摘要：本文考慮一類非光滑極大極小分式規(guī)劃問(wèn)題，問(wèn)題中所出現(xiàn)的函數(shù)是局部Lipschitz的.對(duì)該類分式規(guī)劃問(wèn)題，引入了廣義非光滑B-（p，r）-不變凸函數(shù)的概念，得到了關(guān)于這類函數(shù)的非光滑極大極小分式規(guī)劃最優(yōu)性條件.

關(guān)鍵詞：極大極小分式規(guī)劃；廣義非光滑B-（p，r）-不變凸函數(shù)；最優(yōu)性條件

中圖分類號(hào)：O224 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1007-5348（2014）

凸性理論在數(shù)學(xué)規(guī)劃的最優(yōu)條件及對(duì)偶原理中起著重要的作用，1977年，Schmitendorf獲得了凸可微廣義極大極小分式規(guī)劃問(wèn)題的充分和必要條件，在文 [1-5]中，分別對(duì)凸性概念進(jìn)行推廣同時(shí)也利用最優(yōu)性條件建立極大極小規(guī)劃問(wèn)題的對(duì)偶理論.本文利用文[6]中廣義非光滑B-（p，r）-不變凸函數(shù)的概念，討論其相應(yīng)極大極小廣義分式規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)性條件.

一、定義與引理

約束條件 假設(shè)在的上半連續(xù)；在局部Lipschitz（關(guān)于一致）；對(duì)每一個(gè)給定的，在正規(guī)，即關(guān)于的方向?qū)?shù)滿足；集值函數(shù)在上半連續(xù)；

在處Lipschitz和正規(guī)。

定理（最優(yōu)性充分條件）假設(shè)是廣義分式規(guī)劃問(wèn)題的可行解，若下列條件成立：

（Ⅰ）在處存在，使得定理1中（a）（b）（c）（d）成立；

（Ⅱ）在點(diǎn)處是關(guān)于向量函數(shù)和函數(shù)的廣義非光滑B-（p，r）-不變凸函數(shù)，其中；對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，；在點(diǎn)處是關(guān)于向量函數(shù)和函數(shù)的廣義非光滑B-（p，r）-不變凸函，則是廣義分式規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解.

定理 假設(shè)是廣義分式規(guī)劃問(wèn)題的可行解，若下列條件成立：

（Ⅰ）在處存在，使得定理1中（a）（b）（c）（d）成立；

（Ⅱ）和在點(diǎn)處是關(guān)于向量函數(shù)和函數(shù)的廣義嚴(yán)格非光滑B-（p，r）-不變凸函數(shù)；對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，；在點(diǎn)處是關(guān)于向量函數(shù)和函數(shù)的廣義嚴(yán)格非光滑B-（p，r）-不變凸函數(shù)，則是廣義分式規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解.

證明 由命題中的條件可知、和的廣義

嚴(yán)格不變凸性可知不等式（4）（5）成立，又由定理1中的條件（d），故可得

這與定理中的條件（a）矛盾，所以是廣義分式規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解.

定理（最優(yōu)性充分條件）假設(shè)是廣義分式規(guī)劃問(wèn)題的可行解，若下列條件成立：

（?。┰谔幋嬖?，使得定理1中（a）（b）（c）（d）成立；

（ⅱ）在點(diǎn)處是關(guān)于向量函數(shù)和函數(shù)的廣義非光滑B-（p，r）-不變凸函數(shù)，其中；對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，；

（ⅲ）在是局部Lipschitz的，且為正則的；

則是廣義分式規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解.

參考文獻(xiàn)：

[1]Schmitendorf W E.Necessary conditons for static minimax problems[J].J Math Anal Appl，1977，57：683-693.