次諧波為主，主要為3、5、7頻次諧波)?？傮w來看，F(xiàn)C能產(chǎn)生固定大小的容性無功；而CRT可發(fā)出介于其空載與滿載之間的任意大小的感性無功；牽引負荷無功一般呈感性，其變化范圍較大。因此，若采用合理的控制策略，在機車運行時的任一工況下，通過對CRT各控制繞組晶閘管觸發(fā)脈沖的相位進行控制，使其產(chǎn)生的感性無功總能與FC發(fā)出的容性無功及牽引負荷無功相平衡，即三者之和始終接近于0，整個牽引供電系統(tǒng)的功率因數(shù)便能始終維持在接近于1的水平，可以提高機車的運行效率。

以上內(nèi)容說明了CRT進行無功補償時的應(yīng)用環(huán)境，接下來，介紹CRT的工作原理，并引出多繞組調(diào)節(jié)模式的相關(guān)定義。CRT的電路原理如圖2所示，圖中W1表示工作繞組，與固定電容器一起并接在牽引變壓器的二次側(cè)；W2，W3，…，Wn為n-1個低壓控制繞組；u1為W1的端口瞬時電壓。

圖2所示CRT為一臺各低壓控制繞組均串聯(lián)了TCR的高漏抗多繞組降壓變壓器，其中T2，T3，…，Tn及X2，X3，…，Xn分別為各TCR所對應(yīng)的反并聯(lián)晶閘管及串聯(lián)電抗(本文中稱為限流電抗)。CRT采用高漏抗降壓變壓器，一方面具有降壓隔離的作用，相比直接將TCR并聯(lián)在高壓牽引母線上，不僅可降低各反并聯(lián)晶閘管的耐壓等級，而且能隔離牽引母線的故障，提高設(shè)備可靠性；另一方面，各繞組較高的漏電抗可直接充當電感元件進行無功補償，能減小各繞組所匹配的限流電感。

圖2 CRT工作原理圖

(1)α1≡0，表示工作繞組W1的觸發(fā)角始終為0。雖然實際CRT的工作繞組W1中并沒有串聯(lián)晶閘管，但這里假想給工作繞組也串聯(lián)了一個始終全導(dǎo)通的反并聯(lián)晶閘管。這種處理并不改變CRT原有的工作原理，卻非常有利于后文中公式的統(tǒng)一表示。

(2)除α1的下標始終是W1的編號外，αn其余各元素的下標不一定是圖2中剩余各繞組的編號。αk(2≤k≤h≤n)對應(yīng)第k-1個導(dǎo)通的控制繞組而不一定對應(yīng)Wk，也就是說αn各元素下標代表的是相應(yīng)控制繞組的觸發(fā)次序，下標越小說明相應(yīng)的控制繞組越先導(dǎo)通。

(3)αh之后再沒有晶閘管導(dǎo)通，即αh+1=αh+2=…=αn=π/2。也就是說，共有h個繞組(包括工作繞組)在該工頻周期里參與了運行，而另外n-h個(控制)繞組則始終處于截止狀態(tài)。

按照上述規(guī)定，在CRT從計時零點算起的任意一個工頻周期里，任何一個控制繞組均有可能處于調(diào)節(jié)之中，處于調(diào)節(jié)狀態(tài)的控制繞組的個數(shù)可以超過一個，可將其稱為多繞組調(diào)節(jié)模式。

2 工作繞組瞬時電流分段表達式

為方便公式推導(dǎo)，對后文將會出現(xiàn)的各物理量進行說明(如無特殊說明，后文各物理量的下標意義均以此為標準)。

Lk(1≤k≤h≤n)表示αn的元素αk對應(yīng)的繞組(不一定是Wk)的自感系數(shù)，Mkq表示αn的元素αk和αq(1≤q≤h≤n)對應(yīng)兩個繞組間的互感系數(shù)。Lxk為αk對應(yīng)的繞組所串聯(lián)的限流電抗器的電感系數(shù)(工作繞組沒有串聯(lián)限流電抗器，因此Lx1≡0)，ik表示αk對應(yīng)繞組的電流瞬時值。忽略鐵芯飽和引起的非線性及所有電阻。

由于CRT工作繞組電流波形在正半周期里關(guān)于ωt=π/2對稱，因此只須計算[0，π/2]時段上的電流表達式即可知道正半周期的電流波形。

按照第1章中關(guān)于多繞組調(diào)節(jié)模式的一系列規(guī)定，在[0，π/2]上，參與調(diào)節(jié)的h個繞組將按照αn中各自觸發(fā)角的大小依次導(dǎo)通，因此，CRT的電路結(jié)構(gòu)會隨著各晶閘管的順次導(dǎo)通而發(fā)生變化，也就是說，在[0，π/2]時段上，CRT的電路拓撲是非線性的；但是在相鄰兩個觸發(fā)時刻所形成的小時段內(nèi)，CRT的電路結(jié)構(gòu)則是確定的線性電路。

根據(jù)以上分析，可以采用分段線性化的辦法，將[0，π/2]時段按照當前周期的觸發(fā)角向量的觸發(fā)次序分成h個小時段，逐段求解，便可得到CRT工作繞組的瞬時電流在[0，π/2]上的表達式。

根據(jù)αn的定義，在第s(1≤s≤h≤n)個時段(αs，αs+1]上，總共有s個繞組在該時段上是導(dǎo)通的，于是有如下微分方程組成立

Ls(pis)=us

(1)

式中：p=d/dt；is=[i1si2s…iks…iss]T，其中iks(1≤k≤s)表示ik在(αs，αs+1]時段上的瞬時值；us=[u10 … 0 … 0]T；Ls為Ln的前s行s列子矩陣，而Ln是一個由CRT各繞組間的自、互電感及限流電感共同來決定的n階方陣，稱為綜合電感矩陣，矩陣中各電感的下標意義與本章開始所述保持一致，Ln可以表示為

(2)

由式(1)可得

(3)

(4)

要求解式(4)，須給定當前時段的初值，而當前時段的初值是上個時段的終值，由于第一個時段(α1，α2]的初值總是已知的(i11|ωt=α1=0)，因此采用遞推的辦法便可求得[0，π/2]上任意(αs，αs+1](1≤s≤h≤n)時段上工作繞組電流的瞬時表達式，整理化簡后，可將其表示為

(5)

式中：Vs=(0，E)-(E，0)，其中E為s階單位矩陣，0為s×1零向量；Cs=[x(α1)x(α2) …x(αs)x(ωt)]T，其中x( )=sin( )；ys=[1/L1，11/L1，2… 1/L1，s]。

由于式(1)中的Ls(1≤s≤h≤n)是取Ln的前s行s列的子矩陣，而當觸發(fā)次序確定之后Ln就是確定的，因此，各個小時段所對應(yīng)的Ls總是確定的，從而各個小時段上CRT工作繞組電流的瞬時表達式便是唯一的。

式(5)給出了CRT工作繞組電流在任意(αs，αs+1]上的瞬時表達式，形式簡單，便于后續(xù)公式推導(dǎo)，但并不直觀。通過式(5)的展開式可知，CRT工作繞組電流在任意(αs，αs+1]上的瞬時表達式為

(6)

(7)

(8)

式(6)說明CRT工作繞組在任意(αs，αs+1)上的電流波形可由第s級臨界波形直接平移而來，而平移的距離等于第1～s級差距之和。因此，當某個周期里各控制繞組的實際觸發(fā)角確定之后，可確定各級臨界波形以及各級差距，將相應(yīng)的臨界波形進行特定平移來逐段確定CRT工作繞組的電流波形，而無需重新分段計算。

(9)

式中：Q為n階方陣。若用qij表示其第i行第j列的元素，則qij的取值為

(10)

由此可見，對于任何觸發(fā)次序，上述計算辦法總是適用的，也就是說相控觸發(fā)方式下CRT的任何調(diào)節(jié)模式均可以在多繞組調(diào)節(jié)模式下統(tǒng)一分析。

3 諧波分析

結(jié)合CRT工作原理可知，i1的波形符合1/4周期對稱[15]，其中只含基波和奇次諧波中的正弦項，可分解為如下形式的傅里葉級數(shù)

(11)

(12)

按照第2章推理，i1在[0，π/2]上是由h個分段表達式構(gòu)成的，其形式由式(5)統(tǒng)一表示，將式(5)所示的h個分段表達式代入式(12)中進行分段積分并整理化簡，便可求得工作繞組電流的2m-1(m=1，2，3，…)次諧波分量的傅里葉系數(shù)與αn之間的多元函數(shù)關(guān)系式，通過進一步化簡，所得結(jié)果可表示為

(13)

(14)

工作繞組電流基波及各次諧波分量有效值為

(15)

文獻[11]提出了CRT的3種調(diào)節(jié)模式：順次單支路(逐級短路)、固定單支路和轉(zhuǎn)移單支路調(diào)節(jié)模式。就處于部分時段導(dǎo)通狀態(tài)的繞組個數(shù)來說，這3種調(diào)節(jié)模式始終只有1個，可稱之為單繞組調(diào)節(jié)模式。本文分析的多繞組調(diào)節(jié)模式包括了單繞組調(diào)節(jié)模式。事實上，對于單繞組調(diào)節(jié)模式，就是令α2=α3=…=αh-1=0，0≤αh≤π/2，αh+1=αh+2=…=αn=π/2，于是便可由式(14)和式(15)得到工作繞組電流的2m-1(m=1，2，3，…)次諧波電流(m=1時為基波)的有效值為

(16)

由式(16)可得工作繞組電流的2m-1次諧波電流系數(shù)(諧波含有率[11])為

(17)

特別的，在順次單支路模式下有

(18)

式(18)中，βh就是文獻[11，13]中所說的級間容量遞增系數(shù)，式(18)中的第2式則將級間容量遞增系數(shù)與CRT的結(jié)構(gòu)參數(shù)聯(lián)系在了一起，這對指導(dǎo)CRT設(shè)計具有重要意義。聯(lián)立式(14)對式(18)進行化簡發(fā)現(xiàn)式(18)與文獻[13]中的式(13)是一致的。

雖然在形式上其余兩種模式的諧波含有率也能表示成式(18)，但此時，βh=L1，h-1/L1，h沒有具體意義，代表的不是級間容量遞增系數(shù)。

以上分析說明，本文推導(dǎo)的多繞組調(diào)節(jié)模式下工作繞組瞬時電流分段表達式及諧波電流的計算公式可以完全用于單繞組調(diào)節(jié)模式的分析計算，單繞組調(diào)節(jié)模式可以看作多繞組調(diào)節(jié)模式的一個特例。

按照本文的推理，對于任意結(jié)構(gòu)的CRT，只要能給出其各繞組間的自、互電感及限流電感的值，根據(jù)式(6)～式(8)就可以得到任意觸發(fā)角組合下CRT工作繞組電流的瞬時表達式，而根據(jù)式(13)～式(15)可以求得任意觸發(fā)角組合下CRT工作繞組電流的各次諧波分量有效值。

4 算例驗證

為驗證本文所給計算方法與推理過程的正確性，本文以文獻[11]中提供的CRT模型參數(shù)為例進行分析計算，并與文獻[11]中提供的CRT等值電路仿真模型的仿真結(jié)果進行對比。

設(shè)電力牽引母線的額定電壓為UN=27.5 kV，文獻[11]給出了一個6繞組CRT，并求出了各繞組之間的自、互阻抗矩陣(各繞組的匝數(shù)和所有物理量均已歸算到了高壓側(cè))，將阻抗矩陣轉(zhuǎn)化為自、互電感矩陣(用M表示，M的每行(每列)元素對應(yīng)的實際繞組編號為標準排列)，結(jié)果(單位：H)如下

M=

文獻[11]的算例是針對順次單支路模式(逐級短路調(diào)節(jié)模式)來設(shè)計的，當M矩陣確定之后，采用文獻[11]給出的遞推算法便可算出對應(yīng)于W2、W3、W4、W5、W6的限流電感系數(shù)，用向量Lx表示(單位：H)，結(jié)果如下

Lx=[85.66 71.64 29.91 10.22 1.26]

L6=

按照第2節(jié)的推理過程，可得y6為

y6=[0.00221 0.0324 0.0436 0.0524

0.109 0.226]

利用y6中的參數(shù)，根據(jù)式(6)～式(8)及工作繞組電流波形的對稱性可繪出工作繞組電流在[0，π]上的波形。

文獻[11]建立了CRT的等效電路仿真模型，如圖3所示，其核心部分為多繞組變壓器的多邊形等效電路。本例中的CRT共有6個繞組，該6繞組變壓器的等效電路如圖3中的正6邊形所示。

圖3 CRT等效電路

按照文獻[11]所給的詳細計算流程，圖3中的6邊形等值電路各支路的等效電感參數(shù)可由CRT的自、互電感(M矩)求得，本文只列出其最終結(jié)果(用矩陣l表示)，其詳細過程可參考文獻[11]，此處不再重復(fù)。需要說明的是l的各行號與列號分別對應(yīng)于等值電路的6個節(jié)點，主對角線上的元素“-”表示無效，l中各電感參數(shù)具有等效的性質(zhì)，出現(xiàn)負值時只有數(shù)學(xué)意義，并不具有物理意義。

圖3中的lij(1≤i，j≤6)是矩陣l的第i行第j列元素，lxi(2≤i≤6)為Lx的第i-1個元素，即與繞組Wi串聯(lián)的限流電抗的電感大小。

將采用該仿真模型得到的波形與使用本文計算公式繪出的波形進行對比，如圖4所示。

圖4 工作繞組電流波形

從圖4可以看出，計算所得波形與仿真波形基本重合，從而說明本文所得的計算工作繞組電流瞬時值的分段矩陣表達式是正確的。

根據(jù)式(13)～式(15)，基于本例中所給的各繞組的實際觸發(fā)角便可求出工作繞組電流基波與各次諧波分量有效值，見表1。

表1 基波與諧波分量有效值 A

表1顯示計算結(jié)果與仿真結(jié)果基本吻合，說明本文所給出的求算工作繞組基波及各次諧波電流有效值的計算公式是正確的。

如前文所述，滿足同一輸出容量的觸發(fā)角組合有很多組，現(xiàn)任意給出兩組能保證相同基波電流有效值的實際觸發(fā)角組合，比較其諧波含量的差異。

第一組：W2、W3、W4、W5、W6對應(yīng)的觸發(fā)角依次為0、0、0、0、π/32。

第二組：W2、W3、W4、W5、W6對應(yīng)的觸發(fā)角依次為π/2、3π/8、7π/16、2π/13、0。

圖5所示為上述兩組觸發(fā)角組合對應(yīng)的工作繞組電流在[0，π]上的波形。上述兩組觸發(fā)角組合對應(yīng)的CRT工作繞組基波及各次諧波電流有效值見表2。

圖5 兩組不同觸發(fā)角組合下的工作繞組電流波形

表2 兩組不同觸發(fā)角組合下的基波與諧波有效值 A

圖5所示的兩電流波形的基波電流有效值均為18.51 A。第二組組合屬于多繞組調(diào)節(jié)模式，而第一組為單繞組調(diào)節(jié)模式，從表2可以看出，第二組組合對應(yīng)的工作繞組電流的各次諧波明顯小于第一組，這說明讓CRT按照多繞組調(diào)節(jié)模式運行有可能進一步減小其諧波含量。

5 結(jié)論

(1)多繞組調(diào)節(jié)模式下，CRT工作繞組電流在各個時段上的波形可通過對相應(yīng)臨界波形進行平移而直接得到。

(2)多繞組調(diào)節(jié)模式下，CRT工作繞組電流各次諧波分量有效值與各個觸發(fā)角之間的多元函數(shù)表達式是若干個相同形式的關(guān)于觸發(fā)角的一元函數(shù)的線性組合。

(3)多繞組調(diào)節(jié)模式能夠涵蓋相控觸發(fā)方式下CRT所有的調(diào)節(jié)模式，文獻[11]中所述的單繞組調(diào)節(jié)模式是多繞組調(diào)節(jié)模式的特例，本文給出的多繞組調(diào)節(jié)模式的工作繞組瞬時電流分段表達式和諧波電流計算公式更具有一般性。

(4)本文的計算結(jié)果與采用文獻[11]中的CRT等值電路模型得到的仿真結(jié)果基本吻合，說明本文的分析方法和計算公式是正確的。

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