楊曉英

(新疆師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830054)

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慢增長(zhǎng)的Laplace-Stieltjes變換的級(jí)

楊曉英

(新疆師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830054)

摘 要：文章借助一類慢增長(zhǎng)函數(shù)Λ,在此定義下,得到了半平面上慢增長(zhǎng)的Laplace-Stieltjes變換的最大模和最大項(xiàng)指標(biāo)之間的關(guān)系,推廣了Dirichlet級(jí)數(shù)的有關(guān)結(jié)果。

關(guān)鍵詞：Laplace-Stieltjes變換; 級(jí); 慢增長(zhǎng)

關(guān)于Dirichlet級(jí)數(shù)增長(zhǎng)性的研究已經(jīng)有很多結(jié)果【1-6】。許多作者研究了增長(zhǎng)快速的整函數(shù)(ρ=∞), 2006年Ganti和Srivastava【7】定義了慢增長(zhǎng)的Taylar整函數(shù)的廣義級(jí)和廣義型(ρ∈(0,+∞))。近幾年，霍穎瑩【8】研究了慢增長(zhǎng)的Dirichlet級(jí)數(shù)的廣義級(jí)和廣義型(ρ∈(0,+∞))。文章研究半平面上慢增長(zhǎng)的Laplace-Stieltjes變換的廣義級(jí),得到了一個(gè)相應(yīng)的結(jié)論,可以看做對(duì)Dirichlet級(jí)數(shù)研究的擴(kuò)展。

設(shè)α(y)是任何有限閉區(qū)間[0,X]上有界變差的實(shí)或復(fù)函數(shù)?？紤]Laplace-Stieltjes變換：

(1)

取序列{λn}：0<λ1<λ2<…<λn<…<+∞,滿足

(2)

記σu(F)為一致收斂橫坐標(biāo),設(shè)變換滿足

(3)

N(σ,F)=max{λn,An*e-λnσ=μ(σ,F):n∈N,σ∈R}.

設(shè)Λ表示一組函數(shù)α(x),滿足下面的條件：

1.α(x)是定義在[δ,+∞)上正的可微的嚴(yán)格遞增函數(shù),且α(x)→+∞(x→+∞);

2.α(x)～klog[P]x(x→+∞),其δ,k∈(0,+∞),log[1]x=logx,log[P]x=log[P-1]logx,這里的P為正整數(shù)。易得

(4)

可見,函數(shù)α(x)是慢增長(zhǎng)的函數(shù)。

定義設(shè)α(x)∈Λ，由(1)定義的整函數(shù)F(s)的廣義級(jí)可定義為

1幾個(gè)引理

引理1設(shè)Laplace-Stieltjes變換(1)和{λn}滿足(2)和(3),對(duì)于任意給定的σ∈R,

證明用[10]中引理1的類似證明可得。

引理2[11]設(shè)α(x)∈Λ，其反函數(shù)為α-1(σ)，則

其中A>0,B>0.

證明 用[8]中引理3的類似證明可得。

2定理及證明

定理設(shè)Laplace-Stieltjes變換(1)和{λn}滿足(2)和(3),則

對(duì)上式兩邊做慢增長(zhǎng)函數(shù)，

α[logμ(σ,F)-logμ(σ1,F)]≤α[(σ-σ1)α-1[(B+ε)α(1/σ)]],

由引理2得

α[(σ-σ1)α-1[(B+ε)α(1/σ)]]≤(B+1+ε)α(1/σ).

再由引理3, 定理的第1個(gè)不等號(hào)成立。

α(N(σ,F))≤(1+ο(1))α(2N(σ,F))<(1+ο(1))α(∫σσ+2N(x,F)dx)

≤(1+ο(1))α(logMμ(σ+2,F))≤(A+ε+ο(1))α(1/σ).

參考文獻(xiàn)：

[1] 孫道椿,高宗升.半平面上Dirichlet級(jí)數(shù)的增長(zhǎng)級(jí)[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)，2002,22A:557-563.

[2] SUN Dao-cun ,YU Jia-rong .On the distribution of values of random dirichlet series [J]. Chinese Annals of Mathematics,1990,11B(1):33-44.

[3] 田宏根,孫道椿,鄭承民,等.平面上的零級(jí)Dirichlet級(jí)數(shù)[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué),2006,26(3):270-276.

[4] 陳聚峰,劉名生.有限級(jí)Dirichlet級(jí)數(shù)與隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào),2005,25(27):965-973.

[5] 楊祺,曹月波,田宏根.一類零級(jí)Dirichlet增長(zhǎng)性[J].數(shù)學(xué)雜志,2013,33(5):916-922.

[6] YANG Qi, CAO Yue-bo,TAN Hong-gen. The growth dirichlet series and random dirichlet series of zero order and finite order[J].Chinese Quarterly Journal of Mathematics, 2013,28(2):250-256.

[7] Ganti,Srivastava.Approximation of entire function of slow growth[J].General Mathmatics,2006,14(2):59-76.

[8] HUO Ying-ying,KONG Yin-ying.On generalized orders and generalized types of dirichlet series in the right half-plane[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào),2014,34B(1):157-182.

[9] 余家榮,丁小慶,田范基,等.Dirichlet級(jí)數(shù)和隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)的值分布[M].武漢：武漢大學(xué)出版社,2004.

[10] 孫道椿,高宗升.平面上Dirichlet級(jí)數(shù)的增長(zhǎng)性[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào),2002,22A(4):557-563.

[11] 孔蔭瑩,霍穎瑩.慢增長(zhǎng)的隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)[J].數(shù)學(xué)年刊,2012,33A(3):323-328.

On Orders and Types of Laplace-Stieltjes Transform of Slow Growth

YANG Xiao-ying

(SchoolofMathmaticsXinjiangNomalUniversity,Urumqi,Xinjiang, 830054,China)

Abstract:The paper uses a kind of slow growth function Λ and obtains some relations between the maximum modulus and the index of maximum term by the slow growth function of Laplace-Stieltjes transforms in the half-plane. And extends some results of Dirichlet series in the half plane .

Key words:Laplace-Stieltjes transforms; Generalized order; Slow growth function

中圖分類號(hào):O174.52

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1008-9659(2016)01-046-03

[作者簡(jiǎn)介]楊曉英(1976-)，女，新疆奇臺(tái)人，講師，碩士，主要從事高等數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)教育及課程論方面的研究。

[收稿日期]2015-12-15