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淺談數(shù)學(xué)高考題中定義新符號(hào)運(yùn)算類問(wèn)題

◇山東胡文文

定義新符號(hào)運(yùn)算類問(wèn)題是指題目中給出與高中數(shù)學(xué)教材里的內(nèi)容和含義不同的符號(hào)及與之有關(guān)的運(yùn)算規(guī)則,或給出教材中很少出現(xiàn)的符號(hào)及與之有關(guān)的運(yùn)算規(guī)則,或給出教材中沒(méi)有出現(xiàn)過(guò)的具有全新意義的符號(hào)及與之有關(guān)的運(yùn)算規(guī)則,讓答題者明白符號(hào)的內(nèi)涵和運(yùn)算法則,并應(yīng)用所獲得的規(guī)則解決問(wèn)題．

1定義新符號(hào)運(yùn)算類問(wèn)題的主要特點(diǎn)

1) 創(chuàng)新性. 定義新符號(hào)運(yùn)算類問(wèn)題的內(nèi)容圍繞著高中生所學(xué)的知識(shí)設(shè)置,但不拘泥于高中生所學(xué)的知識(shí)形式和方法,問(wèn)題的解答過(guò)程充分體現(xiàn)高中生思維的創(chuàng)新意識(shí)．

2) 靈活應(yīng)用性. 定義新符號(hào)運(yùn)算類問(wèn)題的解決方法不局限于常規(guī)題型的解法,考查答題者靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)處理問(wèn)題的能力．

3) 遷移性. 定義新符號(hào)運(yùn)算類問(wèn)題的解答需要答題者將所學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和常規(guī)方法遷移到新的問(wèn)題情境中，并進(jìn)行正確的應(yīng)用．

2定義新符號(hào)運(yùn)算類問(wèn)題的一般解法

①S有5個(gè)不同的值;

② 若a⊥b,則Smin與|a|無(wú)關(guān);

③ 若a∥b,則Smin與|b|無(wú)關(guān);

④ 若|b|>4|a|,則Smin>0;

⑤ 若|b|=2|a|,Smin=8|a|2,則〈a,b〉=π/4．

為了更好地做到列舉過(guò)程中的不重不漏,可采用如下方式:先寫(xiě)出2行上下對(duì)齊的2個(gè)a和3個(gè)b,然后保持一行不動(dòng),另一行按照一次錯(cuò)一位的對(duì)應(yīng),經(jīng)過(guò)5次后即可循環(huán)一周,這樣就可以把情況列舉全面,具體過(guò)程如圖1～5所示.

圖1　　　　　圖2　　　　　圖3

圖4　　　　　　　　圖5

在上述圖中,每個(gè)圖的第1行為xi,第2行為yi,上下2行通過(guò)中間的黑線進(jìn)行對(duì)應(yīng)求數(shù)量積,然后再將求得的數(shù)量積相加即可得到一個(gè)S的值．特別注意,在寫(xiě)數(shù)量積的時(shí)候,先從短線的對(duì)應(yīng)開(kāi)始書(shū)寫(xiě),再寫(xiě)長(zhǎng)線的對(duì)應(yīng)．每個(gè)小圖中的S的值的運(yùn)算過(guò)程與結(jié)果如下:

圖1中,S=aa+aa+bb+bb+bb=2a2+3b2；

圖2中,S=aa+ba+bb+bb+ab=a2+2ab+2b2；

圖3中,S=ba+ba+bb+ab+ab=4ab+b2；

圖4中,S=ba+ba+ab+ab+bb=4ab+b2；

圖5中,S=ba+aa+ab+bb+bb=a2+2ab+2b2．

綜上所述,S有3個(gè)不同的值,即S=2a2+3b2,S=a2+2ab+2b2及S=4ab+b2,故①錯(cuò)．而②、③、④、⑤的判斷都與Smin有關(guān),選擇作差法對(duì)S的所有值進(jìn)行大小比較,進(jìn)而求得Smin．由

(2a2+3b2)-(a2+2ab+2b2)=(a-b)2≥0,

(a2+2ab+2b2)-(4ab+b2)=(a-b)2≥0,

可得Smin=4ab+b2．

對(duì)②,若a⊥b,則ab=0,所以Smin=b2=|b|2與|a|無(wú)關(guān),故②正確.

對(duì)③,若a∥b,則存在實(shí)數(shù)λ,使得a=λb,所以Smin=4ab+b2=(4λ+1)|b|2與|b|有關(guān),故③錯(cuò)誤.

對(duì)④,Smin=4ab+b2=|b|(4|a|cos〈a,b〉+|b|),因?yàn)閨b|>4|a|,所以

Smin>|b|(4|a|cos〈a,b〉+4|a|)=

4|a||b|(cos〈a,b〉+1)>0,

故④正確.

對(duì)⑤,若|b|=2|a|,Smin=8|a|2,則

Smin=4ab+b2=8|a|2cos〈a,b〉+4|a|2=8|a|2,

綜上可得出②、④正確．

解決新定義型問(wèn)題的一般過(guò)程如下:

1) 認(rèn)真閱讀新定義或新信息的內(nèi)容,標(biāo)記關(guān)鍵詞,找出新定義或新信息的典型特征;

2) 分析典型特征,弄清新定義或新信息的本質(zhì)內(nèi)容;

3) 將新定義或新信息的本質(zhì)內(nèi)容與已學(xué)過(guò)的知識(shí)進(jìn)行聯(lián)系;

4) 結(jié)合問(wèn)題確定新定義或新信息使用的數(shù)學(xué)符號(hào)或圖形語(yǔ)言;

5) 選取合適的方法求解問(wèn)題;

6) 遇到求解不順再補(bǔ)充完善對(duì)新定義或新信息的理解;

7) 求解徹底不能進(jìn)行再?gòu)牡谝徊街匦麻_(kāi)始,充分挖掘已知條件;

8) 結(jié)合新定義或新信息檢查結(jié)果．

3定義新符號(hào)運(yùn)算類問(wèn)題的教學(xué)建議

為提高高中生解決定義新符號(hào)運(yùn)算類問(wèn)題的能力,主要是提高學(xué)生自學(xué)新符號(hào)運(yùn)算的能力,結(jié)合教學(xué)實(shí)際,筆者提出以下幾點(diǎn)教師需要注意的教學(xué)建議:

1) 引導(dǎo)學(xué)生熟練掌握常用的字母符號(hào)等表示的涵義;

2) 引導(dǎo)學(xué)生區(qū)別相同符號(hào)的不同含義;

3) 指導(dǎo)學(xué)生規(guī)范書(shū)寫(xiě)數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言,防止符號(hào)混用;

4) 在分析問(wèn)題時(shí),指導(dǎo)學(xué)生辨識(shí)清楚題中符號(hào)對(duì)應(yīng)的運(yùn)算法則,按照給出的法則形式進(jìn)行思考;

5) 在講解問(wèn)題時(shí),給學(xué)生提供有針對(duì)性的變式訓(xùn)練,主要是涉及相同符號(hào)、但運(yùn)算法則和知識(shí)背景不同的題目,防止學(xué)生形成思維定勢(shì)．

(作者單位：山東省淄博第七中學(xué))