劉國棟， 成囡囡， 王　月, 馬　欣， 王　哲

(1.陜西科技大學 輕工與能源學院 陜西省造紙技術及特種紙品開發(fā)重點實驗室, 陜西 西安　710021; 2.陜西青年職業(yè)學院, 陜西 西安　710068)

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紙張經典滲吸模型相互關系仿真分析與理論推導

劉國棟1， 成囡囡1， 王月2, 馬欣1， 王哲1

(1.陜西科技大學 輕工與能源學院 陜西省造紙技術及特種紙品開發(fā)重點實驗室, 陜西 西安710021; 2.陜西青年職業(yè)學院, 陜西 西安710068)

摘要：針對紙張滲吸過程中不同毛細力學系統(tǒng)支配下所建立的經典滲吸模型：純慣性力滲吸模型、Bosanquet滲吸模型和Lucas-Washburn滲吸模型.在統(tǒng)一的物理參數(shù)下，通過模型滲吸仿真分析和數(shù)學理論推導的方式，揭示了經典滲吸模型之間存在的相互關系.同時，在滲吸分析的基礎上，討論了經典滲吸模型應用的特定情況，為紙張滲吸行為的精確描述提供切實的理論依據.

關鍵詞：純慣性力滲吸模型； Bosanquet滲吸模型； Lucas-Washburn滲吸模型

0引言

印刷油墨等流體在紙張上的呈色表現(xiàn)是通過流體與紙張的相互作用來完成，該過程通常稱為流體(油墨)在紙張中的滲透[1]或者滲吸[2].在不考慮外在壓力的情況下，油墨流體在紙張中的傳輸過程主要表現(xiàn)為毛細力學系統(tǒng)的自發(fā)滲吸.所謂自發(fā)滲吸(簡稱滲吸)是多孔介質在毛細管力驅動下自發(fā)地吸入某種潤濕液體的過程[3].當油墨流體與紙張發(fā)生作用時，在毛細力學系統(tǒng)的支配下，油墨的流相層(連接料等)滲吸到紙張中，油墨的顏料顆粒在紙張表面附著固化后形成圖文.因此，紙張滲吸特性的優(yōu)劣直接決定著滲吸過程中油墨的傳輸及滲吸后形成的印刷質量.紙張滲吸行為描述時，通常將紙張介質等效為毛細管結構來研究紙張的滲吸特性，常見的經典滲吸模型有Lucas-Washburn模型(簡稱L-W模型)[4]，Bosanquet模型[5,6]和純慣性力模型[7]三種模型，這三種模型分別在不同的力學系統(tǒng)中描述流體在紙張等多孔介質中的滲吸.在上述模型的應用中，幾乎所有中文文獻都在利用L-W模型描述油墨等流體在紙張中的滲吸行為.但是Schoelkopf[8]和Ridgway等[9]在研究涂布紙涂層材料滲吸時，觀察到了L-W模型描述滲吸與實驗滲吸的偏差，并分析了造成這種偏差的原因可能在于流體滲吸過程中的慣性力，提出了應該利用考慮慣性力因素的Bosanquet模型來描述涂布紙涂層材料的滲吸.與此同時，Quere[10]通過實驗觀察證實了流體在毛細管中的慣性流動，并提出了純慣性力支配的滲吸模型.劉國棟[11]在研究涂層材料滲吸時，證實了慣性力在滲吸初期存在的積極作用，一定程度上證明了純慣性力模型在描述滲吸過程初期階段的可行性.

因此本文針對經典滲吸模型優(yōu)勢及不足，在統(tǒng)一滲吸物理參數(shù)下，對比分析及驗證上述經典滲吸模型在描述紙張滲吸行為的具體表現(xiàn)及可行性，為紙張滲吸特性的準確描述提供可靠的理論依據.

1表征紙張滲吸行為的經典模型

1.1純慣性力支配的滲吸模型

當流體與紙張接觸的初期，由于滲吸流體質量很小，對應的自身重力和粘性阻力也很小，在滲吸力學系統(tǒng)中，可將自身重力和粘性阻力忽略不計，因此起主要支配作用的是毛細力和慣性力.針對此種物理情形，滲吸模型[10]的表達如(1)式所示.

(1)

通過求解非線性微分方程，可得紙張滲吸等效毛細管滲吸的表達式，如式(2)所示：

(2)

其中h為滲吸的深度，θ為接觸角，γ為流體表面張力，R為毛細管等效半徑，ρ為流體的密度.從上式(2)可以看出，滲吸深度隨滲吸時間是線性變化的關系.

1.2Bosanquet滲吸模型

在滲吸過程中，隨著滲吸流體的進一步上升，吸收量不斷增加，與之對應的自身重力和粘性力也變得越來越明顯，與毛細驅動力和慣性力一起共同作用滲吸過程.考慮到在該階段初期的自身重力仍較小，可以忽略不計.因此Bosanquet[5]提出了忽略流體重力因素的滲吸模型(η為流體粘度)，如式(3)所示.

(3)

求解(3)可得

(4)

其中

從上述公式(4)中可以看出，Bosanquet滲吸模型所描述滲吸量與滲吸時間并非成簡單的線性關系，其計算過程略顯復雜.

1.3Lucas-Washburn滲吸模型

隨著滲吸的進行，流體粘性阻力不斷增大，與毛細驅動壓力的相互抵消作用也越來越明顯，凈驅動力越來越小，同時流體流動的慣性力也越來越小.因此在忽略流體自身重力和慣性效應下，受粘性力和毛細力共同支配Lucas-Washburn滲吸模型，如公式(5)所示(其中η為流體粘度).

(5)

對比分析上述三種經典滲吸模型的建立過程及表達式，可以看出上述模型分別建立在不同的力學支配系統(tǒng)下，相關文獻[12-14],也分別在各自的物理情形和參數(shù)下，描述了上述滲吸模型在紙張滲吸表征中的應用.但是究竟紙張的滲吸過程確切適合哪種模型及受何種力學系統(tǒng)支配卻一直未見相關報道，仍需進一步分析對比.

2經典滲吸模型相互關系的數(shù)學意義證明

對于Bosanquet滲吸方程而言，其表現(xiàn)形式正如公式(4)所示：

在初始的滲吸過程中，當at<<1時，利用泰勒級數(shù)展開公式可得[15]

(6)

將式(6)代入到(4)可得

(7)

其中h1是起始位置的滲吸深度，h2是任意時刻t的滲吸深度.

(8)

當滲吸的起始位置x1=0時，公式(8)將變?yōu)?/p>

(9)

公式(9)與純慣性力階段描述的滲吸模型是一致的，因此在初期的滲吸過程中(即當at<<1時)，純慣性力滲吸和Bosanquet滲吸是等效的.

另外，將公式(4)進行如下的變形,

(10)

由于

(11)

因此

即滲吸過程中，當物理參數(shù)：

(12)

對于一些高密度和低粘度的流體，公式(12)所描述的物理情形很容易達到.而這種流體常常用于油墨中的連接料，如正十六烷、礦物油、乙二醇、亞麻籽油和異三十烷等，都屬于高密度和低粘度的油墨流體.因此從式(10)～(12)可以看出，Bosanquet滲吸方程就演變?yōu)長ucas-Washburn方程，即在滲吸過程中Bosanquet滲吸行為會逐漸轉換成Lucas-Washburn滲吸.

3經典滲吸模型的對比分析

結合上述推導的經典模型的相互關系，進一步確定紙張滲吸過程中，基于何種滲吸模型及毛細力學支配系統(tǒng)，需要在統(tǒng)一的物理參數(shù)下對上述模型進行對比仿真分析.由于正十六烷和礦物油作為常見的水基油墨和脂性油墨的載體已經得到了普遍的應用，本文以正十六烷(Sigma-Aldrich Chemie GmbH，D-89555，斯坦海姆，德國)和礦物油(PKWF 4/7 af new，Haltermann，德國)作為滲吸流體，具體的物理參數(shù)見表1所示.紙張介質的毛細管等效半徑R分別設定為1μm，500μm，1 mm三種.紙張等多孔材料等效毛細管對正十六烷和礦物油的潤濕接觸角為0[16].

表1　滲吸流體的物理性能參數(shù)[8]

基于Matlab計算軟件平臺，對上述模型進行編程實現(xiàn)，為了更清楚的對比分析滲吸模型存在的相互關系，滲吸過程分別用較短的滲吸時間軸和較長的滲吸時間軸來表示，較短的時間軸可以清楚看出滲吸初期的變化，較長的時間軸可以看出滲吸后期的變化，如圖1～12所示.其中，圖1、圖3、圖5、圖7、圖9、圖11為滲吸模型滲吸初期的對比變化結果，圖2、圖4、圖6、圖8、圖10、圖12為滲吸模型后期的對比結果.

(1)毛細管等效半徑R=1μm時的滲吸模型仿真結果見圖1～4.

圖1　滲吸初期對比圖(礦物油，R=1 μm)

圖2　滲吸后期對比圖(礦物油，R=1 μm)

圖3　滲吸初期對比圖(正十六烷R=1 μm)

圖4　滲吸后期對比圖(正十六烷，R=1 μm)

(2)毛細管等效半徑R=500μm時的滲吸模型仿真結果見圖5～8.

圖5　滲吸初期對比圖(礦物油，R=500 μm)

圖6　滲吸后期對比圖(礦物油，R=500 μm)

圖7　滲吸初期對比圖(正十六烷，R=500 μm)

圖8　滲吸后期對比圖(正十六烷，R=500 μm)

(3)毛細管等效半徑R=1 mm時的滲吸模型仿真結果見圖9～12.

圖9　滲吸初期對比圖(礦物油，R=1 mm)

圖10　滲吸后期對比圖(礦物油，R=1 mm)

圖11　滲吸初期對比圖(正十六烷，R=1 mm)

圖12　滲吸后期對比圖(正十六烷，R=1 mm)

從圖1到圖12可以看出，三種不同力學系統(tǒng)支配下建立的滲吸模型，的確存在著一定相互關系.在滲吸的初期階段，當R=1μm且滲吸流體為礦物油時，Bosanquet滲吸機制與純慣性力滲吸是重合的(如圖1所示)，說明了在Bosanquet滲吸模型的初期，發(fā)生了純慣性力支配的滲吸行為，其模型力學系統(tǒng)中流體的粘性力并沒有起到實際的作用.同時也說明了該階段滲吸量(滲吸體積或者滲吸高度)與滲吸時間標度是線性變化的.

隨著滲吸的進一步發(fā)生，發(fā)現(xiàn)Bosanquet滲吸行為又與Lucas-Washburn滲吸重合的(圖2).說明了隨著滲吸的進行，Bosanquet滲吸模型中所強調的慣性力被消散，Bosanquet滲吸逐漸轉化成以毛細力和粘性力支配的Lucas-Washburn滲吸，也說明了Bosanquet滲吸模型的后期，慣性力沒有起到實際的作用，是可以被忽略的.也說明了本文第二部分推導中，Bosanquet方程和Lucas-Washburn方程等效時，是發(fā)生在滲吸的后期階段.

當R=500μm和1 mm時，滲吸情況的具體表現(xiàn)跟R=1μm時完全相同，證明了滲吸初期慣性力起到的積極作用；隨著滲吸的進行，滲吸支配力也慢慢過渡到毛細力和粘性力為主的力學系統(tǒng)中.對于滲吸流體正十六烷，獲得的滲吸仿真結果也同樣與礦物油的結果完全一致(筆者也驗證了在其他不同等效毛細管參數(shù)下模型的對比分析結果，與上述的情況及變化趨勢完全一致，限于篇幅，這里不在重復羅列相關變化圖表).

另外，隨著毛細管直徑的增大(由1μm到500μm，再到1 mm)，Bosanquet機制階段與純慣性力的重合時間會逐漸增加或者延長，對于礦物油而言，重合的時間終點分別為0.8×10-8s，0.004 s，0.012 s；對于正十六烷重合的時間終點分別為1.4×10-8s，0.005 s，0.015 s.即隨著紙張介質的等效毛細管半徑越大，Bosanquet機制與純慣性力機制所描述滲吸過程的一致性越長.

對于滲吸的后期階段，Bosanquet機制階段和Lucas-Washburn滲吸階段重合時間也會隨著等效毛細管直徑的增大而漸漸推遲，即紙張介質的等效毛細管半徑越小，Bosanquet滲吸與Lucas-Washburn滲吸重合的時間越早，滲吸過程的一致性越長.

縱觀整個仿真結果，從另外一個方面也說明了，Bosanquet滲吸機制包括了純慣性力階段和Lucas-Washburn滲吸行為.另外，當?shù)刃毠艿闹睆皆叫r，純慣性力階段在滲吸過程中的作用就越短.對于特定的等效毛細管直徑，純慣性力的滲吸就可以忽略不計，這也是有時在特定的材料和實驗條件下，Lucas-Washburn滲吸能達到與實驗結果比較匹配的重要原因之一.

4結論

通過模型的相互關系的數(shù)學推導和仿真分析可以看出，雖然經典的純慣性力滲吸模型、Bosanquet滲吸模型及Lucas-Washburn滲吸模型，是基于不同的毛細力學支配系統(tǒng)建立的，但是，他們在一定物理情形下，存在著確定的相關關系.

(1)Bosanquet滲吸模型包括了純慣性力階段的滲吸行為和Lucas-Washburn滲吸行為，即純慣性力滲吸和Lucas-Washburn滲吸是Bosanquet描述滲吸過程的兩個特殊階段，他們分別描述了在Bosanquet滲吸機制下滲吸的初始和后期滲吸的兩個重要階段.

(2)當紙張介質的等效毛細管半徑大時，Bosanquet機制與純慣性力機制所描述滲吸過程的一致性越長，在強調初期滲吸的情況下，表達形式簡單的純慣性力滲吸模型可以代替復雜Bosanquet滲吸模型.

(3)當紙張介質的等效毛細管半徑小時，Bosanquet滲吸與Lucas-Washburn滲吸重合的時間越早，滲吸過程的一致性越長，在忽略短暫慣性效應的情況下，表達形式簡單的Lucas-Washburn滲吸可以代替復雜Bosanquet滲吸模型.

(4)當需要描述整個階段的滲吸時，Bosanquet滲吸是三種模型中最佳的表征方案.Bosanquet滲吸完整的包括了滲吸過程存在的慣性力、毛細力和粘性力，但是由于Bosanquet滲吸模型的表達式及求解過程較其他模型復雜得多，一定程度上限制了該模型的實際應用.

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【責任編輯：蔣亞儒】

The exploration of interaction relationship of classical imbibition models of paper-based media

LIU Guo-dong1, CHENG Nan-nan1, WANG Yue2， MA Xin1, WANG Zhe1

(1.College of Light Industry and Energy, Shaanxi Province Key Laboratory of Papermaking Technology and Specialty Paper, Shaanxi University of Science & Technology, Xi′an 710021, China; 2.Shaanxi Youth Vocational College, Xi′an 710068, China )

Abstract:Aiming at the different imbibition models of inertial,Bosanquet and Lucas-Washburn when charactering the imbibition process of paper-based materials.The interaction relationship between these models is discovered by means of specific imbibition analysis and theoretical mathematic method based on the uniform physical parameters and conditions. On the basis of the imbibition analysis of these models,the specific and reasonable application situations are discussed further eventually,which can provide the theoretical evidences to describe the imbibition performance of paper-based media.

Key words:inertial imbibition model； Bosanquet imbibition model； Lucas-Washburn imbibition model

中圖分類號：TS727+.3

文獻標志碼：A

文章編號：1000-5811(2016)02-0035-06

作者簡介:劉國棟(1981-)，男，陜西乾縣人，副教授，博士，研究方向：印刷油墨流體與紙張相互作用的關系

基金項目：國家自然科學基金項目(51402180); 陜西省教育廳專項科研計劃項目(14JK1108); 陜西省協(xié)同創(chuàng)新計劃項目(2015XT-64); 陜西省留學人員科技活動項目([2014]1059);國家級大學生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓練計劃項目(201510708143) ; 陜西科技大學博士科研啟動基金項目( BJ15-11)

收稿日期:2015-12-01