劉雨溪 于蕾

【摘要】構造測量矩陣是壓縮感知技術中關鍵的研究方向之一， 在實現(xiàn)壓縮的過程中需要構建一個滿足RIP法則的特殊矩陣來保證較高的重構精度。在這篇文章中，我們通過一個簡單的方式利用混沌序列構造測量矩陣，并證明在大多數(shù)情況下這種矩陣滿足RIP法則。之后利用奇異值分解對其進行優(yōu)化，在基于壓縮感知的OFDM系統(tǒng)信道估計中應用這種觀測矩陣，與基于最小二乘法的信道估計方法進行比較，通過實驗仿真說明基于壓縮感知的信道估計算法和利用混沌序列構造測量矩陣的優(yōu)勢。

【關鍵詞】 壓縮感知 測量矩陣 SVD分解 OFDM

一、引言

OFDM技術是無線通信技術中一項非常重要而且有前景的技術。OFDM 技術不但能夠很好地降低系統(tǒng)的誤碼率，提高系統(tǒng)的頻譜利用率，而且還具有降低接收機均衡復雜度等很多優(yōu)點。信道估計技術非常重要，因為它的結(jié)果在很大程度上決定了OFDM系統(tǒng)性能的好壞。

在傳統(tǒng)的信號采集過程中，為了避免碼間干擾和信號失真，一般都會遵守Nyquist 采樣定理（香農(nóng)采樣定理），它需要以不低于信號帶寬的2倍[1]的采樣率對信號進行采樣。這在很多情況下對信號處理的能力和相應的硬件設備來說都是是個較高的要求。2006年，由 D. Donoho與E.Candès 等人提出了一種全新的信號獲取和處理理論，稱之為壓縮感知（Compressive Sensing）[2-5]理論，它充分利用了信號的稀疏性。如果給定的信號在某種正交基或者冗余字典的表示下是稀疏或者是近似稀疏的，那么通過測量矩陣進行隨機投影得到的觀測結(jié)果會比原始信號長度小得多，而且其中包含了原始信號的大部分信息。在壓縮感知技術中，決定信號的采樣速率的是信息的內(nèi)容和結(jié)構而不像一般方法要決定于信號的帶寬[6]。

在壓縮感知理論中，有三個關鍵技術[7]：一是信號稀疏變換；二是構造測量矩陣；三是構造重構算法。其中測量矩陣的設計非常關鍵，因為它將直接影響信號重構的誤差大小?？梢园褱y量矩陣大致分為兩種，一種為隨機性測量矩陣另一種為確定性的測量矩陣。

二、基于壓縮感知的ofdm信道估計模型

壓縮感知理論集信號的采樣和數(shù)據(jù)壓縮過程同時進行，在知道信號的稀疏性或者可壓縮性這一先驗知識情況下，利用信號在變換域的稀疏性，對信號進行測量編碼，而且在這個過程中采樣速率遠低于奈奎斯特采樣速率。通過測量矩陣獲得測量值的方法是把原始信號從高維空間投影到低維空間，雖然這樣得到的測量值并不是原始信號的本身，但是大部分原始信號的有用信息都包含在了這些少量的測量值中，所以對于原始信號來說，可以用這些比較少的測量值來表示。在解碼端，為了提高信號重構或者近似重構的精度，可以利用信號的稀疏性并且使用非線性優(yōu)化重構方法，和傳統(tǒng)奈奎斯特采樣方法所需的采樣數(shù)目相對比來說，壓縮感知在重構過程中所需的測量值數(shù)目要少很多。

一個大小為M×N的測量矩陣對一個長度為W的時間離散信號x進行線性投影，得到的測量值y長度為M（M<

五、實驗仿真

本文，基于Matlab R2014a平臺進行仿真，通過對比基于壓縮感知的信道估計技術和基于最小二乘法信道估計技術，證明壓縮感知技術在OFDM系統(tǒng)信道估計中的有效性和優(yōu)勢。

實驗1

在稀疏度K=6情況下，取信號長度N=1024，對比CS信道估計和LS信道估計的性能。（圖1，2）

表1 不同SNR下情況下，CS信道估計和LS信道估計性能對比

由圖1、圖2和表1可知，在信號長度一樣時，在SNR=15dB之前，雖然LS信道估計的在SER和MSE方面相比于CS信道估計有著些許優(yōu)勢，但是在SNR=15dB之后，CS信道估計技術的仿真結(jié)果中誤碼率和均方誤差開始低于LS信道估計方法，而且隨著信噪比增大，優(yōu)勢越來越明顯。

實驗2

在稀疏度K=6情況下，取信號長度N=256。對比CS信道估計在高斯測量矩陣及混沌序列測量矩陣和LS信道估計這三種情況下的性能。（圖3，4）

表2 不同SNR下情況下，基于兩種不同測量矩陣的CS信道估計和LS信道估計MSE對比

由圖3、圖4和表2可知，基于混沌序列觀測矩陣比高斯觀測矩陣性能稍好，但是比LS信道估計性能好很多。雖然如圖5的SER對比圖，混沌序列觀測矩陣對比高斯觀測矩陣優(yōu)勢不明顯，在SNR為10到15dB時甚至幾乎效果相同，但是總體是優(yōu)于高斯觀測矩陣的，觀察6的MSE對比圖就可以看出混沌序列觀測矩陣的明顯優(yōu)勢，在相同MSE情況下，比高斯觀測矩陣要有5～15dB的優(yōu)勢。

實驗3

在信號長度N=128情況下，對Logistic測量矩陣進行奇異值分解優(yōu)化，得到仿真結(jié)果如下圖5所示。觀察圖5可知，經(jīng)奇異值分解優(yōu)化的Logistic觀測矩陣在MSE方面相對于普通的高斯矩陣有著十分明顯的優(yōu)勢，與Logistic觀測矩陣對比來說最好時也有6dB左右的優(yōu)勢。

通過前面的實驗仿真可以看出基于壓縮感知的OFDM信道估計可以明顯降低信道估計的誤碼率和重構誤差。而基于混沌序列構造觀測矩陣以及改進的混沌序列觀測矩陣又可以在這個基礎上更加提升系統(tǒng)的性能。

六、結(jié)論

OFDM技術在現(xiàn)在已經(jīng)有了廣泛的應用，而突破傳統(tǒng)奈奎斯特采樣定理限制的壓縮感知技術做為一種信號處理工具，可以用少量觀測信號重構原始信號。本文將壓縮感知技術應用到OFDM信道估計中，并且在壓縮感知技術利用Logistic映射產(chǎn)生的序列構造了觀測矩陣之后利用奇異值分解對其進行優(yōu)化。通過實驗仿真與傳統(tǒng)的LS信道估計技術，以及高斯觀測矩陣進行性能對比，結(jié)果表明，壓縮感知信道估計的性能優(yōu)于LS信道估計技術，基于混沌序列的觀測矩陣優(yōu)于傳統(tǒng)高斯觀測矩陣，奇異值分解優(yōu)化之后的優(yōu)勢更加明顯。

參 考 文 獻

[1]樊昌信，張甫翊，徐炳祥等.通信原理[M].北京：國防工業(yè)出版社， 2001.

[2]Donoho D. L.. Compressed sensing[J]. IEEE Transactions on Information Theory， 2006， 52（4）： 1289～1306.

[3]Candès E.. Compressive sampling[C].International Congress of Mathematicians，2006，3： 1433～1452.

[4]Candès E.， Romberg J.，Tao T.. Robust uncertainty principles： exact signal reconstruction from highly incomplete frequency information[J].IEEE Transactions on Information Theory， 2006， 52（2）： 489～509.

[5]Baraniuk R.. Compressive sensing[J]. IEEE Signal Processing Magazine， 2007， 24（4）： 118～121.

[6]石光明，劉丹華，高大化等.壓縮感知理論及其研究發(fā)展[J].電子學報， 2009， 37（5）： 1070～1081.

[7]石光明，劉丹華.壓縮感知理論及研究進展[J].電子學報，2009，37（5）：1070-1081.

[8]陳一統(tǒng).OFDM系統(tǒng)中基于壓縮感知的稀疏信道估計：[碩士學位論文].蘭州.蘭州大學，2011.