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談立體幾何綜合題的解題策略

◇北京孫世林童嘉森(特級(jí)教師)

談到立體幾何綜合題的解法,首先想到的是空間向量,向量法解決立體幾何問(wèn)題思路簡(jiǎn)潔、操作容易,很好地避開對(duì)空間想象能力要求較高的幾何推理,越來(lái)越受到師生的青睞.向量法逐步成為當(dāng)前高考應(yīng)考的“主流”方法.然而我們發(fā)現(xiàn),向量的引入并未使立體幾何的學(xué)習(xí)變得容易,普遍存在對(duì)向量知識(shí)理解不到位、不能把握向量解題的關(guān)鍵、計(jì)算不過(guò)關(guān)等現(xiàn)象.下面通過(guò)對(duì)2015年的幾個(gè)高考題的分析談?wù)劻Ⅲw幾何綜合題的解題策略.

1恰當(dāng)建系準(zhǔn)確計(jì)算,巧用坐標(biāo)形式的向量

向量具有“數(shù)”與“形”雙重身份,兼具代數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)與幾何的直觀,用坐標(biāo)形式向量解決立體幾何問(wèn)題,因其思路簡(jiǎn)單、程序明確、操作容易成為師生的首選.運(yùn)用坐標(biāo)形式向量解題,就是將空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系及角、距離等問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題,從而實(shí)現(xiàn)“形”向“數(shù)”的轉(zhuǎn)化,最后通過(guò)向量的運(yùn)算解決問(wèn)題.

圖1

(1) 證明:平面AEC⊥平面AFC.

(2) 求直線AE與CF所成角的余弦值.

圖2

2回歸向量知識(shí)本質(zhì),用非坐標(biāo)形式向量

在解題中為避免難度較大的幾何推理,同學(xué)們常建立空間坐標(biāo)系利用坐標(biāo)形式的向量解決問(wèn)題,但試題中往往沒有明確的垂直關(guān)系,建立坐標(biāo)系要通過(guò)一定的轉(zhuǎn)化、證明,計(jì)算難度較大,一味強(qiáng)調(diào)坐標(biāo)法會(huì)造成得分的困難.出現(xiàn)這種現(xiàn)象一是空間想象能力、幾何推理有待提高,再有就是對(duì)向量知識(shí)本質(zhì)認(rèn)識(shí)不夠.恰當(dāng)利用非坐標(biāo)形式的向量解題,既可避開技巧要求過(guò)高、轉(zhuǎn)化復(fù)雜的幾何法,又可以很好的回避有時(shí)建系的困難.

下面繼續(xù)探究例1.

所以

.

圖3

(1) 證明:CD⊥平面A1OC;

(2) 若平面A1BE⊥平面BCDE,求平面A1BC與平面A1CD夾角的余弦值.

圖4

圖5

(1) 求平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值;

(2) 點(diǎn)Q是線段BP上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)直線CQ與DP所成角最小時(shí),求線段BQ的長(zhǎng).

由已知可證AP、AD、AB兩兩垂直,所以

令1+2λ=t,t∈[1,3],所以

3不要過(guò)度依賴向量法,注重不同方法結(jié)合

向量法功能強(qiáng)大,但也不是什么樣的題目用向量法都好,在證明線、面的平行與垂直問(wèn)題時(shí)向量法有時(shí)顯得有些煩瑣,反而傳統(tǒng)方法(即幾何法)寥寥數(shù)語(yǔ)便可搞定,所以解題時(shí)要適時(shí)地選擇坐標(biāo)形式或非坐標(biāo)形式,同時(shí)結(jié)合傳統(tǒng)的幾何法解決問(wèn)題,從而方便快捷地解決立體幾何問(wèn)題.

我們?cè)賮?lái)看例1的第(1)問(wèn).

圖6

(1) 求證:BD⊥平面PAC;

(2) 若PA=AB,求PB與AC所成角的余弦值;

(3) 當(dāng)平面PBC與PDC垂直時(shí),求PA的長(zhǎng).

4+2×2×cos 60°+0+0=6.

設(shè)平面PBC的法向量為m=p+xq+yr,所以

所以

因?yàn)槠矫鍼BC⊥平面PDC，所以m與平面PDC是共面向量,所以存在實(shí)數(shù)λ1、λ2使

向量作為一種數(shù)學(xué)工具,它既可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算又具有幾何推理的功能.利用向量的幾何意義,選擇好坐標(biāo)形式或非坐標(biāo)形式的向量可以很方便地解決立體幾何中很多問(wèn)題.然而,向量法雖強(qiáng),但它并不是萬(wàn)能的,我們要根據(jù)題目的條件和特點(diǎn)恰當(dāng)應(yīng)用傳統(tǒng)的幾何法,以完善立體幾何思維,形成恰當(dāng)?shù)慕忸}思路.