李靜年，周文祥，李政璋

(1.西南交通大學(xué) 牽引動力國家重點實驗室，四川 成都 610031；2.西南交通大學(xué) 機械工程學(xué)院，四川 成都 610031)

列車在行駛過程中車輪與鋼軌相對滑動產(chǎn)生磨耗，為了能夠檢測鋼軌或車輪磨耗后的斷面曲線，一些接觸式測量儀應(yīng)運而生，包括丹麥綠林公司生產(chǎn)的Miniprof二連桿測量儀和牽引動力國家重點實驗室研制的五連桿測量儀，其測量桿末端與測量輪連接，測量輪滾過被測對象，如鋼軌軌頭斷面或車輪踏面外形。連桿機構(gòu)帶動編碼器旋轉(zhuǎn)，檢測系統(tǒng)采集到角度數(shù)據(jù)。通過角度數(shù)據(jù)和數(shù)學(xué)模型只能得到測量輪的輪心坐標(biāo)，要想得到被測對象斷面曲線的坐標(biāo)數(shù)據(jù)，還需要對輪心軌跡二維數(shù)組進行半徑補償。二維半徑補償?shù)某Ｓ盟惴ㄓ袦y量方向補償法、線線補償法、二點補償法和三點共圓補償法等[1]。但是這些方法中采用了離散數(shù)組的數(shù)值處理方法(類似圖像點處理方法)，由于五連桿測量儀計算得到的離散輪心坐標(biāo)數(shù)組量化誤差較大，使用這些算法不盡理想。

考慮到求被測對象斷面曲線(下文簡稱被測曲線)就是輪心曲線沿法矢方向偏移測頭半徑長度的結(jié)果，曲線擬合已廣泛應(yīng)用于測頭半徑補償過程。文獻(xiàn)[2-5]運用三次樣條函數(shù)和二次曲面直接擬合輪心曲線，效果比較明顯，但針對復(fù)雜曲面存在一定局限性。19世紀(jì)，F(xiàn)ourier得出任意周期函數(shù)都能展開成Fourier級數(shù)的結(jié)論。Fourier級數(shù)促進了偏微分方程理論的發(fā)展，成功解決了關(guān)于弦振動問題的解的爭論；同時，F(xiàn)ourier級數(shù)是“信號與系統(tǒng)”課程的核心，也是處理科學(xué)和工程諸多問題不可或缺的理論工具。另一方面，F(xiàn)ourier函數(shù)擬合也被運用到各種實際問題中。文獻(xiàn)[6]用傅里葉級數(shù)對客運量進行擬合與預(yù)測，得到了較好的效果。文獻(xiàn)[7]利用Fourier級數(shù)時間序列模型擬合出自然災(zāi)害損失的變化趨勢，并對未來5年內(nèi)的情況進行了高精度的預(yù)測。本文也嘗試用Fourier函數(shù)對車輪踏面曲線進行擬合。

1 輪心曲線擬合法

1.1 傳統(tǒng)半徑補償方法

傳統(tǒng)方法中采用兩點法進行測量輪半徑的補償，如圖1所示，已知測量輪中心C1、C2兩個相鄰點坐標(biāo)，過C1作C1C2的垂直線與被測量的踏面曲線相交于O3，可得出△C1C2B與△C1O3C相似，從而得出點O3即踏面曲線上的點的坐標(biāo)。

圖1 測輪半徑補償

1.2 曲線擬合半徑補償方法

由于計算過程中只得到離散的輪心曲線坐標(biāo)，在傳統(tǒng)半徑補償過程中用差商代替導(dǎo)數(shù)值計算求出切點坐標(biāo)(x，y)的值，此計算方法存在一定誤差，而且編碼器量化(取整)使數(shù)據(jù)產(chǎn)生局部趨勢，數(shù)據(jù)整體不夠平滑，半徑補償后的曲線容易出現(xiàn)自相交[8]，同時也增大了測量數(shù)據(jù)的誤差值。為解決自相交的問題，并進一步提高精度，嘗試用曲線擬合的方法得到輪心的擬合函數(shù)曲線，用擬合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值計算半徑補償，求得被測曲線。

對于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)f(x)，其Fourier展開若收斂必收斂于f(x)本身，即f(x)可以表示為

(1)

n=0，1，2，…，∞

(2)

n=1，2，…，∞

(3)

車輪曲線及其輪心曲線屬于自由曲線。對于曲線擬合，擬合函數(shù)的選擇影響擬合的結(jié)果，而對于任何閉區(qū)間上連續(xù)的自由曲線，其Fourier展開若收斂必定收斂于其本身[9]，故考慮用n階Fourier函數(shù)擬合輪心曲線。

最小二乘曲線擬合中的度量指標(biāo)向量的2范數(shù)達(dá)到最小[10]，即

(4)

如果令

f=[f(x1)f(x2) …f(xN)]T

φi=[φi(x1)φi(x2) …φi(xN)]T

s=[s(x1)s(x2) …s(xN)]T

式(4)可化簡為

(5)

在內(nèi)積表示下

(f，f)-2(f，s)+(s，s)

(6)

由于

(s，s)=(a0，a1，b1，…，an，bn)·

(7)

(8)

(9)

F(a0，a1，b1，…，an，bn)在R2n+1上連續(xù)，且存在偏導(dǎo)數(shù)。令各偏導(dǎo)為0，有

(10a)

(10b)

可得

(11)

求解出式(11)代入s(x)可以得到

(12)

2 算例

為了能刻畫出上文敘述方法所產(chǎn)生的誤差，本文采用誤差模型為：標(biāo)準(zhǔn)曲線偏移測量輪的半徑長度得到輪心標(biāo)準(zhǔn)曲線，離散化獲取一組輪心坐標(biāo)，帶入五連桿逆解模型，求得一組對應(yīng)的編碼器角度值，取整之后帶入五連桿正解模型，得到一組輪心坐標(biāo)。對這一組輪心坐標(biāo)進行曲線擬合，并利用1.2節(jié)描述的方法求得擬合曲線包絡(luò)，求得的包絡(luò)即是實際斷面曲線。通過比較實際斷面曲線與標(biāo)準(zhǔn)曲線，計算法向誤差。如圖2所示。

圖2 誤差模型

用MATLAB編出程序語言，以TB/T 449—2003《機車車輛車輪輪緣踏面外形》中JM3的幾何標(biāo)準(zhǔn)曲線帶入計算，為了提高擬合精度，減少計算量，將輪心坐標(biāo)分成5段分別用8階Fourier函數(shù)進行擬合。Fourier函數(shù)擬合的誤差均維持為微米級，半徑補償結(jié)果如圖3所示，計算誤差如圖4所示。用傳統(tǒng)方法進行半徑補償?shù)玫降挠嬎阏`差如圖5所示。

圖3 曲線擬合半徑補償后的被測曲線

圖4 曲線擬合半徑補償誤差結(jié)果

圖5 傳統(tǒng)方法半徑補償誤差結(jié)果

誤差結(jié)果顯示，利用該方法所產(chǎn)生的誤差絕對值小于3×10-4mm，在x=30附近誤差相對較大，這是因為該點所對應(yīng)的輪心曲線上的點處斜率發(fā)生突變，導(dǎo)致導(dǎo)數(shù)不連續(xù)。不過該點對結(jié)果影響不大。故被測對象具有較高的參考價值。

以下用Miniprof測量磨耗后的CRH5型車輪踏面的數(shù)據(jù)進行Fourier曲線擬合，如圖6所示，擬合效果符合要求。

圖6 曲線擬合磨耗后的車輪輪心曲線

3 結(jié)束語

由算例結(jié)果可知，采用本文的半徑補償方法，通過求解輪心擬合曲線包絡(luò)的方式計算磨耗曲線能夠較好地消除由編碼器量化所產(chǎn)生的局部趨勢，并減小由編碼器量化和半徑補償過程帶來的誤差。并且該方法也成功擬合出磨耗后的車輪輪心曲線。本文采用8階Fourier函數(shù)對由標(biāo)準(zhǔn)曲線經(jīng)角度量化后得到的輪心曲線進行擬合，利用 MATLAB軟件編程實現(xiàn)，擬合誤差在微米級，通過求解輪心擬合曲線的包絡(luò)得到實際斷面曲線。與標(biāo)準(zhǔn)曲線比較，誤差(法向距離)控制在微米以內(nèi)。

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