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“概率與統(tǒng)計”兩類熱點問題例析

■沈永彬

概率與統(tǒng)計是高考中相對獨立的一個內(nèi)容，處理問題的方式、方法體現(xiàn)了較高的思維含量。該類問題以應(yīng)用題為載體，注重考查學(xué)生的應(yīng)用意識、閱讀理解能力、分類討論與化歸轉(zhuǎn)化能力。熱點問題較多，現(xiàn)就其中的兩個熱點問題配上具體的例題進行分析。

一、古典概型

古典概型是一種重要的概率模型，其核心是利用排列數(shù)與組合數(shù)計算概率。因此較強的排列組合計算能力是解決好復(fù)雜古典概型問題的關(guān)鍵。

例1有9張卡片分別寫著數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，9，甲、乙二人依次從中抽取一張卡片(不放回)，試求：

(1)甲抽到寫有奇數(shù)數(shù)字卡片，且乙抽到寫有偶數(shù)數(shù)字卡片的概率。

(2)甲、乙二人至少抽到一張寫有奇數(shù)數(shù)字卡片的概率。

探究提高：利用古典概型求概率的關(guān)鍵及注意點。(1)關(guān)鍵：正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)，這常常用到排列、組合的有關(guān)知識。(2)注意點：對復(fù)雜的古典概型，應(yīng)正確判斷基本事件是否與順序有關(guān)，以決定是按排列數(shù)，還是按組合數(shù)計算。在計算時，不能出現(xiàn)分子、分母一部分按排列數(shù)計算，另一部分按組合數(shù)計算的現(xiàn)象。

二、利用互斥、對立、獨立求隨機事件的概率

互斥、對立、獨立是事件間的基本關(guān)系，一個復(fù)雜事件經(jīng)?？梢赞D(zhuǎn)化為幾個簡單事件的和或積的形式。這充分體現(xiàn)了化繁為簡的思想，是高考中的?？碱}型。

(1)求他不需要補考就可獲得證書的概率。

(2)在這項考試過程中，假設(shè)他不放棄所有的考試機會，求他分別參加2次、3次、4次考試的概率。

解析：設(shè)“科目A第一次考試合格”為事件A1，“科目A補考合格”為事件A2，“科目B第一次考試合格”為事件B1，“科目B補考合格”為事件B2，則A1、A2、B1、B2相互獨立。

探究提高:(1)一個復(fù)雜事件若正面情況較多，反面情況較少，則一般利用對立事件進行求解。尤其是涉及“至多”、“至少”等問題時常常用這種方法求解。(2)求復(fù)雜事件的概率，要正確分析復(fù)雜事件的構(gòu)成，看復(fù)雜事件是能轉(zhuǎn)化為幾個彼此互斥事件的和事件還是能轉(zhuǎn)化為幾個相互獨立事件同時發(fā)生的積事件，然后用概率公式求解。

作者單位：江蘇省寶應(yīng)縣安宜高級中學(xué)