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解直線與橢圓綜合問題通法探究

◇山東李傳文

高考對圓錐曲線問題的考查常以直線與橢圓位置關系為背景,主要涉及弦長問題、夾角問題、三角形面積問題等,其中所涉及的解題思路主要是借助代數方法來解決幾何問題．本文以2015年山東高考為例,就其中所涉及的解題通法進行探究．

(1) 求橢圓C的方程.

(2) 設橢圓E:x2/4a2+y2/4b2=1.P為橢圓C上任意一點,過點P的直線y=kx+m交橢圓E于A、B2點,射線PO交橢圓E于點Q.求:

第(1)問屬于基礎題,主要利用橢圓的幾何性質,即可得出橢圓方程,但第(2)問都是以第(1)問所得的橢圓方程為背景的,因此要注意計算的準確性．

解(1) 橢圓C方程為x2/4+y2=1.

解析幾何的重要特征是用“坐標法”來實現(xiàn)的.如直線與橢圓有2個交點,通常設2點坐標分別為(x1,y1)、(x2,y2),弦長問題可借助兩點間距離公式,夾角問題可借助平面向量數量積坐標公式,特別是當夾角為直角時,兩向量數量積為0等．涉及多個點時,要注意點與點之間的關系,盡量減少變量的引入．

(2)由(1)知,橢圓E的方程為x2/16+y2/4=1.

將直線與橢圓方程聯(lián)立所得一元二次方程的2個解,即為直線與橢圓2交點的橫坐標.在條件不確定的情況下,為確保直線與橢圓相交,需要Δ≥0,因此“代入消元法”“判別式法”是解決此類問題必不可少的．在此基礎上根據“根與系數的關系”得出x1+x2、x1x2與參數之間的關系,為后續(xù)解答奠定了基礎．

(ⅱ) 將y=kx+m代入橢圓C的方程,消去y得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,由Δ≥0,解得m2≤1+4k2.將y=kx+m代入橢圓E的方程,消去y得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0,由Δ>0,解得m2<4+16k2.設A(x1,y1),B(x2,y2),則有

對于三角形面積問題的處理可采用直接法,即利用弦長公式求出三角形的底邊長,利用點到直線的距離求出三角形的高．也可利用分割法,即將所求三角形分割成2個同底的三角形面積之和來求解,其中將三角形的高為|x1+x2|或|y1-y2|與“根與系數的關系”建立聯(lián)系．

因為直線y=kx+m與y軸交點的坐標為(0,m),所以△OAB的面積

對于動態(tài)幾何要素問題,常通過求函數最值來求解．為了呈現(xiàn)幾何要素的動態(tài)特征,我們往往借助變量實現(xiàn),而不同幾何要素之間的關系,自然就表現(xiàn)為2個變量或多個變量之間的函數關系,幾何要素度量值(長度、面積、斜率、角度等)或幾何要素的位置或形態(tài)的最值狀態(tài),也自然對應于函數的最值狀態(tài),因此函數通常作為研究最值問題的工具方法.

構造出目標函數后,相應的最值問題就轉化為函數最值問題,再利用“二次函數配方法”“均值不等式法”“分離常數法”“三角換元法”等方法求解．

總之,高考命題?？汲Ｐ?針對不同的題目所涉及的通法可能不盡相同,但只要我們注重分析、不斷歸納總結,及時發(fā)現(xiàn)不同知識模塊之間的關聯(lián),即可發(fā)現(xiàn)命題規(guī)律,以不變應萬變．

(作者單位：山東省菏澤市巨野縣巨野一中)