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“離散型隨機(jī)變量及其分布列”一輪復(fù)習(xí)例析

■趙長(zhǎng)青

“離散型隨機(jī)變量及其分布列”這部分內(nèi)容涉及如下三個(gè)考點(diǎn)，每個(gè)考點(diǎn)筆者都配上了具體的例題進(jìn)行分析。

一、離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)

例1設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列為：

X-101P0.51-2qq2

則q等于()。

解析：由分布列的性質(zhì)，得：

規(guī)律方法：(1)利用分布列中各概率之和為1可求參數(shù)的值，此時(shí)要注意檢驗(yàn)，以保證每個(gè)概率值均為非負(fù)數(shù)。

(2)求隨機(jī)變量在某個(gè)范圍內(nèi)的概率時(shí)，根據(jù)分布列，將所求范圍內(nèi)各隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)的概率相加即可，其依據(jù)是互斥事件的概率加法公式。

二、求離散型隨機(jī)變量的分布列

例2在一個(gè)盒子中，放有標(biāo)號(hào)分別為1，2，3的三張卡片，現(xiàn)從這個(gè)盒子中，有放回地先后抽得兩張卡片的標(biāo)號(hào)分別為x，y，記X=|x-2|+|y-x|。

(1)求隨機(jī)變量X的最大值，并求事件“X取得最大值”的概率；

(2)求隨機(jī)變量X的分布列。

解析：(1)由題意知，x、y可能的取值為1、2、3。則|x-2|≤1，|y-x|≤2。

所以X≤3，且當(dāng)x=1，y=3或x=3，y=1時(shí)，X=3。

因此，隨機(jī)變量X的最大值為3。

(2)X的所有取值為0、1、2、3。

則隨機(jī)變量X的分布列為：

X0123P19492929

規(guī)律方法：(1)求解離散型隨機(jī)變量X的分布列的步驟：第一，理解X的意義，寫出X可能取的全部值；第二，求X取每個(gè)值的概率；第三，寫出X的分布列。(2)求離散型隨機(jī)變量的分布列的關(guān)鍵是求隨機(jī)變量所取值對(duì)應(yīng)的概率，在求解時(shí)，要注意應(yīng)用計(jì)數(shù)原理、古典概型等知識(shí)。

三、超幾何分布

例3PM2.5是指懸浮在空氣中的直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物。根據(jù)現(xiàn)行國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB3095-2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級(jí)；在35微克/立方米～75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級(jí)；在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo)。

從某自然保護(hù)區(qū)2015年全年每天的PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)地抽取10天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測(cè)值頻數(shù)如下表所示：

PM2.5日均值(微克/立方米)[25,35](35,45](45,55](55,65](65,75](75,85]頻數(shù)311113

(1)從這10天的PM2.5日均值監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽出3天，求恰有一天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的概率；

(2)從這10天的數(shù)據(jù)中任取3天數(shù)據(jù)，記X表示抽到PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù)，求X的分布列。

解析：(1)記“從10天的PM2.5日均值監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽出3天，恰有一天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)”為事件A，則：

(2)依據(jù)條件，X服從超幾何分布，其中N=10，M=3，n=3，且隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，3。

所以隨機(jī)變量X的分布列為：

X0123P72421407401120

規(guī)律方法：對(duì)于服從某些特殊分布的隨機(jī)變量，其分布列可以直接應(yīng)用公式給出。超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù)，超幾何分布是一個(gè)重要分布，其理論基礎(chǔ)是古典概型，主要應(yīng)用于抽查產(chǎn)品，摸不同類別的小球等概率模型。

作者單位：山東省即墨市第二職業(yè)中等專業(yè)學(xué)校