杜晴晴, 郭宗和, 王德軍

(山東理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 山東 淄博 255049)

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基于工作空間最大化的2-RPC/2-SPC并聯(lián)機(jī)構(gòu)多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化

杜晴晴, 郭宗和, 王德軍

(山東理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 山東 淄博 255049)

摘要：以2-RPC/2-SPC并聯(lián)機(jī)構(gòu)為研究對象，首先考慮奇異位形、桿長、運(yùn)動副轉(zhuǎn)角等影響因素，采用數(shù)值法求解機(jī)構(gòu)的工作空間；然后運(yùn)用Isight軟件對工作空間進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)，得到工作空間達(dá)到較大時(shí)結(jié)構(gòu)參數(shù)的取值范圍；最后建立以機(jī)構(gòu)靈巧度、靜剛度、承載能力及驅(qū)動力為性能評價(jià)指標(biāo)的多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化模型，基于Isight軟件對模型進(jìn)行求解使這些性能達(dá)到整體最優(yōu)，得到結(jié)構(gòu)參數(shù)的最優(yōu)解，并對性能評價(jià)指標(biāo)的結(jié)果進(jìn)行可靠性評價(jià).研究結(jié)果表明，多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化應(yīng)用在并聯(lián)機(jī)構(gòu)是可行的，能為并聯(lián)機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)奠定基礎(chǔ).

關(guān)鍵詞：工作空間; 性能評價(jià)指標(biāo); 多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化

多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化因其具有能夠協(xié)調(diào)多學(xué)科之間的復(fù)雜關(guān)系在航空航天領(lǐng)域取得了成功應(yīng)用[1-3].目前，已經(jīng)逐漸開始應(yīng)用于汽車、船舶等工業(yè)，具有廣闊的發(fā)展前景[4].Isight是應(yīng)用最為廣泛的多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化軟件，封裝有多種優(yōu)化算法，可以集成各學(xué)科的專業(yè)應(yīng)用軟件建立多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化模型，并且能實(shí)時(shí)監(jiān)控，可形成一個自動化、可視化的優(yōu)化設(shè)計(jì)平臺[5].

并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有剛度大、運(yùn)動精度高、承載能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，在實(shí)際工程中被廣泛應(yīng)用.并聯(lián)機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)涉及到多個學(xué)科的耦合，因此，其不再局限于單一學(xué)科，而是對多個學(xué)科進(jìn)行綜合、協(xié)調(diào)、優(yōu)化[6].大多數(shù)學(xué)者采用遺傳算法對并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，運(yùn)用Matlab軟件進(jìn)行求解.該方法算法單一、運(yùn)算量大、操作較復(fù)雜.本文以一種四自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)為研究對象，運(yùn)用Isight軟件對機(jī)構(gòu)進(jìn)行多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化，以彌補(bǔ)傳統(tǒng)方法的不足，為并聯(lián)機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)奠定基礎(chǔ).

12-RPC/2-SPC并聯(lián)機(jī)構(gòu)

2-RPC/2-SPC并聯(lián)機(jī)構(gòu)由動平臺A1A2A3A4、定平臺D1D2D3D4、4條支鏈L1、L2、L3、L4組成.其中動、定平臺均為矩形，驅(qū)動副為4條支鏈上的移動副.在動、定平臺的質(zhì)心位置建立空間直角坐標(biāo)系p-uvw，O-XYZ，w、Z軸分別垂直于動、定平臺所在的平面，方向向上，u、X軸分別平行于動平臺、定平臺的邊A1A2、D1D2，v、Y軸由右手法則確定，如圖1所示.設(shè)動、定平臺的邊長如下：LA1A4=2M, LA1A2=2N,LD1D2=2A, LD1D4=2B, 其中M,N,A,B為設(shè)計(jì)變量.

(a)結(jié)構(gòu)簡圖　　　　　　　　　　(b)模型圖圖1　2-RPC/2-SPC并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)

22-RPC/2-SPC并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間

2.1工作空間的影響因素

分析2-RPC/2-SPC并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間時(shí)主要考慮下列因素：奇異位形、桿長限制、運(yùn)動副限制[7].

(1)奇異位形：參考文獻(xiàn)[8]對2-RPC/2-SPC并聯(lián)機(jī)構(gòu)奇異位形的分析.

(2)桿長限制：設(shè)定桿長Li的取值范圍為

240mm ≤ Li≤ 400mm(i=1～4)

(3)運(yùn)動副限制

首先對RPC支鏈進(jìn)行分析：這里以支鏈1為例，設(shè)定支鏈1與定平臺鏈接的轉(zhuǎn)動副轉(zhuǎn)角范圍為[π/65π/6].這個轉(zhuǎn)角可以用θ1,1表示，它代表向量O1B1與B1C1之間的夾角.求得

(1)

因此，需滿足π/6≤θ1,1≤5π/6.

支鏈1與動平臺鏈接處的圓柱副可以分解為1個轉(zhuǎn)動副和1個移動副.轉(zhuǎn)動副的求解同θ1,1，而移動副移動范圍需滿足-M≤YC1≤M.

然后對SPC支鏈進(jìn)行分析：這里以支鏈2為例，設(shè)定支鏈2所在的直線與定平臺所在的平面之間的夾角的范圍為[π/65π/6]，這個夾角可以用θ2,1表示，求得

(2)

因此需滿足π/6≤θ2,1≤5π/6.同樣，支鏈2與動平臺鏈接處的圓柱副可以分解為1個轉(zhuǎn)動副和1個移動副.這個轉(zhuǎn)動副的轉(zhuǎn)角為θ2,2，求得

(3)

同樣需滿足π/6≤θ2,2≤5π/6.而移動副的移動范圍需滿足XA2≤XC2≤XA1，或XA1≤XC2≤XA2即

2.2機(jī)構(gòu)的工作空間

本文采用數(shù)值法，給定動平臺參考點(diǎn)的范圍，利用位置反解進(jìn)行搜索，并考慮工作空間的影響因素，運(yùn)用Matlab編程計(jì)算“點(diǎn)集”近似衡量位置工作空間的大小.

設(shè)動、定平臺結(jié)構(gòu)參數(shù)的尺寸為：M=220mm，N=240mm，A=200mm，B=110mm.設(shè)定動平臺參考點(diǎn)的范圍如下：

-100mm≤Xp≤100mm,-100mm≤Yp≤100mm,100mm≤Zp≤240mm,-π/6≤β≤π/6.

求解得到機(jī)構(gòu)的工作空間，如圖2所示.

圖2　2-RPC/2-SPC并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間

3機(jī)構(gòu)工作空間的試驗(yàn)設(shè)計(jì)

針對并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間相對較小這個問題，運(yùn)用 Isight對2-RPC/2-SPC并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)，使其工作空間相對較大.根據(jù)上文對工作空間的分析，得到設(shè)計(jì)變量即機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)的取值范圍為

目標(biāo)函數(shù)為工作空間內(nèi)可行點(diǎn)的數(shù)量，用P表示.在Isight中選取任務(wù)組件Task，并集成實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法組件DOE與Matlab組件.試驗(yàn)設(shè)計(jì)流程如圖3所示. 在DOE組件中，選擇拉丁超立方設(shè)計(jì)方法，樣本點(diǎn)50個.

圖3　工作空間試驗(yàn)設(shè)計(jì)流程

圖4　設(shè)計(jì)變量對目標(biāo)函數(shù)的主效應(yīng)圖

經(jīng)過運(yùn)算可得所有設(shè)計(jì)變量對目標(biāo)函數(shù)的主效應(yīng)圖，如圖4所示.從主效應(yīng)圖可見， 工作空間可行點(diǎn)數(shù)P隨著A的增大而逐漸減小，B、M對P無影響，而N對P的影響程度最大，P隨著N的增大而增大.因此，要想獲得較大的工作空間，需減小A的取值，同時(shí)增大N的取值.

4機(jī)構(gòu)的性能評價(jià)指標(biāo)

4.1靈巧度

靈巧度是衡量機(jī)構(gòu)運(yùn)動傳遞失真程度的指標(biāo)[9-10].靈巧度的分析主要基于速度雅可比矩陣，如雅可比條件數(shù)指標(biāo)、可操作度指標(biāo).

雅可比矩陣的條件數(shù)可以定義為

(4)

可操作度指標(biāo)可以表示為

(5)

將兩種指標(biāo)綜合考慮，建立綜合評價(jià)指標(biāo)η來考察機(jī)構(gòu)的靈巧度.

η=η1kJ+η2/w

(6)

式中：η1、η2分別為權(quán)重系數(shù)，可將權(quán)重系數(shù)設(shè)定不同的值，分別為η1=0.6，η1=0.4.

4.2承載能力

根據(jù)文獻(xiàn)[11]所述，機(jī)構(gòu)最大承載能力σFmax和最小承載能力σFmin分別為：

(7)

式中G與速度雅可比有直接關(guān)系，即G=(JT)-1.

(8)

4.3靜剛度

靜力學(xué)的求解一般是建立在剛度矩陣的基礎(chǔ)上[12-13]，通過理論計(jì)算求解施加載荷與動平臺末端的位移量之間的關(guān)系.

F=JT·KJ·J·Δx

(9)

式中：F表示末端執(zhí)行器上的力或力矩向量；KJ是并聯(lián)機(jī)構(gòu)的關(guān)節(jié)剛度矩陣，KJ=diag[k1,k2,k3,k4]，其中ki表示每個驅(qū)動器的關(guān)節(jié)剛度，設(shè)定ki=10N/mm，F(xiàn)=10N；Δx表示動平臺的微小位移.令

K=JT·KJ·J

(10)

動平臺的位移可以表示為

Δx=K-1F

(11)

將Δx作為衡量機(jī)構(gòu)靜剛度的性能評價(jià)指標(biāo).

4.4驅(qū)動器的驅(qū)動力

在并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動過程中，需要考慮各支鏈的運(yùn)行速度、加速度、關(guān)節(jié)驅(qū)動力在允許的范圍內(nèi).為此定義關(guān)節(jié)驅(qū)動力性能指標(biāo)[14].

(12)

5機(jī)構(gòu)的多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化

5.1多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化模型的建立

多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化模型的建立需要設(shè)定設(shè)計(jì)變量、約束條件、優(yōu)化目標(biāo).

設(shè)計(jì)變量是根據(jù)工作空間試驗(yàn)設(shè)計(jì)的結(jié)果而定的，結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化范圍如下：

約束條件的范圍如下：

優(yōu)化目標(biāo)如下:

5.2基于Isight的多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化

在Isight中搭建的并聯(lián)機(jī)構(gòu)多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化流程圖.如圖5所示.

在Isight中利用TaskPlan組件將DOE組件和Optimization組件進(jìn)行組合.Isight自動將DOE組件計(jì)算得到的近似最優(yōu)解傳遞給Optimization組件作為設(shè)計(jì)初始值，在DOE組件中，采用最優(yōu)拉丁超立方設(shè)計(jì)方法，設(shè)置樣本點(diǎn)數(shù)為30；在Optimization組件中，采用NSGA-Ⅱ優(yōu)化算法，設(shè)置種群大小為4，遺傳代數(shù)為20.

圖5　2-RPC/2-SPC并聯(lián)機(jī)構(gòu)多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化流程

6結(jié)果分析

運(yùn)用Isight對模型進(jìn)行求解，可以得到所有設(shè)計(jì)變量對目標(biāo)函數(shù)的主效應(yīng)圖，如圖6所示.從主效應(yīng)圖可見，靈巧度、承載能力、靜剛度隨著設(shè)計(jì)變量A的增大而減小，而驅(qū)動力隨著A的增大而增大；靈巧度、驅(qū)動力隨著設(shè)計(jì)變量B的增大而增大，而承載能力、靜剛度隨著B的增大而減小，減小相對緩慢；靈巧度、驅(qū)動力隨著設(shè)計(jì)變量M的增大而減小，而承載能力、靜剛度隨著M的增大而增大，增加相對緩慢；靈巧度、承載能力、靜剛度隨著設(shè)計(jì)變量N的增大而增大，而驅(qū)動力隨著N的增大而減小.

(a) 靈巧度　　　　　　　　　　(b) 承載力

(c) 靜剛度　　　　　　　　　(d) 驅(qū)動力圖6　設(shè)計(jì)參數(shù)對目標(biāo)函數(shù)的主效應(yīng)圖

運(yùn)用Isight軟件對設(shè)計(jì)變量進(jìn)行取值計(jì)算時(shí)，都會記錄下來并繪制成Pareto圖，如圖7所示，設(shè)計(jì)變量A、B、M、N的設(shè)計(jì)可行點(diǎn)用實(shí)心點(diǎn)表示，最佳設(shè)計(jì)點(diǎn)用十字線所在點(diǎn)表示.

最后可以得到Isight得出的設(shè)計(jì)參數(shù)的最優(yōu)解如圖8所示，Chengzaili(承載力)、Lingqiaodu(靈巧度)、Qudongli(驅(qū)動力)、Weiyiliang(表示靜剛度)的最佳設(shè)計(jì)值分別為：26.41N，106.2，126.17N，1.69mm.

(a) 設(shè)計(jì)參數(shù)A　　　　　　　(b) 設(shè)計(jì)參數(shù)B

(c) 設(shè)計(jì)參數(shù)M　　　　　　　(d) 設(shè)計(jì)參數(shù)N圖7　設(shè)計(jì)參數(shù)的設(shè)計(jì)可行點(diǎn)

圖8　設(shè)計(jì)參數(shù)的最優(yōu)解

7基于6Sigma的可靠性評價(jià)

為了驗(yàn)證多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化的結(jié)果是否可靠，有必要進(jìn)行可靠性評價(jià).在Isight中，對當(dāng)前設(shè)計(jì)方案的可靠性評價(jià)是建立在6Sigma基礎(chǔ)上的.在2-RPC/2-SPC并聯(lián)機(jī)構(gòu)的多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化模型基礎(chǔ)上，將6Sigma組件添加到Task組件上，選擇分析類型為“基于可靠性評估方法”ReliabilityTechnique，選擇“均值算法”MeanValueMethod.

經(jīng)過計(jì)算可以得出優(yōu)化目標(biāo)的概率分布及Sigma水平顯示圖，如圖9所示.6Sigma來源于“6σ”，它表示當(dāng)前設(shè)計(jì)方案某一性能指標(biāo)的均值與質(zhì)量約束之間的距離為±6σ，對應(yīng)的可靠度為99.9%.從圖9中可以看出，靈巧度、承載能力、靜剛度與驅(qū)動力對應(yīng)的可靠度為8σ，接近100%.所以，2-RPC/2-SPC并聯(lián)機(jī)構(gòu)多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化結(jié)果的可靠度非常高.

(a) 靈巧度　　　　　　　　(b) 靜剛度

(c) 承載力　　　　　　　　(d) 驅(qū)動力圖9　優(yōu)化目標(biāo)的概率分布及Sigma水平

8結(jié)論

(1)考慮奇異位形、桿長、運(yùn)動副轉(zhuǎn)角等影響因素，運(yùn)用Isight軟件對工作空間進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)，使得并聯(lián)機(jī)構(gòu)在給定結(jié)構(gòu)參數(shù)的取值范圍內(nèi)具有較大的工作空間.

(2)將多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化軟件Isight應(yīng)用到并聯(lián)機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)中，綜合考慮并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作靈巧度、承載能力、靜剛度與驅(qū)動力等多方面性能要求，以2-RPC/2-SPC并聯(lián)機(jī)構(gòu)為例，構(gòu)建多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化基本流程與實(shí)現(xiàn)平臺，為并聯(lián)機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)奠定了基礎(chǔ).

(3)基于Isight軟件，利用試驗(yàn)設(shè)計(jì)分析并聯(lián)機(jī)構(gòu)，并繪制主效應(yīng)圖，分析得到設(shè)計(jì)變量對優(yōu)化目標(biāo)的影響程度，為并聯(lián)機(jī)構(gòu)制造精度的控制提供了依據(jù)；利用多學(xué)科優(yōu)化對由試驗(yàn)設(shè)計(jì)得出的近似模型進(jìn)行優(yōu)化，得到Pareto圖，得到機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)的最優(yōu)解，并且可以得到滿足條件的可行解供決策者根據(jù)不同需要進(jìn)行選擇.

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(編輯：郝秀清)

Multidisciplinary design optimization for 2-RPC/2-SPC parallel mechanism with respect to maximizing workspace

DU Qing-qing, GUO Zong-he, WANG De-jun

(School of Mechanical Engineering， Shandong University of Technology， Zibo 255049, China)

Abstract:Firstly, the influence of singularity equations, angle of motion pair and length of branched chain are considered to solve the workspace of the 2-RPC/2-SPC parallel mechanism. Secondly, the workspace is taken to design of experiments based on the Isight software in order to get the maximum workspace and obtain the optimal structure size. Finally, organization's dexterity, the carrying capacity, the static stiffness and the driving force are considered into establish the multidisciplinary design optimization model. The model is solved based on the Isight to obtain the optimal structure parameters under the overall optimal performance, and the results of the performance evaluation index are analyzed by the method of reliability evaluation. This research results show that it is feasible to apply the multidisciplinary design optimization method to optimal design of parallel mechanism and build a foundation for parallel mechanism from theory to the practical application.

Key words:workspace; performance evaluation index; multidisciplinary design optimization

中圖分類號：TH112

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1672-6197(2016)04-0056-06

作者簡介：杜晴晴，女，ganggangdu@126.com; 通信作者： 郭宗和，男，guozonghe@sdut.edu.cn

收稿日期：2015-04-27