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淺談恒成立思想的推廣

■易如躍孫濤

恒成立問題是近年來高考的一大考點，每年高考各省市的試卷中都有其身影。本文將對如下恒成立論斷進行敘述和論證。

其一，已知函數(shù)f(x)，x∈[a,b]，若m

其二，已知函數(shù)f(x)，x∈[a,b]，若m>f(x)恒成立，則m>fmax(x)。

但此時問題就出現(xiàn)了，對于連續(xù)函數(shù)f(x)，它在閉區(qū)間[a,b]上一定有最值，但在開區(qū)間(a,b)上就不一定有最值。若再用恒成立思想解題將遇到尷尬境界。為了解決此類問題，我們想到了數(shù)學分析中的確界原理。利用確界就可以解決最值不存在的問題。

定義：設f(x)為定義在區(qū)間(a,b)上的函數(shù)，若存在實數(shù)M(L)使得對一切x∈(a,b)都有f(x)≤M或f(x)≥L，則稱f(x)為(a,b)上有上(下)界的函數(shù)。M(L)稱為f(x)在(a,b)上的一個上(下)界。

對于函數(shù)f(x)在任何有限區(qū)間上都有界，根據(jù)確界原理可知，f(x)在區(qū)間(a,b)有上(下)確界。而所謂上確界即最小的上界，下確界即最大的下界。同時，若f(x)有最值，則最大值必為上確界，最小值必為下確界。

(1)恒成立思想的推廣。

例題設函數(shù)f(x)=-x2+2x，x∈(-3,2)，若m

點評：通過此種方法，進一步驗證了恒成立思想的推廣對解決函數(shù)最值不存在的情況有較強的應用價值，同時也為問題的解決提供了理論支持。

方法二：由題可知，m<-x2+2x，即x2-2x+m<0在(-3,2)上恒成立。

點評：本方法是對二次函數(shù)圖像性質(zhì)的進一步應用，旨在培養(yǎng)學生的數(shù)形結合思想。

(2)恒成立思想的進一步推廣。

方法三：由題可知，m<-x2+2x，即2x-m>x2在(-3,2)上恒成立。

令g(x)=2x-m,h(x)=x2，顯然g(x)在(-3,2)上無最小值，h(x)在(-3,2)上無最大值。

點評：在函數(shù)無最值的情況下，恒成立思想的進一步推廣，給我們解決恒成立問題提供了思想方法。

本文通過對恒成立問題的進一步研究，將高等數(shù)學中的確界引入到問題的解決中來，通過實例驗證，發(fā)現(xiàn)此種思想為解決恒成立問題提供了理論支持。同時也為廣大考生解決此類問題提供了方法和思路。

作者單位：安徽省合肥新城高升學校