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典型排列組合問題的解決方法例析

■陳坤

排列組合問題往往涉及多個(gè)解決問題的方法，下面以兩個(gè)典型的例題就具體的方法進(jìn)行總結(jié)和歸類。

一、典型的排列問題

例13個(gè)女生和5個(gè)男生排成一排。

(1)如果女生全排在一起，有多少種不同的排法？

(2)如果女生都不相鄰，有多少種不同的排法？

(3)如果女生不站在兩端，有多少種不同的排法？

(4)其中甲必須排在乙前面(可不相鄰)，有多少種不同的排法？

(5)其中甲不站在左端，乙不站在右端，有多少種不同的排法？

(5)甲、乙為特殊元素，左、右兩邊為特殊位置。

點(diǎn)評：(1)對于有限制條件的排列問題，分析問題時(shí)有位置分析法、元素分析法，在實(shí)際進(jìn)行排列時(shí)一般采用特殊元素優(yōu)先原則，即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置，對于分類過多的問題可以采用間接法。

(2)對相鄰問題采用捆綁法、不相鄰問題采用插空法、定序問題采用倍縮法是解決有限制條件的排列問題的常用方法。

二、典型的組合問題

例2男運(yùn)動(dòng)員6名，女運(yùn)動(dòng)員4名，其中男女隊(duì)長各1人。選派5人外出比賽。在下列情形中各有多少種選派方法？

(1)男運(yùn)動(dòng)員3名，女運(yùn)動(dòng)員2名；

(2)至少有1名女運(yùn)動(dòng)員；

(3)隊(duì)長中至少有1人參加；

(4)既要有隊(duì)長，又要有女運(yùn)動(dòng)員。

(2)法一：至少有1名女運(yùn)動(dòng)員包括以下幾種情況：

1女4男，2女3男，3女2男，4女1男。

法二：“至少有1名女運(yùn)動(dòng)員”的反面為“全是男運(yùn)動(dòng)員”，可用間接法求解。

(3)法一：(直接法)可分類求解。

點(diǎn)評：組合問題常有以下兩類題型：(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取。

(2)“至少”或“最多”含有幾個(gè)元素的題型：若直接法分類復(fù)雜時(shí)，逆向思維，間接求解。

作者單位：江蘇省濱海中學(xué)