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空間中的“垂直”關(guān)系判定

■張卿

垂直是一種特殊的空間關(guān)系，空間中直線與直線垂直、直線與平面垂直、平面與平面垂直三者之間可以相互轉(zhuǎn)化，每一種垂直的判定都是從某種垂直開(kāi)始轉(zhuǎn)向另一種垂直，最終達(dá)到目的，其轉(zhuǎn)化關(guān)系可以用圖1表示。

圖1

在證明兩平面垂直時(shí)，一般先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，若這樣的直線圖中不存在，則可通過(guò)作輔助線來(lái)解決。

一、直線與平面垂直

圖2

例1如圖2，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中點(diǎn)。證明：

(1)CD⊥AE；

(2)PD⊥平面ABE。

證明：(1)在四棱錐P-ABCD中，因?yàn)镻A⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD。

因?yàn)锳C⊥CD，且PA∩AC=A，所以CD⊥平面PAC。

而AE?平面PAC，所以CD⊥AE。

(2)由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得AC=PA。

因?yàn)镋是PC的中點(diǎn)，所以AE⊥PC。

由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD=C，所以AE⊥平面PCD。

而PD?平面PCD，所以AE⊥PD。

因?yàn)镻A⊥底面ABCD，所以PA⊥AB。

又因?yàn)锳B⊥AD，且PA∩AD=A，所以AB⊥平面PAD。

而PD?平面PAD，所以AB⊥PD。

又因?yàn)锳B∩AE=A，所以PD⊥平面ABE。

規(guī)律方法:(1)證明直線和平面垂直的常用方法：①線面垂直的定義；②判定定理；③垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；④面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)；⑤面面垂直的性質(zhì)。

(2)證明線面垂直的核心是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì)。因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想。

二、平面與平面垂直

圖3

例2如圖3，在四棱錐P-ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB=2CD，E、F、G、M、N分別為PB、AB、BC、PD、PC的中點(diǎn)。

(1)CE∥平面PAD；

(2)平面EFG⊥平面EMN。

圖4

CD。又AF∥CD，所以四邊形AFCD為平行四邊形。因此CF∥AD。又CF?平面PAD，AD?平面PAD，所以CF∥平面PAD。因?yàn)镋、F分別為PB、AB的中點(diǎn)，所以EF∥PA。又EF?平面PAD，PA?平面PAD，所以EF∥平面PAD。因?yàn)镃F∩EF=F，故平面CEF∥平面PAD。又CE?平面CEF，所以CE∥平面PAD。

(2)因?yàn)镋、F分別為PB、AB的中點(diǎn)，所以EF∥PA。又AB⊥PA，所以AB⊥EF。同理可證AB⊥FG。又EF∩FG=F，EF?平面EFG，F(xiàn)G?平面EFG，因此AB⊥平面EFG。又M、N分別為PD、PC的中點(diǎn)，所以MN∥CD。又AB∥CD，所以MN∥AB。因此MN⊥平面EFG。又MN?平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN。

規(guī)律方法:(1)證明平面和平面垂直的方法：①面面垂直的定義；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β)。

(2)已知兩平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直。

三、易錯(cuò)防范

(1)在用線面垂直的判定定理證明線面垂直時(shí)，考生易忽視說(shuō)明平面內(nèi)的兩條直線相交，而導(dǎo)致被扣分，這一點(diǎn)在證明中要注意?？谠E：線不在多，重在相交。

(2)面面垂直的性質(zhì)定理在立體幾何中是一個(gè)極為關(guān)鍵的定理，這個(gè)定理的主要作用是作一個(gè)平面的垂線，在一些垂直關(guān)系的證明中，很多情況都要借助這個(gè)定理作出平面的垂線。注意定理使用的條件，在推理論證時(shí)要把定理所需要的條件列舉完整，同時(shí)要注意推理論證的層次性，確定先證明什么，后證明什么。

作者單位：江蘇省寶應(yīng)縣安宜高級(jí)中學(xué)