8月6～11日，第七屆世界華人數(shù)學(xué)家大會(huì)在北京召開(kāi)，這對(duì)世界華人數(shù)學(xué)家來(lái)講是一場(chǎng)盛會(huì)，但對(duì)很少涉足該領(lǐng)域的普通人來(lái)講，數(shù)學(xué)仍然與生活有很大距離。不了解數(shù)學(xué)的人常常會(huì)有“數(shù)學(xué)是什么”的疑惑，或者根本無(wú)法理解一大堆繁復(fù)的公式在說(shuō)什么，好像只有專(zhuān)門(mén)受過(guò)很多訓(xùn)練的人才能看懂。其實(shí)，數(shù)學(xué)世界中一些很深刻的內(nèi)容，實(shí)際理解起來(lái)非常簡(jiǎn)單，而且還能對(duì)人類(lèi)文明產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響。王詩(shī)宬院士為大家?guī)?lái)一場(chǎng)融匯文史哲的數(shù)學(xué)講座，從非歐幾何的誕生講起，用文學(xué)的語(yǔ)言、史學(xué)的故事、哲學(xué)的思辨為我們打開(kāi)了數(shù)學(xué)神秘而有趣的大門(mén)。

專(zhuān)家名片

王詩(shī)宬 數(shù)學(xué)家、北京大學(xué)教授。1988年在美國(guó)加州大學(xué)洛杉磯分校獲博士學(xué)位，2005年當(dāng)選為中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)物理學(xué)部院士?，F(xiàn)為中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)理事長(zhǎng)，北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院教授，長(zhǎng)江學(xué)者特聘教授，Algebraic and Geometric Topology等5個(gè)數(shù)學(xué)雜志的編委。曾獲中國(guó)青年科學(xué)家獎(jiǎng)、求是杰出青年獎(jiǎng)、國(guó)家杰出青年基金、陳省身數(shù)學(xué)獎(jiǎng)、國(guó)家自然科學(xué)獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)。

1古希臘幾何學(xué)大成

各個(gè)古文明，包括埃及文明、兩河流域文明、中國(guó)和印度文明在發(fā)展過(guò)程中獲得了大量的經(jīng)驗(yàn)和實(shí)用知識(shí)，如建筑、水利、農(nóng)田測(cè)量等，但這些知識(shí)往往沒(méi)有上升到理論層次。同時(shí)，有些知識(shí)我們可以在實(shí)踐中獲得，但有些知識(shí)無(wú)法通過(guò)經(jīng)驗(yàn)得到，比如中學(xué)數(shù)學(xué)所講的無(wú)理數(shù)就是在實(shí)踐中永遠(yuǎn)無(wú)法得到。我們看到一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，自然會(huì)問(wèn)對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度是多少，所以像根號(hào)二就是一個(gè)推導(dǎo)而得的數(shù)字。

兩河流域主要指幼發(fā)拉底河和底格里斯河。富有開(kāi)拓精神的希臘人，把他們?cè)诼眯兄幸?jiàn)識(shí)兩河流域文明和古埃及文明中的幾何學(xué)帶回家鄉(xiāng)，與當(dāng)時(shí)希臘人崇尚的自然真理——唯理主義思潮相結(jié)合。學(xué)者中開(kāi)始流行起通過(guò)推理、證明得到新數(shù)學(xué)知識(shí)的風(fēng)尚，還出現(xiàn)很多最初的數(shù)學(xué)學(xué)校，各種教本也應(yīng)運(yùn)而生。從畢達(dá)哥拉斯（古希臘數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家）到柏拉圖（古希臘哲學(xué)家、思想家），經(jīng)過(guò)希臘學(xué)者幾百年的努力和積淀，終于出現(xiàn)了一本集希臘幾何學(xué)大成的著作——?dú)W幾里得的《幾何原本》。所寫(xiě)著作中沒(méi)有自己的新的定理而能流芳百世的人物，除了歐幾里得找不到第二人。

古希臘著名數(shù)學(xué)家、歐式幾何學(xué)開(kāi)創(chuàng)者歐幾里得（公元前325年～公元前265年）所著的《幾何原本》對(duì)后世產(chǎn)生了十分深遠(yuǎn)的影響，此書(shū)面世后使先前所使用的所有幾何教本基本自行退出了歷史舞臺(tái)，且一直被沿用了2000多年。這本書(shū)也成為大多數(shù)科學(xué)家、思想家和工程師訓(xùn)練邏輯思維最好的培訓(xùn)教材，因?yàn)槠矫鎺缀蔚臄?shù)學(xué)訓(xùn)練對(duì)人的邏輯思維培養(yǎng)大有裨益。更為重要的是，歐幾里得從幾個(gè)基本原理出發(fā)推導(dǎo)出一套數(shù)學(xué)理論，這套公理推導(dǎo)的方式影響了現(xiàn)代科學(xué)，比如而后的牛頓力學(xué)體系，從牛頓三大定律和萬(wàn)有引力定律推出整個(gè)力學(xué)，當(dāng)然這個(gè)定律里可能存在漏洞，隨著時(shí)代發(fā)展不斷發(fā)現(xiàn)新的事物，再添加修改。古希臘盛行公理推導(dǎo)的方式，特別是思辨思維的方式，成為現(xiàn)代科學(xué)源自歐洲的原動(dòng)力之一。

歐幾里得的五個(gè)公理中，前四條非常簡(jiǎn)單，大家都相信。第一，任何兩點(diǎn)可以連成一條直線(xiàn)；第二，直線(xiàn)可以無(wú)限延長(zhǎng)；第三，經(jīng)過(guò)一個(gè)點(diǎn)用一個(gè)半徑可以畫(huà)出一個(gè)圓；第四，直角都相等；第五條比較復(fù)雜，即隨便畫(huà)兩條直線(xiàn)，然后再畫(huà)一條直線(xiàn)與它們相交，假如這兩條直線(xiàn)同旁的內(nèi)角的和比180°小，那么這兩條線(xiàn)無(wú)線(xiàn)延長(zhǎng)后一定會(huì)相交。第五條并不像前面四條那樣可以簡(jiǎn)明地推出，所以歐幾里得將它放至第五位。在《幾何原本》里，歐幾里得先用前面四條公理推出絕對(duì)幾何，最后加進(jìn)第五條來(lái)推其他的部分。

2 數(shù)學(xué)詩(shī)人的詩(shī)意

后來(lái)人們?cè)噲D簡(jiǎn)化第五條公理，波斯人奧馬·哈亞姆提煉出：過(guò)直線(xiàn)L外的一點(diǎn)可以而且只可以作一條直線(xiàn)和L不相交。哈亞姆是數(shù)學(xué)家、醫(yī)學(xué)家、天文學(xué)家和詩(shī)人，對(duì)科學(xué)作過(guò)很多貢獻(xiàn)。他曾寫(xiě)過(guò)一本有名的阿拉伯文的代數(shù)書(shū)，之后，此書(shū)被翻譯成拉丁文、法文，在文藝復(fù)興時(shí)期傳到西方。他被認(rèn)為是10～14世紀(jì)之間最杰出的數(shù)學(xué)家。同時(shí)由于哈亞姆的詩(shī)也寫(xiě)得非常好，中國(guó)學(xué)者稱(chēng)他為波斯的李白，哈亞姆同屈原、曹雪芹一起被聯(lián)合國(guó)科教文組織作為世界文化名人進(jìn)行紀(jì)念。哈亞姆的詩(shī)有很多種譯本，我手中有兩種譯本，分別是張暉譯的《柔巴依詩(shī)集》和郭沫若譯的《魯拜集》。張暉從波斯文翻譯哈亞姆的詩(shī)，而郭沫若不懂波斯文，從英文和日文翻譯而來(lái)，所以?xún)蓚€(gè)譯本中沒(méi)有一首詩(shī)是一樣的，以一首充滿(mǎn)唯物主義色彩的詩(shī)為例：

“啊，世界仍將存在，當(dāng)我們故去，芳名行將泯滅，也不留下遺跡，我們來(lái)世之前，世界沒(méi)有受損，我們棄世之后，也將與此無(wú)異?！薄獜垥熥g

“你我通過(guò)帷幕之后，啊，世界是永遠(yuǎn)存留，你我的來(lái)而又去，大海里拋了個(gè)小小石頭?！薄糇g

3 歐式幾何的空間真的唯一且真實(shí)？

現(xiàn)在我們認(rèn)為歐洲的科學(xué)非常先進(jìn)，但并非一直如此。早期希臘文明非常發(fā)達(dá)，但之后歐洲經(jīng)過(guò)中世紀(jì)的黑暗混戰(zhàn)，一度落后于世界上很多地方。在歐洲處于中世紀(jì)混沌時(shí)，阿拉伯世界則在許多方面都處于科學(xué)的頂端。希臘人和阿拉伯人特別是在數(shù)學(xué)方面的成就非常輝煌，阿拉伯人促進(jìn)了代數(shù)學(xué)地位的提升，希臘人則主要研究幾何。阿拉伯?dāng)?shù)字其實(shí)源自印度，因?yàn)槭怯砂⒗藗鞯綒W洲，故而歐洲人稱(chēng)之為阿拉伯?dāng)?shù)字。

回到歐幾里得的第五公理，因?yàn)樗⒉幌袂八臈l一樣簡(jiǎn)明，所以曾經(jīng)有很多人曾嘗試證明歐氏第五公理是否正確，但限于當(dāng)時(shí)人們的知識(shí)水平還不夠高，所以這些人往往未能有所成就。其實(shí)科學(xué)研究也需要特定的時(shí)機(jī)，當(dāng)時(shí)機(jī)沒(méi)有到來(lái)之前，人們很難有機(jī)會(huì)做出成果。很久之后，才終于有人開(kāi)始萌生第五公理是不是不能由其他公理證明出來(lái)的想法，即第五公設(shè)與前面四條相獨(dú)立。

為了證明它的獨(dú)立性，尼古拉·羅巴切夫斯基（1792～1856年，俄羅斯數(shù)學(xué)家、非歐幾何早期發(fā)現(xiàn)人之一）發(fā)表了第一篇非歐幾何的文獻(xiàn)，他承認(rèn)歐幾里得前面四條公設(shè)是對(duì)的，但他對(duì)原來(lái)的第五公設(shè)“過(guò)直線(xiàn)L外的一點(diǎn)可以而且只可以作一條直線(xiàn)和L不相交”做了假設(shè)，將它改為“過(guò)直線(xiàn)L外的一點(diǎn)可以做無(wú)數(shù)條直線(xiàn)與L平行”，并以此為條件反推，若結(jié)果存在矛盾，那么就證明了歐幾里得的第五公理的正確性?？墒墙Y(jié)果卻出人意料，他反推之后竟然沒(méi)有推出矛盾，反而得到了很多其他結(jié)論，雖然這些結(jié)論在習(xí)慣了歐幾里得幾何世界的人看來(lái)非常的奇怪。比如，羅巴切夫斯基認(rèn)為三角形只要相似就面積相等。在我們經(jīng)驗(yàn)世界的幾何里，這是絕對(duì)不對(duì)的，相似的三角形面積可以任意大。羅巴切夫斯基的推理結(jié)論也被稱(chēng)為虛幾何。

因?yàn)闅W幾里得的幾何定理普遍存在于這個(gè)世界，可以被我們直接地觀測(cè)到，故而我們非常容易相信歐式幾何。那么有沒(méi)有一個(gè)模型可以實(shí)現(xiàn)巴切夫斯基的幾何推理呢？換句話(huà)說(shuō)，我們熟悉的歐幾里得空間是不是我們存在的唯一真實(shí)的空間形式？

4 數(shù)學(xué)通才鮮為人知的成就

后來(lái)有很多數(shù)學(xué)家建立各種模型來(lái)實(shí)現(xiàn)羅巴切夫斯基的推理，如貝爾特拉米模型、克萊因模型，其中非常重要的一個(gè)模型叫龐卡萊模型。儒勒·昂利·龐卡萊是物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、哲學(xué)家。作為物理學(xué)家，他曾擔(dān)任過(guò)法國(guó)物理協(xié)會(huì)的主席；作為天文學(xué)家，他提出天體力學(xué)新方法有三大卷；作為哲學(xué)家，他是哲學(xué)散文大師；作為數(shù)學(xué)家，他還頗有建樹(shù)，被認(rèn)為是世界上最后一個(gè)通才。他既是法國(guó)科學(xué)院院士，又是法蘭西學(xué)院的院士，這在法國(guó)歷史上、甚至世界歷史上都是少有的。

雖然龐卡萊名譽(yù)天下，但卻很少有人知道他對(duì)狹義相對(duì)論作出了重大貢獻(xiàn)。提到狹義相對(duì)論，我們現(xiàn)在通常都只會(huì)聯(lián)想到愛(ài)因斯坦。狹義相對(duì)論里最基本的是光速在任何觀察系里都不變，這個(gè)觀點(diǎn)最早曾被龐卡萊提出。1898年的物理學(xué)出現(xiàn)很多矛盾，50多歲的龐卡萊在《科學(xué)與假設(shè)》一書(shū)中提出，假定光速不變，那么所有的矛盾都不存在了，當(dāng)時(shí)龐卡萊只是把這個(gè)假設(shè)當(dāng)作一種可能性而已。而當(dāng)時(shí)還非常年輕的愛(ài)因斯坦卻將這一假設(shè)看作真理，非常執(zhí)著進(jìn)行了深入地研究，進(jìn)而達(dá)到了比龐卡萊更直接、更深刻的結(jié)論。

關(guān)于龐卡萊在狹義相對(duì)論的貢獻(xiàn)，愛(ài)因斯坦在回憶錄里這樣寫(xiě)道：“我經(jīng)常整晚與哈比尼特和索羅文一起閱讀、討論哲學(xué)著作，這些閱讀，加上龐卡萊和馬赫的著作，對(duì)我的發(fā)展影響非常大?！被艚鹪凇稌r(shí)間簡(jiǎn)史》中直接將龐卡萊歸結(jié)為狹義相對(duì)論的發(fā)明人之一。理查德·費(fèi)曼《物理學(xué)講義》也反復(fù)提到了龐卡萊的相對(duì)論原理。

當(dāng)時(shí)處于歷史前沿的科學(xué)巨人的成就極其杰出。在那個(gè)知識(shí)大爆發(fā)的時(shí)代，有天賦的年輕人可以很快接觸到科學(xué)前沿。如今，我們的學(xué)科分類(lèi)如此細(xì)化，雖然受教育的機(jī)會(huì)更多了，但同時(shí)想要在科學(xué)前沿做出成就也變得更難了。

5 難以理解的非歐幾何世界

歐幾里得空間有兩個(gè)基本的概念，一是承載體，歐幾里得平面的承載體是一個(gè)平面，比如我們平時(shí)拿的每一張紙、教學(xué)用到的黑板。二是直線(xiàn)，即最短距離。而非歐幾何的承載體是半徑為R的一個(gè)圓盤(pán)，圓盤(pán)的邊界不包括在里面，整個(gè)非歐世界就只有這么大。非歐世界中所定義的直線(xiàn)則是此平面上與單位圓盤(pán)邊界垂直的所有直線(xiàn)和圓周。這樣我們就會(huì)提出兩個(gè)問(wèn)題：一是，如此設(shè)定的直線(xiàn)可以無(wú)限延長(zhǎng)嗎？二是，為什么設(shè)定的直線(xiàn)是彎的？現(xiàn)在假如容許定義這些圓周就是直線(xiàn)，那么過(guò)這條直線(xiàn)L外一點(diǎn)P，可以做無(wú)數(shù)條直線(xiàn)與L都不相交，也就是與L平行。

要解釋非歐幾何的直線(xiàn)是否可以無(wú)限延長(zhǎng)的問(wèn)題，則涉及到長(zhǎng)度的概念，同時(shí)還需要使用物理學(xué)概念。假如存在一個(gè)半徑為1的物理世界，這個(gè)世界遵循如下定理：與原點(diǎn)（圓心）距離為x處的溫度為1-x2。也就是說(shuō)，原點(diǎn)處距離為0，溫度就是1，越靠近邊界溫度越低，非?？拷吔鐣r(shí)溫度趨于0。它滿(mǎn)足的第二個(gè)定理是，由于熱脹冷縮，物體的長(zhǎng)度與溫度成正比?，F(xiàn)在假定在這個(gè)世界中有兩個(gè)人手拉著手走向邊界，走了一段距離后溫度變低，熱脹冷縮，人越往前走越短。但對(duì)于他們生活的世界來(lái)說(shuō)，所有的東西都熱脹冷縮，所有的物體都變小變短了，所以他們并不會(huì)感覺(jué)到自己的變化，只會(huì)覺(jué)得自己在均勻地往前走，而且前面的世界永遠(yuǎn)都走不到頭。因?yàn)樵酵叭嗽蕉?，步子越小，他們?huì)認(rèn)為原點(diǎn)到邊界的距離為無(wú)窮遠(yuǎn)，在他們的生活中，直線(xiàn)是可以無(wú)限延長(zhǎng)的，只是這個(gè)距離在外部人看來(lái)是有限長(zhǎng)的，這樣就能理解非歐幾何中直線(xiàn)可以無(wú)限延長(zhǎng)的概念了。

我們避免用復(fù)雜公式來(lái)解釋非歐幾何的直線(xiàn)為什么會(huì)是彎的。簡(jiǎn)單舉例，在上述假定的圓盤(pán)中，圓盤(pán)以圓心為原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)速度非常大的時(shí)候，圓盤(pán)邊界的速度接近于光速。按照狹義相對(duì)論里的效應(yīng)，以光速運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)度會(huì)縮短，于是可以看到離中心越遠(yuǎn)的位置轉(zhuǎn)動(dòng)的速度越大，人會(huì)縮短得越明顯，越靠近圓心人越大。在圓盤(pán)上放兩個(gè)點(diǎn)：A點(diǎn)和B點(diǎn)，設(shè)想人從A走到B。若圓盤(pán)靜止，不存在接近光速長(zhǎng)度縮短的現(xiàn)象時(shí)，人從A到B沿著直線(xiàn)走最快。切換到高速旋轉(zhuǎn)的情形，若還是按照直線(xiàn)的路徑走，人離圓心較遠(yuǎn)，人的腿長(zhǎng)度被收縮了，步子更小，于是你會(huì)發(fā)現(xiàn)有條更短的路，就是一條曲線(xiàn)，表面上看兩點(diǎn)的距離是變長(zhǎng)了，但由于人靠近圓心時(shí)身體會(huì)變大、腳步也會(huì)更大，實(shí)際上會(huì)走得更快，這就是人選擇的最快（最短）的路。在這種情況下，用走路所花費(fèi)時(shí)間量來(lái)衡量路徑的長(zhǎng)短，曲線(xiàn)更“短”、直線(xiàn)更“長(zhǎng)”。在高速旋轉(zhuǎn)的圓盤(pán)模型中，通過(guò)精確的數(shù)學(xué)計(jì)算得知，最短的路程就是與邊界垂直的圓周。

6 如何證明三維空間的彎曲？

在地球表面上，所謂的直線(xiàn)其實(shí)是沿著地表存在的一條線(xiàn)，這條線(xiàn)實(shí)際上是大圓，比如我們把橡皮筋繃緊放在地球儀上，表示地球上的直線(xiàn)，它正是一個(gè)大圓。歐式幾何中，三角形的內(nèi)角和等于π，相鄰兩邊各取中點(diǎn)，兩點(diǎn)連一線(xiàn)，此線(xiàn)長(zhǎng)度等于底長(zhǎng)的二分之一。但是球式幾何中，三角形的內(nèi)角和大于π，而且可直觀看到相鄰兩邊各取中點(diǎn)，連成中位線(xiàn)的長(zhǎng)度大于底長(zhǎng)的二分之一。直觀講，在地球儀表面沿著大圓、赤道做出一個(gè)三角形，赤道與三角形中另外兩條曲線(xiàn)垂直，形成的兩個(gè)角加起來(lái)已經(jīng)是90°了，還多一個(gè)角，其內(nèi)角和一定大于180°。在雙曲幾何中，借用花瓶凹面模型，仍然拿一個(gè)橡皮筋在花瓶上面固定、拉緊形成三角形，于是出現(xiàn)了有現(xiàn)實(shí)意義的內(nèi)角和小于180°的三角形，它的中位線(xiàn)小于底長(zhǎng)的二分之一。

嚴(yán)格講，人們很早便將球式幾何應(yīng)用到航海和天體測(cè)量，從上海坐船到溫哥華，大圓航線(xiàn)（曲線(xiàn)）的航程需要5060海里，等角航線(xiàn)（直線(xiàn)）的航程卻需要5370海里，而雙曲幾何的更多意義在理論、思想層面上。幾乎與非歐幾何同時(shí)，誕生了黎曼幾何，如果沒(méi)有黎曼幾何，很難想象后來(lái)會(huì)如何產(chǎn)生愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論，這些知識(shí)在更深的層次為物理世界和我們所存在的空間形式做鋪墊。

平時(shí)很多人會(huì)聽(tīng)到“空間的彎曲”一詞，其實(shí)只要借助地球儀、花瓶等模型，就能將二維的概念放到三維的空間里，任何人都能看見(jiàn)它的彎曲，就能容易相信空間彎曲這件事情。想要看到空間彎曲，我們往往需要待在更高的維度中才能顯而易見(jiàn)地觀測(cè)到。但我們不是生活在四維空間里，所以可能很難理解物理世界里所講的空間彎曲、三維空間的彎曲。實(shí)際上用一套方法進(jìn)行計(jì)算，至少?gòu)睦碚撋现v是彎曲的。在實(shí)際操作中，假設(shè)在相距很遠(yuǎn)的地方有三股光線(xiàn)，如果我們通過(guò)測(cè)量得知三股光線(xiàn)的夾角和小于180°，那我們就能發(fā)現(xiàn)空間的彎曲。

所以，數(shù)學(xué)其實(shí)可以幫助我們拓寬對(duì)這個(gè)世界的認(rèn)識(shí)。我們需要不斷使用更高級(jí)的科學(xué)手段進(jìn)行研究，打破以往的常規(guī)，看到一個(gè)更加科學(xué)、更加真實(shí)的世界。