劉麗亞,谷 峰

(杭州師范大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所，杭州師范大學(xué)理學(xué)院，杭州 浙江 310036)

b-度量空間中的一類平方型Φ-壓縮映象的公共不動點(diǎn)定理

劉麗亞,谷 峰

(杭州師范大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所，杭州師范大學(xué)理學(xué)院，杭州 浙江 310036)

利用b-度量空間中自映象對相容和弱相容條件,討論了b-度量空間中一類平方型Φ-壓縮映象公共不動點(diǎn)的存在性與唯一性問題,證明了一個新的公共不動點(diǎn)定理，改進(jìn)和推廣了某些已知結(jié)果.

b-度量空間; 相容映象對; 弱相容映象對; 平方型Φ-壓縮映象; 公共不動點(diǎn)

1 引言和預(yù)備知識

在度量空間的框架下,張石生[1]和谷峰[2]研究了一類Φ-擴(kuò)張型映象,在映象對可交換和相容的條件下,分別得到了3個映象和4個映象的公共不動點(diǎn)定理.后來,谷峰與何振華[3]討論了一類Φ-壓縮型映象的公共不動點(diǎn)問題,獲得了一個新的公共不動點(diǎn)定理.本文受上述文獻(xiàn)的啟發(fā),將問題放在由Czerwik[4]所提出的b-度量空間中加以考慮.我們在b-度量空間中研究了涉及4個映象的一類平方型Φ-壓縮映象,在適當(dāng)?shù)臈l件下證明了一個新的公共不動點(diǎn)定理.由于b-度量空間包含一般的度量空間為特例,因此,該結(jié)果本質(zhì)的改進(jìn)和發(fā)展了前人的一些已知結(jié)果.

定義1[4]設(shè)X是一非空集,s≥1是一個給定的實(shí)數(shù).稱函數(shù)d:X×X→R+是集合X上的一個b-度量.若對?x,y,z∈X,有以下條件滿足：

(b1)d(x,y)=0?x=y; (b2)d(x,y)=d(y,x); (b3)d(x,z)≤s[d(x,y)+d(y,z)].

這時，稱(X,d)是一個b-度量空間,稱實(shí)數(shù)s為b-度量空間(X,d)的系數(shù).

注1 度量空間一定是b-度量空間(s=1),反之,b-度量空間不一定是度量空間.反例可見文獻(xiàn)[5].

定義2[6]設(shè)(X,d)是一個b-度量空間,點(diǎn)列{xn}?X.

注2[7]在b-度量空間中:(i)收斂點(diǎn)列的極限是唯一的;(ii)每個收斂點(diǎn)列都是柯西列;(iii)一般情況下,b-度量不一定是連續(xù)的.

定義3[6]若b-度量空間(X,d)上每個Cauchy列都收斂,則稱此b-度量空間為完備的b-度量空間.

引理1[8]設(shè)(X,d)是具有參數(shù)s≥1的b-度量空間,{xn}·{yn}?X分別收斂于X中的兩點(diǎn)x和y.則有

定義5[10]集合X上的自映象對(f,g)稱為是弱相容的,如果

{t∈X:f(t)=g(t)}?{t∈X:fg(t)=gf(t)}

定義6[1]稱函數(shù)Φ滿足條件(Φ),如果函數(shù)Φ滿足以下條件:

(Φ):Φ:[0,∞)→[0,∞)是連續(xù)的和對t不減的,且Φ(t)0.

(i)mi>ni+1,ni→∞(i→∞);(ii)d(ymi,yni)>ε0;d(ymi-1,yni)≤ε0,i=1,2,3,….

證明 與文獻(xiàn)[1]中引理7.4.4的證明完全類同,這里略去.

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)S,T,A,B是完備b-度量空間(X,d)中的4個自映象,且滿足以下條件:

(i)S(X)?B(X),T(X)?A(X);(ii)?x,y∈X,有

其中Φ滿足條件(Φ).如果以下條件之一被滿足,則S,T,A,B有唯一公共不動點(diǎn).

1)S,A之一連續(xù),且(S,A)相容,(T,B)弱相容;2)T,B之一連續(xù),且(S,A)弱相容,(T,B)相容;3)A,B之一為滿射,且(S,A)和(T,B)都弱相容.

證明 任取x0∈X,因S(X)?B(X),T(X)?A(X),故存在{xn},{yn}?X,使得

y2n=Sx2n=Bx2n+1,y2n+1=Tx2n+1=Ax2n+2,n=0,1,2,3,…

下證

露骨料透水混凝土是由粗骨料、高標(biāo)號水泥、水、強(qiáng)化劑、外加劑等經(jīng)一定比例調(diào)配拌制而成的一種多孔輕質(zhì)的新型環(huán)保地面鋪裝材料。與傳統(tǒng)混凝土相比，透水混凝土多采用單粒徑的粗骨料作為混凝土的主體，配以水泥凈漿或者少量細(xì)骨料砂漿作為粘接劑，包裹在粗骨料顆粒的表面，形成孔隙均勻分布的蜂窩狀結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)模型如圖1所示。普通混凝土結(jié)構(gòu)模型如圖2所示。

(1)

事實(shí)上,由條件(ii)可知

(2)

如果d(y2n-2,y2n-1)0(否則有d(y2n-2,y2n-1)<0,矛盾).于是由式(2)和定義6得

出現(xiàn)矛盾,因此必有d(y2n-1,y2n)≤d(y2n-1,y2n-2)成立.于是,從Φ的遞增性和式(2)可得

下面證明{yn}是X中的Cauchy列.若不然,由引理4知,必存在某一ε0>0和正整數(shù)列{mi},{ni},使得:(a)mi>ni+1,ni→∞(i→∞);(b)d(ymi,yni)>ε0,d(ymi-1,yni)≤ε0,i=1,2,3,….

則由三角不等式和(b)得

d(ymi,yni)≤sd(ymi,ymi-1)+sd(ymi-1,yni)≤sd(ymi,ymi-1)+sε0.

(3)

d(ymi+1,yni)≤sd(ymi+1,ymi-1)+sd(ymi-1,yni)≤s2d(ymi+1,ymi)+s2d(ymi,ymi-1)+sε0.

(4)

sd(ymi,ymi-1)+s2ε0+s2d(yni,yni+1).

(5)

d(ymi-1,yni+1)≤sd(ymi-1,yni)+sd(yni,yni+1)≤sε0+sd(yni,yni+1).

(6)

在式(3)(4)(5)和(6)兩端取上極限,并利用式(1)得

(7)

(8)

(9)

(10)

再由三角不等式和(b)得ε0

sd(ymi,ymi+1)+s2d(ymi+1,yni+1)+s2d(yni+1,yni).

(11)

ε0

(12)

在式(11)(12)兩端取上極限,并利用式(1)得

(13)

(14)

下面分4種情況進(jìn)行討論.

(I)當(dāng)mi為偶數(shù),ni為奇數(shù)的情形.此時由條件(ii)有

于上式兩端各項(xiàng)取上極限,并利用式(1)(7)(8)(9)(13)和Φ(t)的性質(zhì),得

此為矛盾.

(II)當(dāng)mi,ni都為偶數(shù)的情形.此時由條件(ii)有

于上式兩端各項(xiàng)取上極限,并利用式(1)(7)(10)(14)(b)和Φ(t)的性質(zhì),得

此為矛盾.

(III)當(dāng)mi,ni同為奇數(shù),(IV)mi為奇數(shù),ni為偶數(shù)的情形,與(I)和(II)同理可引出類似的矛盾.這些矛盾說明{yn}是X中的Cauchy列.

因X完備,故存在y*∈X,使得yn→y*(n→∞),于是子列{y2n-1}和{y2n}也都收斂于y*,即Ax2n=y2n-1→y*,Sx2n=y2n→y*(n→∞).

1)設(shè)S,A之一連續(xù)且,(S,A)相容,(T,B)弱相容.

于上式兩邊取上極限,并利用引理1得

于是由引理3(i)可知,有s4d2(Ay*,y*)=0,進(jìn)而Ay*=y*.再由條件(ii)有

對上式兩邊取上極限,使用引理1,Ay*=y*和Φ的遞增性,得

由此及引理3(i)可知,有s4d2(Sy*,y*)=0,進(jìn)而可得Sy*=y*.于是y*=Sy*=Ay*.

由此及引理3(i)可知,有s8d2(y*,Tu)=0,進(jìn)而y*=Tu.

因(T,B)弱相容,故Ty*=TBu=BTu=By*.

下證Ty*=y*.事實(shí)上,由條件(ii)和Φ的遞增性可得

故由引理3(i)可知,s8d2(y*,Ty*)=0,即y*=Ty*.于是y*=Ty*=By*.

綜上,我們得y*=Sy*=Ay*=Ty*=By*,即y*是S,T,A,B的公共不動點(diǎn).

于上式兩端取上極限,并使用引理1和函數(shù)Φ的性質(zhì),得

于是由引理3(i)可知s4d2(Sy*,y*)=0,進(jìn)而可得Sy*=y*.

下證Ay*=y*,事實(shí)上,由Sy*=y*及SX?BX知,?v∈X使Bv=Sy*=y*.使用條件(ii)得

s8d2(Sx2n,Tv)≤

對上式兩端取上極限,并使用引理1和Φ的遞增性質(zhì),得

由此及引理3(i)可知,s6d2(y*,Tv)=0,即y*=Tv.于是Bv=Tv=y*.

由y*=Tv∈TX?AX可知,?w∈X使Tv=Aw=y*.再使用條件(ii)得

由此及引理3(i)可知,s8d2(Sw,y*)=0,即Sw=y*.于是y*=Sw=Aw.因(A,S)弱相容,故y*=Sy*=SAw=ASw=Ay*.

對于y*=Ty*=By*的證明,與A連續(xù)時相應(yīng)部分的證明完全相同,這里省略.

綜上我們有y*=Sy*=Ay*=Ty*=By*,即y*是S,T,A,B的公共不動點(diǎn).

下證公共不動點(diǎn)唯一.設(shè)x*也是S,T,A,B的一個公共不動點(diǎn),則由條件(ii)有

由此及引理3(i)可知,s8d2(y*,x*)=0,即y*=x*.于是y*是S,T,A,B的唯一公共不動點(diǎn).

2)當(dāng)B,T之一連續(xù),(S,A)弱相容,(T,B)相容時,類似1)可證.

3)設(shè)A,B之一為滿射,且(S,A)和(T,B)都弱相容.

如果A是滿射,則對y*∈X,?z∈X使Az=y*.由條件(ii)得

上式中令n→∞取上極限,并利用引理1得

(15)

由此及引理3(i)可知,s6d2(Sz,y*)=0,即Sz=y*.于是Sz=Az=y*.

又由(S,A)弱相容.故Sy*=SAz=ASz=Ay*.

下證Sy*=y*.以y*代替式(15)中的z,可得

由此及引理3(i)可知,s6d2(Sy*,y*)=0,即Sy*=y*,于是Ay*=Sy*=y*.

對于y*=Ty*=By*的證明,與1)中相應(yīng)部分的證明完全相同,這里省略.

至此,我們證明了y*=Sy*=Ay*=Ty*=By*,即y*是S,T,A,B的公共不動點(diǎn).

公共不動點(diǎn)的唯一性與1)中的證明相同.

當(dāng)B是滿射時同理可證y*是S,T,A,B的唯一公共不動點(diǎn).至此定理1獲證.

注3 由于度量空間一定是b-度量空間,故定理1擴(kuò)展了文獻(xiàn)[3]的主要結(jié)果.

推論1 設(shè)S,T,A,B是完備b-度量空間(X,d)中的4個自映象,滿足條件S(X)?B(X)和T(X)?A(X),且?x,y∈X,都有

其中k∈(0,1).如果以下條件之一被滿足,則S,T,A,B有唯一公共不動點(diǎn).

1)S,A之一連續(xù),且(S,A)相容,(T,B)弱相容;2)T,B之一連續(xù),且(S,A)弱相容,(T,B)相容;3)A,B之一為滿射,且(S,A)和(T,B)都弱相容.

證明 在定理1中取Φ(t)=kt即得.

推論2 設(shè)S,T,A,B是完備b-度量空間(X,d)中的4個自映象,滿足條件S(X)?B(X)和T(X)?A(X),且?x,y∈X,都有

s8d2(Sx,Ty)≤αd(Ax,By)d(Ax,Sx)+βd(Ax,Ty)d(By,Sx)+γd(Ax,By)d(By,Ty).

其中α,β,γ≥0,0<α+β+γ<0.如果以下條件之一被滿足,S,T,A,B有唯一公共不動點(diǎn).

1)S,A之一連續(xù),且(S,A)相容,(T,B)弱相容;2)T,B之一連續(xù),且(S,A)弱相容,(T,B)相容;3)A,B之一為滿射,且(S,A)和(T,B)都弱相容.

證明 由條件(ii)可得

s8d2(Sx,Ty)≤αd(Ax,By)d(Ax,Sx)+βd(Ax,Ty)d(By,Sx)+γd(Ax,By)d(By,Ty)≤

考慮到0<α+β+γ<1,則推論2的結(jié)論由推論1即得.

注4 推論1和推論2將度量空間中的相應(yīng)結(jié)果擴(kuò)展到更廣泛的b-度量空間中.

[1] 張石生.不動點(diǎn)理論及其應(yīng)用[M].重慶:重慶出版社,1984.

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The Common Fixed Point Theorem for a Class of Twice Power TypeΦ-contractive Mapping inb-metric Spaces

LIU Liya, GU Feng

(Institute of Applied Mathematics, School of Science, Hangzhou Normal University, Hangzhou 310036, China)

By using the compatible and weak compatible conditions of self-mapping pair inb-metric spaces, the existence and uniqueness of common fixed point for a class of twice power typeΦ-contractive mappings inb-metric spaces is discussed. A new common fixed theorem is obtained.

b-metric spaces; compatible mapping pair; weak compatible mapping pair; twice power typeΦ-contractive mapping; common fixed point

2015-06-10

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11071169);浙江省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(Y6110287).

谷 峰(1960—), 男, 教授, 主要從事泛函分析及其應(yīng)用研究. E-mail: gufeng99@sohu.com

10.3969/j.issn.1674-232X.2016.02.010

O177.91 MSC2010:47H10,54H25

A

1674-232X(2016)02-0171-07