陳仁朋， 江 朋， 段 翔， 蔣建群， 程 翀

(1.湖南大學(xué) 土木工程學(xué)院， 湖南 長(zhǎng)沙 410082； 2. 浙江大學(xué) 軟弱土與環(huán)境土工教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 浙江 杭州 310058；3.浙江大學(xué) 建筑工程學(xué)院， 浙江 杭州 310058； 4.安徽省交通規(guī)劃設(shè)計(jì)研究總院股份有限公司, 安徽 合肥 230088)

高速鐵路路基動(dòng)應(yīng)力的分布特性是路基極限狀態(tài)設(shè)計(jì)方法的基礎(chǔ)[1]。除了列車速度、軸重等因素外，軌道不平順是影響路基動(dòng)應(yīng)力分布特性的重要因素[2]。

目前，多數(shù)學(xué)者對(duì)路基動(dòng)應(yīng)力的研究都是基于確定性分析。Chen等[3]通過(guò)室內(nèi)1∶1無(wú)砟軌道路基模型試驗(yàn)，對(duì)列車荷載作用下的路基動(dòng)應(yīng)力進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)動(dòng)應(yīng)力沿路基深度的衰減曲線可用布氏解進(jìn)行計(jì)算。陳建國(guó)等[4]建立車-軌-路基耦合動(dòng)力學(xué)模型，研究了不同列車編組和行車速度條件下路基的動(dòng)力響應(yīng)，發(fā)現(xiàn)軸重對(duì)動(dòng)應(yīng)力的影響最為顯著，列車速度對(duì)動(dòng)應(yīng)力也有一定的影響。范生波[5]對(duì)武廣高速鐵路及京津高速鐵路開(kāi)展了大量的現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)動(dòng)應(yīng)力在路基表面橫斷面呈馬鞍狀分布，列車軸重對(duì)路基動(dòng)應(yīng)力的影響最大。

路基動(dòng)應(yīng)力受到列車速度、軸重、軌道不平順性等因素的影響，具有不確定性。劉揚(yáng)[6]通過(guò)動(dòng)力仿真軟件建立了車-軌道結(jié)構(gòu)模型，分客車和貨車2種車體共18種工況，統(tǒng)計(jì)出輪軌動(dòng)荷載在軌道不平順下的變異系數(shù)為0.05～0.15，并通過(guò)驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)其沿線路方向服從正態(tài)分布。武廣高速鐵路過(guò)渡段路基試驗(yàn)段進(jìn)行的動(dòng)態(tài)響應(yīng)測(cè)試結(jié)果[1,7]表明基床表層面上的動(dòng)應(yīng)力幅值的變異系數(shù)范圍為0.15～0.30。除此以外，路基動(dòng)應(yīng)力由于軌道不平順導(dǎo)致的不確定性研究較少。

由于現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)只能選取一些特定的位置，很難得到軌道不平順下路基動(dòng)應(yīng)力的分布特性，因此理論研究非常重要。本文利用列車-板式軌道-路基三維動(dòng)力有限元模型，開(kāi)展了在德國(guó)低干擾譜下路基結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)分析，重點(diǎn)對(duì)高速列車不同運(yùn)行速度下路基動(dòng)應(yīng)力沿線路方向進(jìn)行概率統(tǒng)計(jì)，給出了動(dòng)應(yīng)力均值及變異系數(shù)沿路基深度方向的變化規(guī)律。通過(guò)柯?tīng)柲缏宸驒z驗(yàn)方法，對(duì)路基動(dòng)應(yīng)力的正態(tài)性分布進(jìn)行了檢驗(yàn)。本文研究可為基于極限狀態(tài)法的路基設(shè)計(jì)方法研究提供支撐。

1 列車-板式軌道-路基耦合作用三維動(dòng)力有限元模型

采用ABAQUS有限元軟件，建立了列車-板式軌道-路基的三維動(dòng)力有限元模型，對(duì)板式軌道路基系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值分析。

1.1 車輛模型

車輛模型主要有移動(dòng)荷載模型、移動(dòng)質(zhì)量模型和移動(dòng)懸掛質(zhì)量模型。本文采用整車2系懸掛模型。建模時(shí)車體、轉(zhuǎn)向架、輪對(duì)均為剛體結(jié)構(gòu)；轉(zhuǎn)向架與輪對(duì)之間由一系懸掛彈簧-阻尼系統(tǒng)連接，車體與轉(zhuǎn)向架之間由二系懸掛彈簧-阻尼系統(tǒng)連接。2系懸掛模型能夠考慮車身慣性、“點(diǎn)頭”效應(yīng)以及懸掛系統(tǒng)作用，較真實(shí)地反映在軌道不平順情況下的列車動(dòng)力行為。列車采用CRH3型車，參數(shù)值參考文獻(xiàn)[8]，見(jiàn)表1。

表1 CRH3列車參數(shù)

1.2 軌道路基模型

板式軌道路基結(jié)構(gòu)主要由鋼軌、扣件、軌道板、CA砂漿層、混凝土底座、基床和地基組成。建模時(shí)，鋼軌采用等截面、均質(zhì)的I型直梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行模擬，截面尺寸取UIC60標(biāo)準(zhǔn)斷面尺寸?？奂到y(tǒng)采用彈簧阻尼系統(tǒng)進(jìn)行模擬，支撐剛度取值為3×107N/m，阻尼取值為2.385×104N·s/m，扣件間距設(shè)為0.63 m，通過(guò)節(jié)點(diǎn)連接鋼軌和軌道板。軌道板、CA砂漿層、混凝土底座、基床和地基部分采用8節(jié)點(diǎn)的實(shí)體單元模擬。由于路基受到的動(dòng)靜荷載相對(duì)較小，而路基的強(qiáng)度很高，因此本構(gòu)模型選用線彈性模型，并根據(jù)結(jié)構(gòu)特性設(shè)置楊氏模量、密度、泊松比等參數(shù)。相關(guān)各結(jié)構(gòu)層之間(如軌道板和CA砂漿層之間)均采用綁定約束進(jìn)行連接。板式軌道路基結(jié)構(gòu)參數(shù)見(jiàn)表2。

表2 板式軌道路基結(jié)構(gòu)參數(shù)

1.3 輪軌接觸模型與軌道不平順譜

輪軌接觸關(guān)系是車輛與軌道結(jié)構(gòu)耦合作用的基礎(chǔ)，直接影響到輪軌力和計(jì)算的準(zhǔn)確性。采用Penalty接觸算法和有限滑移公式模擬輪軌之間的接觸作用，并采用Hard接觸[9]模擬輪軌之間的法向作用，可以較好地考慮軌道不平順的影響。

軌道的垂向不平順體現(xiàn)在鋼軌表面，可使用三角級(jí)數(shù)法將已有的軌道不平順譜轉(zhuǎn)化為不平順的空間分布，添加到鋼軌表面的各單元節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)處。輪軌接觸行為見(jiàn)圖1。

軌道不平順用三角級(jí)數(shù)法表示為

( 1 )

式中：u(x)為軌道不平順樣本序列；n為不平順功率譜函數(shù)中的第n個(gè)取樣點(diǎn)；N為總采樣點(diǎn)數(shù)；wn為采樣頻率；φn為在[0,2π]上均勻分布的相互獨(dú)立的隨機(jī)變量；S(wn)為不平順功率譜密度函數(shù)。

采用目前應(yīng)用廣泛的高速鐵路軌道不平順譜——德國(guó)低干擾譜。其高低不平順密度函數(shù)為

( 2 )

式中：Sv(Ω) 為軌道譜，cm2/(rad/m)；Ω為空間角頻率，rad/m；Ωr、Ωc為截?cái)囝l率，rad/m；Av為粗糙度常數(shù)，m2·rad/m。

德國(guó)低干擾譜密度函數(shù)的特征參數(shù)[10]見(jiàn)表3。

表3 德國(guó)低干擾譜密度函數(shù)的特征參數(shù)

采用三角級(jí)數(shù)進(jìn)行展開(kāi)[11]，計(jì)算的不平順空間分布見(jiàn)圖2。

1.4 阻尼和邊界設(shè)置

材料采用古典阻尼——瑞利阻尼[12]來(lái)表示，根據(jù)克拉夫的定義

C=a0m+a1k

( 3 )

式中：C、m、k分別為阻尼矩陣、質(zhì)量矩陣和剛度矩陣；a0為質(zhì)量比例阻尼；a1為剛度比例阻尼。

通常假設(shè)用于控制頻率的阻尼比相同，即ξm=ξn=ξ?？梢院?jiǎn)化為

( 4 )

式中：ωm為系統(tǒng)基頻；ωn在對(duì)路基系統(tǒng)動(dòng)力反應(yīng)有顯著貢獻(xiàn)的高階陣型中選取，即可選定材料的阻尼。

對(duì)于動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的數(shù)值模擬，要使用有限的空間高效地模擬半無(wú)限空間，邊界選取十分重要。基于傳統(tǒng)的邊界處理方式上，參考文獻(xiàn)[13]的方法建立遞減阻尼邊界模式，在本體結(jié)構(gòu)外圍設(shè)置逐層遞增的邊界，如圖3所示，使得波動(dòng)能量被逐漸吸收而不會(huì)在邊界處產(chǎn)生反射。

1.5 三維數(shù)值模型

為了統(tǒng)計(jì)路基動(dòng)應(yīng)力在軌道不平順下沿線路方向的分布，建立無(wú)砟軌道路基數(shù)值模型，其斷面見(jiàn)圖4。采用4節(jié)車輛，為了提高計(jì)算效率初始時(shí)列車位于路基之外，路基系統(tǒng)分成3個(gè)區(qū)域，路基中間區(qū)域網(wǎng)格加密。翟婉明[14]提出，移動(dòng)荷載作用下的車輛-軌道耦合模型中，軌道長(zhǎng)度大于100 m之后，軌道結(jié)構(gòu)的振動(dòng)結(jié)果幾乎不受影響，因此路基長(zhǎng)取150 m。整個(gè)模型單元數(shù)目253 512個(gè)，節(jié)點(diǎn)數(shù)目為293 261。

2 軌道不平順下路基動(dòng)應(yīng)力的概率統(tǒng)計(jì)及正態(tài)性檢驗(yàn)

路基動(dòng)應(yīng)力是受多方面因素影響的，主要包括軌道不平順、列車運(yùn)行速度、軸重、軌道剛度等因素。這些因素的變化會(huì)導(dǎo)致路基動(dòng)應(yīng)力具有一定的隨機(jī)性。其中，軌道不平順性是導(dǎo)致路基動(dòng)應(yīng)力隨機(jī)性的主要因素。根據(jù)板式軌道路基系統(tǒng)三維數(shù)值分析結(jié)果，對(duì)德國(guó)低干擾軌道不平順譜下的路基動(dòng)應(yīng)力幅值進(jìn)行了概率統(tǒng)計(jì)。

2.1 概率統(tǒng)計(jì)工況

沿深度方向選擇了5個(gè)位置進(jìn)行計(jì)算，見(jiàn)圖5，分別是路基面中心點(diǎn)以下0.20、0.86、1.32、1.78、2.24 m。列車速度為350、250、150 km/h。分別統(tǒng)計(jì)3種列車速度下這5個(gè)位置處的路基動(dòng)應(yīng)力。

2.2 三維數(shù)值分析結(jié)果

列車不同速度、德國(guó)低干擾譜時(shí)，路基面中心下0.2 m處動(dòng)應(yīng)力的時(shí)程曲線見(jiàn)圖6。圖中：L為車廂長(zhǎng)度，L=25 m;S2為車輛前后轉(zhuǎn)向架中心距，S2=17.5 m;S3為相鄰車輛前后轉(zhuǎn)向架中心距，S3=7.5 m。可見(jiàn)，隨著列車運(yùn)行速度增大，軌道振動(dòng)頻率線性增大。當(dāng)列車分別以速度350、250、150 km/h運(yùn)行時(shí)，動(dòng)應(yīng)力幅值分別為21.46、16.62、14.48 kN。因此，列車速度對(duì)動(dòng)應(yīng)力幅值影響顯著。

該模型路基面中心下0.2 m沿縱向共有272個(gè)節(jié)點(diǎn)，由于邊界效應(yīng)，去掉開(kāi)始與結(jié)尾的各6個(gè)節(jié)點(diǎn)，取剩下260個(gè)節(jié)點(diǎn)每一個(gè)節(jié)點(diǎn)處的動(dòng)應(yīng)力幅值，得到動(dòng)應(yīng)力幅值沿縱向的分布曲線，見(jiàn)圖7。明顯可以看出，同一深度處的動(dòng)應(yīng)力幅值沿線路縱向是隨機(jī)變化的，具有一定的離散性，且速度越大，離散性越明顯。當(dāng)列車速度為350 km/h時(shí),路基動(dòng)應(yīng)力的分布范圍達(dá)到了12.6～23.5 kPa，具有非常大的離散性。

2.3 路基動(dòng)應(yīng)力的概率統(tǒng)計(jì)

( 5 )

( 6 )

( 7 )

根據(jù)文獻(xiàn)[7]，列車速度對(duì)路基動(dòng)應(yīng)力具有放大作用。為了消除列車速度對(duì)路基動(dòng)應(yīng)力統(tǒng)計(jì)的影響，引入動(dòng)應(yīng)力系數(shù)η，其表達(dá)式為

( 8 )

式中：σd為路基動(dòng)應(yīng)力；P0為列車軸重；v為列車運(yùn)行速度;A為轉(zhuǎn)向架中心距的1/2與軌道板寬度乘積。

根據(jù)有限元計(jì)算結(jié)果及式( 5 )～式( 8 )，得到動(dòng)應(yīng)力系數(shù)η的均值沿深度方向的分布，見(jiàn)圖8。與布氏解結(jié)果[7]進(jìn)行對(duì)比,發(fā)現(xiàn)在距離路基面0.5 m深度范圍內(nèi)，布氏解的衰減趨勢(shì)比較快，在0.5 m深度范圍外，二者的衰減趨勢(shì)基本一致，說(shuō)明了此數(shù)值模型的適用性。此外，在3種速度下路基動(dòng)應(yīng)力系數(shù)的均值沿深度的衰減曲線基本一致，并呈直線衰減?？梢?jiàn)列車速度對(duì)路基動(dòng)應(yīng)力的影響與德國(guó)規(guī)范里采用的速度放大系數(shù)基本一致。此外，動(dòng)應(yīng)力系數(shù)的均值可用直線η=0.254h+1.106擬合。

由式( 5 )～式( 8 )對(duì)η的變異系數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到的結(jié)果見(jiàn)圖9?？芍?，在德國(guó)低干擾譜下，η具有一定的變異性，且列車運(yùn)行速度對(duì)η的變異系數(shù)影響非常明顯。當(dāng)列車分別以350、250、150 km/h運(yùn)行時(shí)，路基動(dòng)應(yīng)力的變異系數(shù)分別為0.12～0.14、0.06～0.08、0.03～0.05,且沿深度方向都呈現(xiàn)出先增大后減小的趨勢(shì)，在深度1.2 m處左右達(dá)到了最大值。由文獻(xiàn)[1,7]可知，武廣線過(guò)渡段(列車速度達(dá)到350 km/h)路基試驗(yàn)段η的變異系數(shù)為0.15～0.30。

綜上對(duì)路基動(dòng)應(yīng)力的概率統(tǒng)計(jì)結(jié)果可知，當(dāng)列車提速時(shí)，路基動(dòng)應(yīng)力的均值和變異系數(shù)顯著增加，對(duì)軌道路基的要求也會(huì)顯著提高。

2.4 路基動(dòng)應(yīng)力的正態(tài)性檢驗(yàn)

路基動(dòng)應(yīng)力的概率分布函數(shù)對(duì)路基累積變形的可靠度分析很重要。概率分布函數(shù)主要有正態(tài)分布函數(shù)、對(duì)數(shù)正態(tài)分布函數(shù)、Logistic分布指數(shù)分布、瑞利(Rayleigh)分布等。路基動(dòng)應(yīng)力的分布波形類似于正態(tài)分布。因此，需要研究路基動(dòng)應(yīng)力的分布特性，進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)。

正態(tài)分布是應(yīng)用非常廣泛的一種分布函數(shù)，其概率密度及分布函數(shù)分別為

( 9 )

(10)

正態(tài)性檢驗(yàn)的方法有很多，包括χ2檢驗(yàn)、柯?tīng)柲缏宸驒z驗(yàn)和偏度峰值檢驗(yàn)。本文采用柯?tīng)柲缏宸驒z驗(yàn)方法[6],具體如下：

假定總體X的分布函數(shù)F(x)連續(xù)但未知，(X1,…,Xn)是取自這個(gè)總體的樣本，并假定Fn(x)是F(x)的一種較優(yōu)的估計(jì)，因此，取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

(11)

對(duì)于顯著性水平α，取臨界值Dn,α，當(dāng)Dn

(12)

式中：(x1,…,xn)是次序統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)值，

Fn(xi)=i/n

(13)

接下來(lái)檢驗(yàn)動(dòng)應(yīng)力幅值是否符合正態(tài)分布，則

(14)

表4 路基動(dòng)應(yīng)力檢驗(yàn)的觀測(cè)值

由表4可以明顯看出，在顯著性水平α=0.01時(shí)，計(jì)算結(jié)果均小于臨界值Dn,α。因此，列車以車速350、250、150 km/h運(yùn)行時(shí)，各個(gè)路基深度處的動(dòng)應(yīng)力幅值均服從正態(tài)分布。列車速度為350 km/h時(shí)路基面下0.2 m處的動(dòng)應(yīng)力沿縱向的統(tǒng)計(jì)頻率與正態(tài)分布預(yù)測(cè)曲線的對(duì)比見(jiàn)圖10。

綜上，高速鐵路軌道不平順下路基動(dòng)應(yīng)力服從正態(tài)分布，其均值和變異系數(shù)見(jiàn)表5。因此，可以得到軌道不平順下路基動(dòng)應(yīng)力的概率分布特性。

表5 路基動(dòng)應(yīng)力的統(tǒng)計(jì)參數(shù)

深度/m速度/(km·h-1)350250150均值/kPa變異系數(shù)均值/kPa變異系數(shù)均值/kPa變異系數(shù)0．2018．370．1315．720．06814．440．0370．8615．820．13313．240．0712．140．0421．3213．620．13411．370．0710．470．0431．7811．420．1309．570．0678．860．0412．249．370．1207．970．0637．400．038

3 結(jié)論

本文在列車-板式軌道-路基三維有限元?jiǎng)恿︸詈夏Ｐ偷幕A(chǔ)上，建立了高速鐵路雙線路基模型，對(duì)板式軌道路基系統(tǒng)在典型軌道不平順譜——德國(guó)低干擾譜及350、250、150 km/h 3種典型速度工況下路基的動(dòng)應(yīng)力沿路基縱向及深度方向的分布進(jìn)行了分析，統(tǒng)計(jì)路基動(dòng)應(yīng)力幅值的均值及變異系數(shù)，并采用柯?tīng)柲缏宸驒z驗(yàn)方法對(duì)路基動(dòng)應(yīng)力幅值的正態(tài)性進(jìn)行了驗(yàn)證。得出以下結(jié)論:

(1) 列車在3種速度下，路基動(dòng)應(yīng)力的均值沿路基深度方向基本都呈現(xiàn)直線衰減，隨著列車速度的增加，動(dòng)應(yīng)力的均值會(huì)明顯增加。

(2) 在德國(guó)低干擾不平順譜下，路基動(dòng)應(yīng)力沿縱向具有一定的變異性，車速越高變異性越大；當(dāng)車速為350 km/h時(shí)動(dòng)應(yīng)力的變異系數(shù)達(dá)到0.13～0.14。

(3) 列車以3種典型速度運(yùn)行時(shí)，各個(gè)路基深度處的動(dòng)應(yīng)力均服從正態(tài)分布。

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